author Chris Mon, 16 Mar 2015 19:35:04 +0000 (15:35 -0400) committer Chris Mon, 16 Mar 2015 19:35:04 +0000 (15:35 -0400)

index 1ebac0c..ebc20e0 100644 (file)
@@ -166,23 +166,15 @@ Then the obvious singleton for the Option monad is \p.Just p.  Give
(or reconstruct) the composition operator >=> we discussed in class.
Show your composition operator obeys the monad laws.

-2. Do the same with crossy lists.  That is, given an arbitrary type
-'a, let the boxed type be a list of objects of type 'a.  The singleton
+2. Do the same with lists.  That is, given an arbitrary type
+'a, let the boxed type be ['a], i.e., a list of objects of type 'a.  The singleton
is `\p.[p]`, and the composition operator is

-       >=> (first:P->[Q]) (second:Q->[R]) :(P->[R]) = fun p -> [r | q <- first p, r <- second q]
+       >=> (first:P->[Q]) (second:Q->[R]) :(P->[R]) = List.flatten (List.map f (g a))

-Sanity check:
+For example:

f p = [p, p+1]
s q = [q*q, q+q]
>=> f s 7 = [49, 14, 64, 16]

-3. Do the same for zippy lists.  That is, you need to find a
-composition operator such that
-
-      f p = [p, p+1]
-      s q = [q*q, q+q]
-      >=> f s 7 = [49, 16]
-
-and then prove it obeys the monad laws.
index 32f7ac0..b9be5ba 100644 (file)
@@ -74,13 +74,14 @@ if `α List` is our box type, we can write the second arrow as

We'll need a number of classes of functions to help us maneuver in the
presence of box types.  We will want to define a different instance of
-each of these for whichever box type we're dealing with:
+each of these for whichever box type we're dealing with.  (This will
+become clearly shortly.)

<code>mid (/&epsilon;maid&epsilon;nt@tI/ aka unit, return, pure): P -> <u>P</u></code>

<code>map (/maep/): (P -> Q) -> <u>P</u> -> <u>Q</u></code>

-<code>map2 (/maeptu/): (P -> Q -> R) -> <u>P</u> -> <u>Q</u> -> <u>R</u></code>
+<code>map2 (/m&ash;ptu/): (P -> Q -> R) -> <u>P</u> -> <u>Q</u> -> <u>R</u></code>

<code>mapply (/&epsilon;m@plai/): <u>P -> Q</u> -> <u>P</u> -> <u>Q</u></code>

@@ -108,8 +109,8 @@ if there is a `map` function defined for that box type with the type given above
if there are in addition `map2`, `mid`, and `mapply`.  (With
`map2` in hand, `map3`, `map4`, ... `mapN` are easily definable.)

-* ***Monad*** ("composable") A MapNable box type is a *Monad* if there
-       is in addition an `mcompose` and a `join` such that `mid` is be
+* ***Monad*** ("composables") A MapNable box type is a *Monad* if there
+       is in addition an `mcompose` and a `join` such that `mid` is
a left and right identity for `mcompose`, and `mcompose` is
associative.  That is, the following "laws" must hold:

@@ -124,26 +125,26 @@ Identity box type is a completly invisible box.  With the following
definitions

mid ≡ \p.p
-    mcompose ≡ \f\g\x.f(gx)
+    mcompose ≡ \fgx.f(gx)

Id is a monad.  Here is a demonstration that the laws hold:

-    mcompose mid k == (\f\g\x.f(gx)) (\p.p) k
+    mcompose mid k == (\fgx.f(gx)) (\p.p) k
~~> \x.(\p.p)(kx)
~~> \x.kx
~~> k
-    mcompose k mid == (\f\g\x.f(gx)) k (\p.p)
+    mcompose k mid == (\fgx.f(gx)) k (\p.p)
~~> \x.k((\p.p)x)
~~> \x.kx
~~> k
-    mcompose (mcompose j k) l == mcompose ((\f\g\x.f(gx)) j k) l
+    mcompose (mcompose j k) l == mcompose ((\fgx.f(gx)) j k) l
~~> mcompose (\x.j(kx)) l
-                              == (\f\g\x.f(gx)) (\x.j(kx)) l
+                              == (\fgx.f(gx)) (\x.j(kx)) l
~~> \x.(\x.j(kx))(lx)
~~> \x.j(k(lx))
-    mcompose j (mcompose k l) == mcompose j ((\f\g\x.f(gx)) k l)
+    mcompose j (mcompose k l) == mcompose j ((\fgx.f(gx)) k l)
~~> mcompose j (\x.k(lx))
-                              == (\f\g\x.f(gx)) j (\x.k(lx))
+                              == (\fgx.f(gx)) j (\x.k(lx))
~~> \x.j((\x.k(lx)) x)
~~> \x.j(k(lx))

@@ -157,10 +158,15 @@ consider the box type `α List`, with the following operations:

mcompose-crossy: (β -> [γ]) -> (α -> [β]) -> (α -> [γ])
mcompose-crossy f g a = [c | b <- g a, c <- f b]
+    mcompose-crossy f g a = foldr (\b -> \gs -> (f b) ++ gs) [] (g a)
+    mcompose-crossy f g a = concat (map f (g a))

+These three definitions are all equivalent.
In words, `mcompose f g a` feeds the a (which has type α) to g, which
returns a list of βs; each β in that list is fed to f, which returns a
-list of γs.  The final result is the concatenation of those lists of γs.
+list of γs.
+
+The final result is the concatenation of those lists of γs.
For example,

let f b = [b, b+1] in
@@ -169,12 +175,11 @@ For example,

It is easy to see that these definitions obey the monad laws (see exercises).

-There can be multiple monads for any given box type.  For isntance,
+There can be multiple monads for any given box type.  For instance,
using the same box type and the same mid, we can define

-    mcompose-zippy f g a = match (f,g) with
-      ([],_) -> []
-      (_,[]) -> []
-      (f:ftail, g:gtail) -> f(ga) && mcompoze-zippy ftail gtail a
+    mcompose-zippy f g a = foldr (\b -> \gs -> f b ++ gs) (g a) []

+so that

+    mcompose-zippy f g 7 = [49, 14]