hints/assignment_7_hint_6.mdwn

   1
   2 *       In def 3.1 on p. 14, GS&V define `s` updated with \[[not &phi;]] as:
   3
   4         >       { i &isin; s | i does not subsist in s[&phi;] }
   5
   6         where `i` *subsists* in <code>s[&phi;]</code> if there are any `i'` that *extend* `i` in <code>s[&phi;]</code>.
   7
   8         Here's how to do that in our framework:
   9
  10                 type clause_op = bool dpm -> bool dpm set;;
  11
  12                 (* filter out which bool dpms in a set are true when receiving (r, h) as input *)
  13                 let extensions set (r, h) = List.filter (fun one_dpm -> let (truth_value, _, _) = one_dpm (r, h) in truth_value) set;;
  14
  15                 let negate_op (phi : clause_op) : clause_op =
  16                         fun one_dpm -> unit_set (
  17                 fun (r, h) ->
  18                                         let truth_value' = extensions (phi one_dpm) (r, h) = []
  19                     in (truth_value', r, h)
  20             )
  21
  22
  23 *       Representing \[[and &phi; &psi;]] is simple:
  24
  25                 let and_op (phi : clause_op) (psi : clause_op) : clause_op =
  26                         fun one_dpm -> bind_set (phi one_dpm) psi;;
  27
  28 *       Here are `or` and `if`:
  29
  30                 let or_op (phi : clause_op) (psi : clause_op) =
  31                         (* NOT: negate_op (and_op (negate_op phi) (negate_op psi)) *)
  32             fun one_dpm -> unit_set (
  33                 fun (r, h) ->
  34                                         in let truth_value' = extensions (phi one_dpm) (r, h) <> [] || extensions (bind_set (negate_op phi one_dpm) psi) (r, h) <> []
  35                     in (truth_value', r, h))
  36
  37                 let if_op (phi : clause_op) (psi : clause_op) : clause_op =
  38                         (* NOT: negate_op (and_op phi (negate_op psi)) *)
  39             fun one_dpm -> unit_set (
  40               fun (r, h) ->
  41                                         in let truth_value' = List.for_all (fun one_dpm ->
  42                                                         let (truth_value, _, _) = one_dpm (r, h)
  43                                                         in truth_value = false || extensions (psi one_dpm) (r, h) <> []
  44                                                 ) (phi one_dpm)
  45                     in (truth_value', r, h));;
  46
  47
  48 *       Now let's test everything we've developed:
  49
  50                 type entity = Bob | Carol | Ted | Alice;;
  51                 let domain = [Bob; Carol; Ted; Alice];;
  52                 type assignment = char -> int;;
  53                 type store = entity list;;
  54                 type 'a dpm = assignment * store -> 'a * assignment * store;;
  55                 let unit_dpm (x : 'a) : 'a dpm = fun (r, h) -> (x, r, h);;
  56                 let bind_dpm (u: 'a dpm) (f : 'a -> 'b dpm) : 'b dpm =
  57                         fun (r, h) ->
  58                                 let (a, r', h') = u (r, h)
  59                                 in let u' = f a
  60                                 in u' (r', h')
  61
  62                 type 'a set = 'a list;;
  63                 let empty_set : 'a set = [];;
  64                 let unit_set (x : 'a) : 'a set = [x];;
  65                 let bind_set (u : 'a set) (f : 'a -> 'b set) : 'b set =
  66                         List.concat (List.map f u);;
  67
  68                 type clause_op = bool dpm -> bool dpm set;;
  69
  70                 let get (var : char) : entity dpm =
  71                         fun (r, h) ->
  72                                 let obj = List.nth h (r var)
  73                                 in (obj, r, h);;
  74
  75                 let lift_predicate (f : entity -> bool) : entity dpm -> clause_op =
  76                         fun entity_dpm ->
  77                                 let eliminator = fun (truth_value : bool) ->
  78                                         if truth_value = false
  79                                         then unit_dpm false
  80                                         else bind_dpm entity_dpm (fun e -> unit_dpm (f e))
  81                                 in fun one_dpm -> unit_set (bind_dpm one_dpm eliminator);;
  82
  83                 let lift_predicate2 (f : entity -> entity -> bool) : entity dpm -> entity dpm -> clause_op =
  84                         fun entity1_dpm entity2_dpm ->
  85                                 let eliminator = fun (truth_value : bool) ->
  86                                         if truth_value = false
  87                                         then unit_dpm false
  88                                         else bind_dpm entity1_dpm (fun e1 -> bind_dpm entity2_dpm (fun e2 -> unit_dpm (f e1 e2)))
  89                                 in fun one_dpm -> unit_set (bind_dpm one_dpm eliminator);;
  90
  91                 let new_peg_and_assign (var_to_bind : char) (d : entity) : bool -> bool dpm =
  92                   fun truth_value ->
  93                           fun (r, h) ->
  94                                 let new_index = List.length h
  95                                 in let h' = List.append h [d]
  96                                 in let r' = fun var ->
  97                                   if var = var_to_bind then new_index else r var
  98                                 in (truth_value, r', h')
  99
 100                 let exists var : clause_op = fun one_dpm ->
 101                         List.map (fun d -> bind_dpm one_dpm (new_peg_and_assign var d)) domain
 102
 103                 (* negate_op, and_op, or_op, and if_op as above *)
 104
 105                 let (>>=) = bind_set;;
 106                 let initial_set = [fun (r,h) -> (true,r,h)];;
 107
 108                 let initial_r = fun var -> failwith ("no value for " ^ (Char.escaped var));;
 109                 let run dpm_set =
 110                         let bool_set = List.map (fun one_dpm -> let (value, r, h) = one_dpm (initial_r, []) in value) dpm_set
 111                         in List.exists (fun truth_value -> truth_value) bool_set;;
 112
 113                 let male obj = obj = Bob || obj = Ted;;
 114                 let wife_of x y = (x,y) = (Bob, Carol) || (x,y) = (Ted, Alice);;
 115                 let kisses x y = (x,y) = (Bob, Carol) || (x,y) = (Ted, Alice);;
 116                 let misses x y = (x,y) = (Bob, Carol) || (x,y) = (Ted, Carol);;
 117                 let getx = get 'x';;
 118                 let gety = get 'y';;
 119
 120                 (* "a man x has a wife y" *)
 121                 let antecedent = fun one_dpm -> exists 'x' one_dpm >>= lift_predicate male getx >>= exists 'y' >>= lift_predicate2 wife_of getx gety;;
 122
 123                 (* "if a man x has a wife y, x kisses y" *)
 124                 run (initial_set >>= if_op antecedent (lift_predicate2 kisses getx gety));;
 125                 (* Bob has wife Carol, and kisses her; and Ted has wife Alice and kisses her; so this is true! *)
 126
 127                 (* "if a man x has a wife y, x misses y" *)
 128                 run (initial_set >>= if_op antecedent (lift_predicate2 misses getx gety));;
 129                 (* Bob has wife Carol, and misses her; but Ted misses only Carol, not his wife Alice; so this is false! *)
 130