1 Assignment 5
3 Types and OCaml
4 ---------------
6 0.      Recall that the S combinator is given by \x y z. x z (y z).
7         Give two different typings for this function in OCaml.
8         To get you started, here's one typing for K:
10                 # let k (y:'a) (n:'b) = y;;
11                 val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
12                 # k 1 true;;
13                 - : int = 1
16 1.      Which of the following expressions is well-typed in OCaml?
17         For those that are, give the type of the expression as a whole.
18         For those that are not, why not?
20                 let rec f x = f x;;
22                 let rec f x = f f;;
24                 let rec f x = f x in f f;;
26                 let rec f x = f x in f ();;
28                 let rec f () = f f;;
30                 let rec f () = f ();;
32                 let rec f () = f () in f f;;
34                 let rec f () = f () in f ();;
36 2.      Throughout this problem, assume that we have
38                 let rec blackhole x = blackhole x;;
40         All of the following are well-typed.
41         Which ones terminate?  What are the generalizations?
43                 blackhole;;
45                 blackhole ();;
47                 fun () -> blackhole ();;
49                 (fun () -> blackhole ()) ();;
51                 if true then blackhole else blackhole;;
53                 if false then blackhole else blackhole;;
55                 if true then blackhole else blackhole ();;
57                 if false then blackhole else blackhole ();;
59                 if true then blackhole () else blackhole;;
61                 if false then blackhole () else blackhole;;
63                 if true then blackhole () else blackhole ();;
65                 if false then blackhole () else blackhole ();;
67                 let _ = blackhole in 2;;
69                 let _ = blackhole () in 2;;
71 3.      This problem is to begin thinking about controlling order of evaluation.
72 The following expression is an attempt to make explicit the
73 behavior of `if`-`then`-`else` explored in the previous question.
74 The idea is to define an `if`-`then`-`else` expression using
75 other expression types.  So assume that "yes" is any OCaml expression,
76 and "no" is any other OCaml expression (of the same type as "yes"!),
77 and that "bool" is any boolean.  Then we can try the following:
78 "if bool then yes else no" should be equivalent to
80                 let b = bool in
81                 let y = yes in
82                 let n = no in
83                 match b with true -> y | false -> n
85         This almost works.  For instance,
87                 if true then 1 else 2;;
89         evaluates to 1, and
91                 let b = true in let y = 1 in let n = 2 in
92                 match b with true -> y | false -> n;;
94         also evaluates to 1.  Likewise,
96                 if false then 1 else 2;;
98         and
100                 let b = false in let y = 1 in let n = 2 in
101                 match b with true -> y | false -> n;;
103         both evaluate to 2.
105         However,
107                 let rec blackhole x = blackhole x in
108                 if true then blackhole else blackhole ();;
110         terminates, but
112                 let rec blackhole x = blackhole x in
113                 let b = true in
114                 let y = blackhole in
115                 let n = blackhole () in
116                 match b with true -> y | false -> n;;
118         does not terminate.  Incidentally, `match bool with true -> yes |
119         false -> no;;` works as desired, but your assignment is to solve it
120         without using the magical evaluation order properties of either `if`
121         or of `match`.  That is, you must keep the `let` statements, though
122         you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
124         [[Hint assignment 5 problem 3]]
126 Booleans, Church numerals, and v3 lists in OCaml
127 ------------------------------------------------
129 (These questions adapted from web materials by Umut Acar. See <http://www.mpi-sws.org/~umut/>.)
131 Let's think about the encodings of booleans, numerals and lists in System F, and get datastructures with the same explicit form working in OCaml. (The point... so we won't rely on OCaml's native booleans, integers, or lists.)
133 Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.
135         types τ ::= c | 'a | τ1 → τ2 | ∀'a. τ
136         expressions e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λ'a. e | e [τ]
138 The boolean type, and its two values, may be encoded as follows:
140         bool := ∀'a. 'a → 'a → 'a
141         true := Λ'a. λt:'a. λf :'a. t
142         false := Λ'a. λt:'a. λf :'a. f
144 It's used like this:
146         b [τ] e1 e2
148 where b is a boolean value, and τ is the shared type of e1 and e2.
150 **Exercise**. How should we implement the following terms. Note that the result of applying them to the appropriate arguments should also give us a term of type bool.
152 (a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
153 (b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
154 (c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
157 The type nat (for "natural number") may be encoded as follows:
159         nat := ∀'a. 'a → ('a → 'a) → 'a
160         zero := Λ'a. λz:'a. λs:'a → 'a. z
161         succ := λn:nat. Λ'a. λz:'a. λs:'a → 'a. s (n ['a] z s)
163 A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n
164 times. In the polymorphic encoding above, the result of that iteration can be
165 any type 'a, as long as you have a base element z : 'a and a function s : 'a → 'a.
167 **Excercise**: get booleans and Church numbers working in OCaml,
168 including OCaml versions of bool, true, false, zero, iszero, succ, and **pred**.
170 Consider the following list type:
172         type 'a list = Nil | Cons of 'a * 'a list
174 We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:
176         τ list := ∀'a. 'a → (τ → 'a → 'a) → 'a
177         nil τ := Λ'a. λn:'a. λc:τ → 'a → 'a. n
178         make_list τ := λh:τ. λt:τ list. Λ'a. λn:'a. λc:τ → 'a → 'a. c h (t ['a] n c)
180 As with nats, recursion is built into the datatype.
182 We can write functions like map:
184         map : (σ → τ ) → σ list → τ list
185                 = λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nilτ (λx:σ. λy:τ list. consτ (f x) y
187 **Excercise** convert this function to OCaml.  Also write an `append` function.
188 Also write a **head** function. Test with simple lists.
191 Consider the following simple binary tree type:
193         type 'a tree = Leaf | Node of 'a tree * 'a * 'a tree
195 **Excercise**
196 Write a function `sum_leaves` that computes the sum of all the
197 leaves in an int tree.
199 Write a function `in_order` : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
200 may assume the above encoding of lists; deﬁne any auxiliary functions you need.