exercises/assignment1_answers.mdwn

   1 1.  Define a function `zero?` that expects a single number as an argument, and returns `'true` if that number is `0`, else returns `'false`.
   2
   3         let
   4           zero? match lambda x. case x of
   5                                   0 then 'true;
   6                                   y then 'false
   7                                 end
   8         in zero?
   9
  10
  11 2.  Define a function `empty?` that expects a sequence of values as an argument (doesn't matter what type of values), and returns `'true` if that sequence is the empty sequence `[]`, else returns `'false`.
  12
  13         let
  14           empty? match lambda xs. case xs of
  15                                     []    then 'true;
  16                                     _ & _ then 'false
  17                                   end
  18         in empty?
  19
  20 3.  Define a function `tail` that expects a sequence of values as an argument (doesn't matter what type of values), and returns that sequence with the first element (if any) stripped away. (Applying `tail` to the empty sequence `[]` can just give us back the empty sequence.)
  21
  22         let
  23           tail match lambda xs. case xs of
  24                                   []      then [];
  25                                   _ & xs' then xs'
  26                                 end
  27         in tail
  28
  29
  30 4.  Define a function `drop` that expects two arguments, in the form (*number*, *sequence*), and works like this:
  31
  32         drop (0, [10, 20, 30])  # evaluates to [10, 20, 30]
  33         drop (1, [10, 20, 30])  # evaluates to [20, 30]
  34         drop (2, [10, 20, 30])  # evaluates to [30]
  35         drop (3, [10, 20, 30])  # evaluates to []
  36         drop (4, [10, 20, 30])  # evaluates to []
  37
  38     <!-- -->
  39
  40         letrec
  41           drop match lambda (n, xs). case (n, xs) of
  42                                        (0, _)       then xs;
  43                                        (_, [])      then [];
  44                                        (_, _ & xs') then drop (n-1, xs')
  45                                      end
  46         in drop
  47
  48     What is the relation between `tail` and `drop`?
  49
  50         let
  51           tail xs = drop (1, xs)
  52         in ...
  53
  54 5.  Define a function `take` that expects two arguments, in the same form as `drop`, but works like this instead:
  55
  56         take (0, [10, 20, 30])  # evaluates to []
  57         take (1, [10, 20, 30])  # evaluates to [10]
  58         take (2, [10, 20, 30])  # evaluates to [10, 20]
  59         take (3, [10, 20, 30])  # evaluates to [10, 20, 30]
  60         take (4, [10, 20, 30])  # evaluates to [10, 20, 30]
  61
  62     <!-- -->
  63
  64         letrec
  65           take match lambda (n, xs). case (n, xs) of
  66                                        (0, _)        then [];
  67                                        (_, [])       then [];
  68                                        (_, x' & xs') then x' & take (n-1, xs')
  69                                      end
  70         in take
  71
  72
  73 6.  Define a function `split` that expects two arguments, in the same form as `drop` and `take`, but this time evaluates to a pair of results. It works like this:
  74
  75         split (0, [10, 20, 30])  # evaluates to ([], [10, 20, 30])
  76         split (1, [10, 20, 30])  # evaluates to ([10], [20, 30])
  77         split (2, [10, 20, 30])  # evaluates to ([10, 20], [30])
  78         split (3, [10, 20, 30])  # evaluates to ([10, 20, 30], [])
  79         split (4, [10, 20, 30])  # evaluates to ([10, 20, 30], [])
  80
  81     <!-- -->
  82
  83         letrec
  84           split match lambda (n, xs). case (n, xs) of
  85                                        (0, _)        then ([], xs);
  86                                        (_, [])       then ([], []);
  87                                        (_, x' & xs') then let
  88                                                             (ys, zs) match split (n-1, xs')
  89                                                           in (x' & ys, zs)
  90                                      end
  91         in split
  92
  93 7.  Write a function `filter` that expects two arguments. The second argument will be a sequence `xs` with elements of some type *t*, for example numbers. The first argument will be a function `p` that itself expects arguments of type *t* and returns `'true` or `'false`. What `filter` should return is a sequence that contains exactly those members of `xs` for which `p` returned `'true`.
  94
  95         letrec
  96           filter match lambda (p, xs). case xs of
  97                                          [] then [];
  98                                          x' & xs' when p x' then x' & filter (p, xs');
  99                                          _  & xs'           then      filter (p, xs')
 100                                        end
 101         in filter
 102
 103     The above solution uses [[pattern guards|/topics/week1_kapulet_advanced#guards]].
 104
 105
 106 8.  Write a function `partition` that expects two arguments, in the same form as `filter`, but this time evaluates to a pair of results. It works like this:
 107
 108         partition (odd?, [11, 12, 13, 14])  # evaluates to ([11, 13], [12, 14])
 109         partition (odd?, [11])              # evaluates to ([11], [])
 110         partition (odd?, [12, 14])          # evaluates to ([], [12, 14])
 111
 112     <!-- -->
 113
 114         letrec
 115           partition match lambda (p, xs). case xs of
 116                                             []       then ([], []);
 117                                             x' & xs' then let
 118                                                             (ys, zs) match partition (p, xs')
 119                                                           in if p x' then (x' & ys, zs) else (ys, x' & zs)
 120                                           end
 121         in partition
 122
 123
 124 9.  Write a function `double` that expects one argument which is a sequence of numbers, and returns a sequence of the same length with the corresponding elements each being twice the value of the original element.
 125
 126         letrec
 127           double match lambda xs. case xs of
 128                                     []       then [];
 129                                     x' & xs' then (2*x') & double xs'
 130                                   end
 131         in double
 132
 133
 134 10.  Write a function `map` that generalizes `double`. This function expects a pair of arguments, the second being a sequence `xs` with elements of some type *t*, for example numbers. The first argument will be a function `f` that itself expects arguments of type *t* and returns some type *t'* of result. What `map` should return is a sequence of the results, in the same order as the corresponding original elements. The result should be that we could say:
 135
 136         letrec
 137           map match lambda (f, xs). case xs of
 138                                       []       then [];
 139                                       x' & xs' then (f x') & map (f, xs')
 140                                     end;
 141           double match lambda xs. map ((lambda x. 2*x), xs)
 142         in ...
 143
 144 11. Write a function `map2` that generalizes `map`. This function expects a triple of arguments: the first being a function `f` as for `map`, and the second and third being two sequences. In this case `f` is a function that expects *two* arguments, one from the first of the sequences and the other from the corresponding position in the other sequence. The result should behave like this:
 145
 146         map2 ((lambda (x,y). 10*x + y), [1, 2, 3], [4, 5, 6])  # evaluates to [14, 25, 36]
 147
 148     <!-- -->
 149
 150         letrec
 151           map2 match lambda (f, xs, ys). case (xs, ys) of
 152                                       ([], _)              then [];
 153                                       (_, [])              then [];
 154                                       (x' & xs', y' & ys') then (f x' y') & map2 (f, xs', ys')
 155                                     end
 156         in map2
 157
 158
 159 ###Extra credit problems###
 160
 161 *   In class I mentioned a function `&&` which occupied the position *between* its arguments, rather than coming before them (this is called an "infix" function). The way that it works is that `[1, 2, 3] && [4, 5]` evaluates to `[1, 2, 3, 4, 5]`. Define this function, making use of `letrec` and the simpler infix operation `&`.
 162
 163         letrec
 164           xs && ys = case xs of
 165                        []       then ys;
 166                        x' & xs' then x' & (xs' && ys)
 167                      end
 168         in (&&)
 169
 170     This solution is using a variation of [[the shorthand explained here|topics/week1_kapulet_advanced#funct-declarations]]. We didn't expect you'd know how to deal with the special syntax of `&&`. You might have just defined this using a regular name, like `append`.
 171
 172 *   Write a function `unmap2` that is something like the inverse of `map2`. This function expects two arguments, the second being a sequence of elements of some type *t*. The first is a function `g` that expects a single argument of type *t* and returns a *pair* of results, rather than just one result. We want to collate these results, the first into one sequence, and the second into a different sequence. Then `unmap2` should return those two sequences. Thus if:
 173
 174         g z1  # evaluates to (x1, y1)
 175         g z2  # evaluates to (x2, y2)
 176         g z3  # evaluates to (x3, y3)
 177
 178     Then `unmap2 (g, [z1, z2, z3])` should evaluate to `([x1, x2, x3], [y1, y2, y3])`.
 179
 180         letrec
 181           unmap2 match lambda (g, zs). case zs of
 182                                          []       then ([], []);
 183                                          z' & zs' then let
 184                                                          (x, y)   match g z';
 185                                                          (xs, ys) match unmap2 (g, zs')
 186                                                        in (x & xs, y & ys)
 187                                        end
 188         in unmap2
 189
 190 *   Write a function `takewhile` that expects a `p` argument like `filter`, and also a sequence. The result should behave like this:
 191
 192         takewhile ((lambda x. x < 10), [1, 2, 20, 4, 40]) # evaluates to [1, 2]
 193
 194     Note that we stop "taking" once we reach `20`, even though there are still later elements in the sequence that are less than `10`.
 195
 196         letrec
 197           takewhile (p, xs) = case xs of
 198                                 []       then [];
 199                                 x' & xs' then if p x' then x' & takewhile (p, xs')
 200                                                       else []
 201                               end
 202         in takewhile
 203
 204 *   Write a function `dropwhile` that expects a `p` argument like `filter`, and also a sequence. The result should behave like this:
 205
 206         dropwhile ((lambda x. x < 10), [1, 2, 20, 4, 40]) # evaluates to [20, 4, 40]
 207
 208     Note that we stop "dropping" once we reach `20`, even though there are still later elements in the sequence that are less than `10`.
 209
 210         letrec
 211           dropwhile (p, xs) = case xs of
 212                                 x' & xs' when p x' then dropwhile (p, xs');
 213                                 _ & _              then xs;
 214                                 []                 then []
 215                               end
 216         in dropwhile
 217
 218     Unlike the previous solution, this one uses [[pattern guards|/topics/week1_kapulet_advanced#guards]], merely for variety. (In this solution the last two case clauses could also be replaced by the single clause `_ then xs`.)
 219
 220 *   Write a function `reverse` that returns the reverse of a sequence. Thus, `reverse [1, 2, 3, 4]` should evaluate to `[4, 3, 2, 1]`.
 221
 222         letrec
 223           aux (ys, xs) = case xs of
 224                            []       then ys;
 225                            x' & xs' then aux (x' & ys, xs')
 226                          end;
 227           reverse xs = aux ([], xs)
 228         in reverse
 229