arithmetic.mdwn

   1 Here are a bunch of pre-tested operations for the untyped lambda calculus. In some cases multiple versions are offered.
   2
   3         ; booleans
   4         let true = \y n. y  in ; aka K
   5         let false = \y n. n  in ; aka K I
   6         let and = \p q. p q false  in ; or
   7         let and = \p q. p q p  in ; aka S C I
   8         let or = \p q. p true q  in ; or
   9         let or = \p q. p p q  in ; aka M
  10         let not = \p. p false true  in ; or
  11         let not = \p y n. p n y  in ; aka C
  12         let xor = \p q. p (not q) q  in
  13         let iff = \p q. not (xor p q)  in ; or
  14         let iff = \p q. p q (not q)  in
  15
  16         ; pairs
  17         let make_pair = \x y f. f x y  in
  18         let get_1st = \x y. x  in ; aka true
  19         let get_2nd = \x y. y  in ; aka false
  20
  21         ; triples
  22         let make_triple = \x y z f. f x y z  in
  23
  24
  25         ; version 3 lists
  26
  27         let empty = \f z. z  in
  28         let make_list = \h t f z. f h (t f z)  in
  29         let isempty = \lst. lst (\h sofar. false) true  in
  30         let head = \lst. lst (\h sofar. h) junk  in
  31         let tail = \lst. (\shift lst. lst shift (make_pair empty junk) get_2nd)
  32                                 ; where shift is
  33                                 (\h p. p (\t y. make_pair (make-list h t) t))  in
  34         let length = \lst. lst (\h sofar. succ sofar) zero  in
  35         let map = \f lst. lst (\h sofar. make_list (f h) sofar) empty  in
  36         let filter = \f lst. lst (\h sofar. f h (make_list h sofar) sofar) empty  in ; or
  37         let filter = \f lst. lst (\h. f h (make_list h) I) empty  in
  38
  39
  40         ; version 1 lists
  41
  42         let empty = make_pair true junk  in
  43         let make_list = \h t. make_pair false (make_pair h t)  in
  44         let isempty = \lst. lst get_1st  in
  45         let head = \lst. isempty lst error (lst get_2nd get_1st)  in
  46         let tail_empty = empty  in
  47         let tail = \lst. isempty lst tail_empty (lst get_2nd get_2nd)  in
  48
  49
  50
  51         ; Church numerals: easy operations
  52
  53         let zero = \s z. z  in ; aka false
  54         let one = \s z. s z  in ; aka I
  55         let succ = \n s z. s (n s z)  in
  56         ; for any Church numeral n > zero : n (K y) z ~~> y
  57         let iszero = \n. n (\x. false) true  in
  58         let add = \m n. m succ n  in ; or
  59         let add = \m n s z. m s (n s z)  in
  60         let mul = \m n. m (\z. add n z) zero  in ; or
  61         let mul = \m n s. m (n s)  in
  62         let pow = \b exp. exp (mul b) one  in ; or
  63         ; b succ : adds b
  64         ; b (b succ) ; adds b b times, ie adds b^2
  65         ; b (b (b succ)) ; adds b^2 b times, ie adds b^3
  66         ; exp b succ ; adds b^exp
  67         let pow = \b exp s z. exp b s z  in
  68
  69
  70         ; three strategies for predecessor
  71         let pred_zero = zero  in
  72         let pred = (\shift n. n shift (make_pair zero pred_zero) get_2nd)
  73                 ; where shift is
  74                 (\p. p (\x y. make_pair (succ x) x))  in ; or
  75         ; from Oleg; observe that for any Church numeral n: n I ~~> I
  76         let pred = \n. iszero n zero
  77                                         ; else
  78                                         (n (\x. x I ; when x is the base term, this will be K zero
  79                                                           ; when x is a Church numeral, it will be I
  80                                                 (succ x))
  81                                           ; base term
  82                                           (K (K zero))
  83                                         )  in
  84         ; from Bunder/Urbanek
  85         let pred = \n s z. n (\u v. v (u s)) (K z) I  in ; or
  86
  87
  88         ; inefficient but simple comparisons
  89         let leq = \m n. iszero (n pred m)  in
  90         let lt = \m n. not (leq n m)  in
  91         let eq = \m n. and (leq m n) (leq n m)  in ; or
  92
  93
  94         ; more efficient comparisons, Oleg's gt provided some simplifications
  95         let leq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
  96                         ; where base is
  97                         (make_pair true junk)
  98                         ; and build is
  99                         (\p. make_pair false p)
 100                         ; and consume is
 101                         (\p. p get_1st p (p get_2nd))  in
 102         let lt = \m n. not (leq n m)  in
 103         let eq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
 104                         ; 2nd element of a pair will now be of the form (K sthg) or I
 105                         ; we supply the pair being consumed itself as an argument
 106                         ; getting back either sthg or the pair we just consumed
 107                         ; base is
 108                         (make_pair true (K (make_pair false I)))
 109                         ; and build is
 110                         (\p. make_pair false (K p))
 111                         ; and consume is
 112                         (\p. p get_2nd p)  in
 113
 114
 115         ; -n is a fixedpoint of \x. add (add n x) x
 116         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 117         ; instead:
 118         let sub = \m n. n pred m  in ; or
 119         ; how many times we can succ n until m <= result
 120         let sub = \m n. (\base build. m build base (\cur fin sofar. sofar))
 121                                 ; where base is
 122                                 (make_triple n false zero)
 123                                 ; and build is
 124                                 (\t. t (\cur fin sofar. or fin (leq m cur)
 125                                                 (make_triple cur true sofar) ; enough
 126                                                 (make_triple (succ cur) false (succ sofar)) ; continue
 127                                 ))  in
 128         ; or
 129         let sub = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st)
 130                         ; where base is
 131                         (make_pair zero I) ; see second defn of eq for explanation of 2nd element
 132                         ; and build is
 133                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p)))
 134                         ; and consume is
 135                         (\p. p get_2nd p)  in
 136
 137
 138         let min = \m n. sub m (sub m n) in
 139         let max = \m n. add n (sub m n) in
 140
 141
 142         ; (m/n) is a fixedpoint of \x. add (sub (mul n x) m) x
 143         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 144         ; instead:
 145         ; how many times we can sub n from m while n <= result
 146         let div = \m n. (\base build. m build base (\cur go sofar. sofar))
 147                                 ; where base is
 148                                 (make_triple m true zero)
 149                                 ; and build is
 150                                 (\t. t (\cur go sofar. and go (leq n cur)
 151                                                 (make_triple (sub cur n) true (succ sofar)) ; continue
 152                                                 (make_triple cur false sofar) ; enough
 153                                 ))  in
 154     ; what's left after sub n from m while n <= result
 155     let mod = \m n. (\base build. m build base (\cur go. cur))
 156                 ; where base is
 157                 (make_pair m true)
 158                 ; and build is
 159                 (\p. p (\cur go. and go (leq n cur)
 160                         (make_pair (sub cur n) true) ; continue
 161                         (make_pair cur false) ; enough
 162                 ))  in
 163
 164         ; or
 165         let divmod = (\base build mtail. \m n.
 166                                         (\dhead. m (mtail dhead) (\sel. dhead (sel 0 0)))
 167                                                         (n build base (\x y z. z junk))
 168                                                         (\t u x y z. make_pair t u) )
 169                                 ; where base is
 170                                 (make_triple succ (K 0) I) ; see second defn of eq for explanation of 3rd element
 171                                 ; and build is
 172                         (\t. make_triple I succ (K t))
 173                                 ; and mtail is
 174                                 (\dhead d. d (\dz mz df mf drest sel. drest dhead (sel (df dz) (mf mz))))
 175         in
 176         let div = \n d. divmod n d get_1st  in
 177         let mod = \n d. divmod n d get_2nd  in
 178
 179
 180         ; sqrt n is a fixedpoint of \x. div (div (add n (mul x x)) 2) x
 181         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 182
 183
 184         ; (log base b of m) is a fixedpoint of \x. add (sub (pow b x) m) x
 185         ; but unfortunately Y that_function doesn't normalize
 186         ; instead:
 187         ; how many times we can mul b by b while result <= m
 188         let log = \m b. (\base build. m build base (\cur go sofar. sofar))
 189                 ; where base is
 190                 (make_triple b true 0)
 191                 ; and build is
 192                 (\t. t (\cur go sofar. and go (leq cur m)
 193                            (make_triple (mul cur b) true (succ sofar)) ; continue
 194                            (make_triple cur false sofar) ; enough
 195                 ))  in
 196
 197
 198         ; Curry's fixed point combinator
 199         let Y = \f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h)) in
 200         ; Turing's fixed point combinator
 201         let Z = (\u f. f (u u f)) (\u f. f (u u f))  in
 202
 203
 204         ; length for version 1 lists
 205         let length = Y (\self lst. isempty lst 0 (succ (self (tail lst))))  in
 206
 207
 208         ; numhelper 0 f z ~~> z
 209         ; when n > 0: numhelper n f z ~~> f (pred n)
 210         ; compare Bunder/Urbanek pred
 211         let numhelper = \n. n (\u v. v (u succ)) (K 0) (\p f z. f p)  in
 212
 213         ; accepts fixed point combinator as a parameter, so you can use different ones
 214         let fact = \y. y (\self n. numhelper n (\p. mul n (self p)) 1)  in
 215
 216
 217
 218         fact Z 3  ; returns 6
 219
 220
 221 <!--
 222         ; my original efficient comparisons
 223         let leq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) get_1st (\x. false) true)
 224                         ; where base is
 225                         (make_pair zero I) ; supplying this pair as an arg to its 2nd term returns the pair
 226                         ; and build is
 227                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p))) ; supplying the made pair as an arg to its 2nd term returns p (the previous pair)
 228                         ; and consume is
 229                         (\p. p get_2nd p)  in
 230         let lt = \m n. not (leq n m) in
 231         let eq = (\base build consume. \m n. n consume (m build base) true (\x. false) true)
 232                         ; where base is
 233                         (make_pair zero (K (make_pair one I)))
 234                         ; and build is
 235                         (\p. p (\x y. make_pair (succ x) (K p)))
 236                         ; and consume is
 237                         (\p. p get_2nd p)  in ; or
 238 -->