1372e436c1306cbcd71b74b7bf29e21589779265
1 ## Fine points concerning the lambda calculus ##
3 Hankin uses the symbol
4 <code><big><big>&rarr;</big></big></code> for one-step contraction,
5 and the symbol <code><big><big>&#8608;</big></big></code> for
6 zero-or-more step reduction. Hindley and Seldin use
7 <code><big><big><big>&#8883;</big></big></big><sub>1</sub></code> and
8 <code><big><big><big>&#8883;</big></big></big></code>.
10 As we said in the main notes, when M and N are such that there's some P that M
11 reduces to by zero or more steps, and that N also reduces to by zero or more
12 steps, then we say that M and N are **beta-convertible**. We write that like
13 this:
15     M <~~> N
17 This is what plays the role of equality in the lambda calculus. Hankin
18 uses the symbol `=` for this. So too do Hindley and
19 Seldin. Personally, we keep confusing that with the relation to be
20 described next, so let's use the `<~~>` notation instead. Note that
21 `M <~~> N` doesn't mean that each of `M` and `N` are reducible to each other;
22 that only holds when `M` and `N` are the same expression. (Or, with
23 our convention of only saying "reducible" for one or more reduction
24 steps, it never holds.)
26 In the metatheory, it's also sometimes useful to talk about formulas
27 that are syntactically equivalent *before any reductions take
28 place*. Hankin uses the symbol <code>&equiv;</code> for this. So too
29 do Hindley and Seldin. We'll use that too, and will avoid using `=`
30 when discussing the metatheory. Instead we'll use `<~~>` as we said
31 above. When we want to introduce a stipulative definition, we'll write
32 it out longhand, as in:
34 > T is defined to be `(M N)`.
36 or:
38 > Let T be `(M N)`.
40 We'll regard the following two expressions:
42     (\x (x y))
44     (\z (z y))
46 as syntactically equivalent, since they only involve a typographic
47 change of a bound variable. Read Hankin Section 2.3 for discussion of
48 different attitudes one can take about this.
50 Note that neither of the above expressions are identical to:
52     (\x (x w))
54 because here it's a free variable that's been changed. Nor are they identical to:
56     (\y (y y))
58 because here the second occurrence of `y` is no longer free.
60 There is plenty of discussion of this, and the fine points of how
61 substitution works, in Hankin and in various of the tutorials we'll
62 link to about the lambda calculus. We expect you have a good
63 intuitive understanding of what to do already, though, even if you're
64 not able to articulate it rigorously.
67 ## Substitution and Alpha-Conversion ##
69 Intuitively, (a) and (b) express the application of the same function to the argument `y`:
71 <OL type=a>
72 <LI><code>(\x. \z. z x) y</code>
73 <LI><code>(\x. \y. y x) y</code>
74 </OL>
76 One can't just rename variables freely. (a) and (b) are different than what's expressed by:
78 <OL type=a start=3>
79 <LI><code>(\z. (\z. z z) y</code>
80 </OL>
83 Substituting `y` into the body of (a) `(\x. \z. z x)` is unproblematic:
85     (\x. \z. z x) y ~~> \z. z y
87 However, with (b) we have to be more careful. If we just substituted blindly,
88 then we might take the result to be `\y. y y`. But this is the self-application
89 function, not the function which accepts an arbitrary argument and applies that
90 argument to the free variable `y`. In fact, the self-application function is
91 what (c) reduces to. So if we took (b) to reduce to `\y. y y`, we'd wrongly be
92 counting (b) to be equivalent to (c), instead of (a).
94 To reduce (b), then, we need to be careful to that no free variables in what
95 we're substituting in get captured by binding &lambda;s that they shouldn't be
96 captured by.
98 In practical terms, you'd just replace (b) with (a) and do the unproblematic substitution into (a).
100 How should we think about the explanation and justification for that practical procedure?
102 One way to think about things here is to identify expressions of the lambda
103 calculus with *particular alphabetic sequences*. Then (a) and (b) would be
104 distinct expressions, and we'd have to have an explicit rule permitting us to
105 do the kind of variable-renaming that takes us from (a) to (b) (or vice versa).
106 This kind of renaming is called "alpha-conversion." Look in the standard
107 treatments of the lambda calculus for detailed discussion of this.
109 Another way to think of it is to identify expressions not with particular
110 alphabetic sequences, but rather with *classes* of alphabetic sequences, which
111 stand to each other in the way that (a) and (b) do. That's the way we'll talk.
112 We say that (a) and (b) are just typographically different notations for a
113 *single* lambda formula. As we'll say, the lambda formula written with (a) and
114 the lambda formula written with (b) are literally syntactically identical.
116 A third way to think is to identify the lambda formula not with classes of
117 alphabetic sequences, but rather with abstract structures that we might draw
118 like this:
120 <pre><code>
121     (&lambda;. &lambda;. _ _) y
122      ^  ^  | |
123      |  |__| |
124      |_______|
125 </code></pre>
127 Here there are no bound variables, but *bound positions* remain. We can
128 regard formula like (a) and (b) as just helpfully readable ways to designate
129 these abstract structures.
131 A version of this last approach is known as [de Bruijn notation](http://en.wikipedia.org/wiki/De_Bruijn_index) for the lambda calculus.
133 It doesn't seem to matter which of these approaches one takes; the logical
134 properties of the systems are exactly the same. It just affects the particulars
135 of how one states the rules for substitution, and so on. And whether one talks
136 about expressions being literally "syntactically identical," or whether one
137 instead counts them as "equivalent modulu alpha-conversion."
139 (Linguistic trivia: some linguistic discussions do suppose that
140 alphabetic variance has important linguistic consequences; see Ivan Sag's
141 dissertation.)
143 Next week, we'll discuss other systems that lack variables. Those systems will
144 not just lack variables in the sense that de Bruijn notation does; they will
145 furthermore lack any notion of a bound position.
148 ## Review: syntactic equality, reduction, convertibility ##
150 Define N to be `(\x. x y) z`. Then N and `(\x. x y) z` are syntactically equal,
151 and we're counting them as syntactically equal to `(\z. z y) z` as well. We'll express
152 all these claims in our metalanguage as:
154 <pre><code>N &equiv; (\x. x y) z &equiv; (\z. z y) z
155 </code></pre>
157 This:
159     N ~~> z y
161 means that N beta-reduces to `z y`. This:
163     M <~~> N
165 means that M and N are beta-convertible, that is, that there's something they both reduce to in zero or more steps.
167 The symbols `~~>` and `<~~>` aren't part of what we're calling "the Lambda
168 Calculus". In our mouths, they're just part of our metatheory for talking about it. In the uses of
169 the Lambda Calculus as a formal proof theory, one or the other of these
170 symbols (or some notational variant of them) is added to the object language.
172 See Hankin Sections 2.2 and 2.4 for the proof theory using `<~~>` (which he
173 writes as `=`).  He discusses the proof theory using `~~>` in his Chapter 3.
174 This material is covered in slightly different ways (different organization and
175 some differences in terminology and notation) in Chapters 1, 6, and 7 of the
176 Hindley &amp; Seldin.