assignment2.mdwn

   1 More Lambda Practice
   2 --------------------
   3
   4 Insert all the implicit `( )`s and <code>&lambda;</code>s into the following abbreviated expressions:
   5
   6 1.      `x x (x x x) x`
   7 2.      `v w (\x y. v x)`
   8 3.      `(\x y. x) u v`
   9 4.      `w (\x y z. x z (y z)) u v`
  10
  11 Mark all occurrences of `x y` in the following terms:
  12
  13 <OL start=5>
  14 <LI>`(\x y. x y) x y`
  15 <LI>`(\x y. x y) (x y)`
  16 <LI> `\x y. x y (x y)`
  17 </OL>
  18
  19 Reduce to beta-normal forms:
  20
  21 <OL start=8>
  22 <LI>`(\x. x (\y. y x)) (v w)`
  23 <LI>`(\x. x (\x. y x)) (v w)`
  24 <LI>`(\x. x (\y. y x)) (v x)`
  25 <LI>`(\x. x (\y. y x)) (v y)`
  26
  27 <LI>`(\x y. x y y) u v`
  28 <LI>`(\x y. y x) (u v) z w`
  29 <LI>`(\x y. x) (\u u)`
  30 <LI>`(\x y z. x z (y z)) (\u v. u)`
  31 </OL>
  32
  33
  34 Lists and Numbers
  35 -----------------
  36
  37 We'll assume the "Version 3" implementation of lists and numbers throughout. So:
  38
  39 <pre><code>zero &equiv; \s z. z
  40 succ &equiv; \n. \s z. s (n s z)
  41 iszero &equiv; \n. n (\x. false) true
  42 add &equiv; \m \n. m succ n
  43 mul &equiv; \m \n. \s. m (n s)</code></pre>
  44
  45 And:
  46
  47 <pre><code>empty &equiv; \f z. z
  48 make-list &equiv; \hd tl. \f z. f hd (tl f z)
  49 isempty &equiv; \lst. lst (\hd sofar. false) true
  50 extract-head &equiv; \lst. lst (\hd sofar. hd) junk</code></pre>
  51
  52 The `junk` in `extract-head` is what you get back if you evaluate:
  53
  54         extract-head empty
  55
  56 As we said, the predecessor and the extract-tail functions are harder to define. We'll just give you one implementation of these, so that you'll be able to test and evaluate lambda-expressions using them in Scheme or OCaml.
  57
  58 <pre><code>predecesor &equiv; (\shift n. n shift (make-pair zero junk) get-second) (\pair. pair (\fst snd. make-pair (successor fst) fst))
  59
  60 extract-tail &equiv; (\shift lst. lst shift (make-pair empty junk) get-second) (\hd pair. pair (\fst snd. make-pair (make-list hd fst) fst))</code></pre>
  61
  62 The `junk` is what you get back if you evaluate:
  63
  64         predecessor zero
  65
  66         extract-tail empty
  67
  68 Alternatively, we might reasonably declare the predecessor of zero to be zero (this is a common construal of the predecessor function in discrete math), and the tail of the empty list to be the empty list.
  69
  70
  71 For these exercises, assume that `LIST` is the result of evaluating:
  72
  73         (make-list a (make-list b (make-list c (make-list d (make-list e empty)))))
  74
  75
  76 <OL start=16>
  77 <LI>What would be the result of evaluating (see [[Assignment 2 hint 1]] for a hint):
  78
  79         LIST make-list empty
  80
  81 <LI>Based on your answer to question 16, how might you implement the **map** function? Expected behavior:
  82
  83         map f LIST <~~> (make-list (f a) (make-list (f b) (make-list (f c) (make-list (f d) (make-list (f e) empty)))))
  84
  85 <LI>Based on your answer to question 16, how might you implement the **filter** function? The expected behavior is that:
  86
  87         filter f LIST
  88
  89 should evaluate to a list containing just those of `a`, `b`, `c`, `d`, and `e` such that `f` applied to them evaluates to `true`.
  90
  91 <LI>How would you implement map using the either the version 1 or the version 2 implementation of lists?
  92
  93 <LI>Our version 3 implementation of the numbers are usually called "Church numerals". If `m` is a Church numeral, then `m s z` applies the function `s` to the result of applying `s` to ... to `z`, for a total of *m* applications of `s`, where *m* is the number that `m` represents or encodes.
  94
  95 Given the primitive arithmetic functions above, how would you implement the less-than-or-equal function? Here is the expected behavior, where `one` abbreviates `succ zero`, and `two` abbreviates `succ (succ zero)`.
  96
  97         less-than-or-equal zero zero ~~> true
  98         less-than-or-equal zero one ~~> true
  99         less-than-or-equal zero two ~~> true
 100         less-than-or-equal one zero ~~> false
 101         less-than-or-equal one one ~~> true
 102         less-than-or-equal one two ~~> true
 103         less-than-or-equal two zero ~~> false
 104         less-than-or-equal two one ~~> false
 105         less-than-or-equal two two ~~> true
 106
 107 You'll need to make use of the predecessor function, but it's not essential to understand how the implementation we gave above works. You can treat it as a black box.
 108 </OL>
 109