author jim Fri, 20 Mar 2015 18:29:14 +0000 (14:29 -0400) committer Linux User Fri, 20 Mar 2015 18:29:14 +0000 (14:29 -0400)

index 718677e..bc719e0 100644 (file)
@@ -1,4 +1,4 @@
-<!-- λ Λ ∀ ≡ α β γ ρ ω Ω -->
+<!-- λ Λ ∀ ≡ α β γ ρ ω Ω ○ μ η δ ζ ξ ⋆ ★ • ∙ ● 𝟎 𝟏 𝟐 𝟘 𝟙 𝟚 𝟬 𝟭 𝟮 -->
<!-- Loved this one: http://www.stephendiehl.com/posts/monads.html -->

Introducing Monads
<!-- Loved this one: http://www.stephendiehl.com/posts/monads.html -->

Introducing Monads
@@ -22,7 +22,7 @@ any case, our emphasis will be on starting with the abstract structure
of monads, followed by instances of monads from the philosophical and
linguistics literature.

of monads, followed by instances of monads from the philosophical and
linguistics literature.

-> <small>After you've read this once and are coming back to re-read it to try to digest the details further, the "endofunctors" that slogan is talking about are a combination of our boxes and their associated maps. Their "monoidal" character is captured in the Monad Laws, where a "monoid"---don't confuse with a mon*ad*---is a simpler algebraic notion, meaning a universe with some associative operation that has an identity. For advanced study, here are some further links on the relation between monads as we're working with them and monads as they appear in category theory:
+> <small>After you've read this once and are coming back to re-read it to try to digest the details further, the "endofunctors" that slogan is talking about are a combination of our boxes and their associated maps. Their "monoidal" character is captured in the Monad Laws, where a "monoid"---don't confuse with a mon*ad*---is a simpler algebraic notion, meaning a universe with some associative operation that has an identity. For advanced study, here are some further links on the relation between monads as we're working with them and monads as they appear in Category Theory:
(http://en.wikipedia.org/wiki/Outline_of_category_theory)
(http://lambda1.jimpryor.net/advanced_topics/monads_in_category_theory/)
(http://en.wikibooks.org/wiki/Haskell/Category_theory)
(http://en.wikipedia.org/wiki/Outline_of_category_theory)
(http://lambda1.jimpryor.net/advanced_topics/monads_in_category_theory/)
(http://en.wikibooks.org/wiki/Haskell/Category_theory)
@@ -41,7 +41,7 @@ type variables. For instance, we might have
P_3 ≡ ∀α. α -> α
P_4 ≡ ∀α. α -> β

P_3 ≡ ∀α. α -> α
P_4 ≡ ∀α. α -> β

-etc.
+and so on.

A *box type* will be a type expression that contains exactly one free
type variable. (You could extend this to expressions with more free variables; then you'd have

A *box type* will be a type expression that contains exactly one free
type variable. (You could extend this to expressions with more free variables; then you'd have
@@ -54,13 +54,13 @@ to specify which one of them the box is capturing. But let's keep it simple.) So

The idea is that whatever type the free type variable `α` might be instantiated to,
we will have a "type box" of a certain sort that "contains" values of type `α`. For instance,

The idea is that whatever type the free type variable `α` might be instantiated to,
we will have a "type box" of a certain sort that "contains" values of type `α`. For instance,
-if `α list` is our box type, and `α` is the type `int`, then in this context, `int list`
+if `α list` is our box type, and `α` instantiates to the type `int`, then in this context, `int list`
is the type of a boxed integer.

is the type of a boxed integer.

-Warning: although our initial motivating examples are readily thought of as "containers" (lists, trees, and so on, with `α`s as their "elements"), with later examples we discuss it will be less natural to describe the boxed types that way. For example, where `R` is some fixed type, `R -> α` is a box type.
+Warning: although our initial motivating examples are readily thought of as "containers" (lists, trees, and so on, with `α`s as their "elements"), with later examples we discuss it will be less natural to describe the boxed types that way. For example, where `R` is some fixed type, `R -> α` will be one box type we work extensively with.

Also, for clarity: the *box type* is the type `α list` (or as we might just say, the `list` type operator); the *boxed type* is some specific instantiation of the free type variable `α`. We'll often write boxed types as a box containing what the free

Also, for clarity: the *box type* is the type `α list` (or as we might just say, the `list` type operator); the *boxed type* is some specific instantiation of the free type variable `α`. We'll often write boxed types as a box containing what the free
-type variable instantiates to. So if our box type is `α list`, and `α` instantiates to the specific type `int`, we would write:
+type variable instantiates to. So if our box type is `α list`, and `α` instantiates to the specific type `int`, we write:

<code><u>int</u></code>

<code><u>int</u></code>

@@ -75,7 +75,7 @@ A lot of what we'll be doing concerns types that are called *Kleisli arrows*. Do
<code>P -> <u>Q</u></code>

That is, they are functions from values of one type `P` to a boxed type `Q`, for some choice of type expressions `P` and `Q`.
<code>P -> <u>Q</u></code>

That is, they are functions from values of one type `P` to a boxed type `Q`, for some choice of type expressions `P` and `Q`.
-For instance, the following are Kleisli arrows:
+For instance, the following are Kleisli arrow types:

<code>int -> <u>bool</u></code>

<code>int -> <u>bool</u></code>

@@ -176,8 +176,8 @@ has to obey the following Map Laws:
1. <code>mid (id : P->P) : <u>P</u> -> <u>P</u></code> is a left identity for `m\$`, that is: `(mid id) m\$ xs = xs`
2. `mid (f a) = (mid f) m\$ (mid a)`
3. The `map2`ing of composition onto boxes `fs` and `gs` of functions, when `m\$`'d to a box `xs` of arguments == the `m\$`ing of `fs` to the `m\$`ing of `gs` to xs: `(mid (○) m\$ fs m\$ gs) m\$ xs = fs m\$ (gs m\$ xs)`.
1. <code>mid (id : P->P) : <u>P</u> -> <u>P</u></code> is a left identity for `m\$`, that is: `(mid id) m\$ xs = xs`
2. `mid (f a) = (mid f) m\$ (mid a)`
3. The `map2`ing of composition onto boxes `fs` and `gs` of functions, when `m\$`'d to a box `xs` of arguments == the `m\$`ing of `fs` to the `m\$`ing of `gs` to xs: `(mid (○) m\$ fs m\$ gs) m\$ xs = fs m\$ (gs m\$ xs)`.
-    4. When the arguments are `mid`'d, the order of `m\$`ing doesn't matter: `fs m\$ (mid x) = mid (\$x) m\$ fs`. (Note that it's `mid (\$x)`, or `mid (\f. f x)` that gets `m\$`d onto `fs`, not the original `mid x`.) Here's an example where the order *does* matter: `[succ,pred] m\$ [1,2] == [2,3,0,1]`, but `[(\$1),(\$2)] m\$ [succ,pred] == [2,0,3,1]`. This Law states a class of cases where the order is guaranteed not to matter.
-    5. A consequence of the laws already stated is that when the functions are `mid`'d, the order of `m\$`ing doesn't matter either: `mid f m\$ xs == map (flip (\$)) xs m\$ mid f`.
+    4. When the arguments (the right-hand operand of `m\$`) are an `mid`'d value, the order of `m\$`ing doesn't matter: `fs m\$ (mid x) = mid (\$x) m\$ fs`. (Though note that it's `mid (\$x)`, or `mid (\f. f x)` that gets `m\$`d onto `fs`, not the original `mid x`.) Here's an example where the order *does* matter: `[succ,pred] m\$ [1,2] == [2,3,0,1]`, but `[(\$1),(\$2)] m\$ [succ,pred] == [2,0,3,1]`. This Law states a class of cases where the order is guaranteed not to matter.
+    5. A consequence of the laws already stated is that when the _left_-hand operand of `m\$` is a `mid`'d value, the order of `m\$`ing doesn't matter either: `mid f m\$ xs == map (flip (\$)) xs m\$ mid f`.

<!-- Probably there's a shorter proof, but:
mid T m\$ xs m\$ mid f

<!-- Probably there's a shorter proof, but:
mid T m\$ xs m\$ mid f
@@ -231,11 +231,11 @@ has to obey the following Map Laws:

As hinted in last week's homework and explained in class, the operations available in a Mappable system exactly preserve the "structure" of the boxed type they're operating on, and moreover are only sensitive to what content is in the corresponding original position. If you say `map f [1,2,3]`, then what ends up in the first position of the result depends only on how `f` and `1` combine.

As hinted in last week's homework and explained in class, the operations available in a Mappable system exactly preserve the "structure" of the boxed type they're operating on, and moreover are only sensitive to what content is in the corresponding original position. If you say `map f [1,2,3]`, then what ends up in the first position of the result depends only on how `f` and `1` combine.

-For MapNable operations, on the other hand, the structure of the result may instead by a complex function of the structure of the original arguments. But only of their structure, not of their contents. And if you say `map2 f [10,20] [1,2,3]`, what ends up in the first position of the result depends only on how `f` and `10` and `1` combine.
+For MapNable operations, on the other hand, the structure of the result may instead be a complex function of the structure of the original arguments. But only of their structure, not of their contents. And if you say `map2 f [10,20] [1,2,3]`, what ends up in the first position of the result depends only on how `f` and `10` and `1` combine.

With `map`, you can supply an `f` such that `map f [3,2,0,1] == [[3,3,3],[2,2],[],]`. But you can't transform `[3,2,0,1]` to `[3,3,3,2,2,1]`, and you can't do that with MapNable operations, either. That would involve the structure of the result (here, the length of the list) being sensitive to the content, and not merely the structure, of the original.

With `map`, you can supply an `f` such that `map f [3,2,0,1] == [[3,3,3],[2,2],[],]`. But you can't transform `[3,2,0,1]` to `[3,3,3,2,2,1]`, and you can't do that with MapNable operations, either. That would involve the structure of the result (here, the length of the list) being sensitive to the content, and not merely the structure, of the original.

-For Monads (Composables), you can perform more radical transformations of that sort. For example, `join (map (\x. dup x x) [3,2,0,1])` would give us `[3,3,3,2,2,1]` (for a suitable definition of `dup`).
+For Monads (Composables), on the other hand, you can perform more radical transformations of that sort. For example, `join (map (\x. dup x x) [3,2,0,1])` would give us `[3,3,3,2,2,1]` (for a suitable definition of `dup`).

<!--
Some global transformations that we work with in semantics, like Veltman's test functions, can't directly be expressed in terms of the  primitive Monad operations? For example, there's no `j` such that `xs >>= j == mzero` if `xs` anywhere contains the value `1`.

<!--
Some global transformations that we work with in semantics, like Veltman's test functions, can't directly be expressed in terms of the  primitive Monad operations? For example, there's no `j` such that `xs >>= j == mzero` if `xs` anywhere contains the value `1`.
@@ -278,7 +278,7 @@ Here are some other monadic notion that you may sometimes encounter:

* <code>mzero</code> is a value of type <code><u>α</u></code> that is exemplified by `Nothing` for the box type `Maybe α` and by `[]` for the box type `List α`. It has the behavior that `anything m\$ mzero == mzero == mzero m\$ anything == mzero >>= anything`. In Haskell, this notion is called `Control.Applicative.empty` or `Control.Monad.mzero`.

* <code>mzero</code> is a value of type <code><u>α</u></code> that is exemplified by `Nothing` for the box type `Maybe α` and by `[]` for the box type `List α`. It has the behavior that `anything m\$ mzero == mzero == mzero m\$ anything == mzero >>= anything`. In Haskell, this notion is called `Control.Applicative.empty` or `Control.Monad.mzero`.

-* Haskell has a notion `>>` definable as `\u v. map (const id) u m\$ v`, or as `u >> v == u >>= const v`. This is often useful, and `u >> v` won't in general be identical to just `v`. For example, using the box type `List α`, `[1,2,3] >> [4,5] == [4,5,4,5,4,5]`. But in the special case of `mzero`, it is a consequence of what we said above that `anything >> mzero == mzero`. Haskell also calls `>>` `Control.Applicative.*>`.
+* Haskell has a notion `>>` definable as `\u v. map (const id) u m\$ v`, or as `\u v. u >>= const v`. This is often useful, and `u >> v` won't in general be identical to just `v`. For example, using the box type `List α`, `[1,2,3] >> [4,5] == [4,5,4,5,4,5]`. But in the special case of `mzero`, it is a consequence of what we said above that `anything >> mzero == mzero`. Haskell also calls `>>` `Control.Applicative.*>`.

* Haskell has a correlative notion `Control.Applicative.<*`, definable as `\u v. map const u m\$ v`. For example, `[1,2,3] <* [4,5] == [1,1,2,2,3,3]`. You might expect Haskell to call `<*` `<<`, but they don't. They used to use `<<` for `flip (>>)` instead, but now they seem not to use `<<` anymore.

* Haskell has a correlative notion `Control.Applicative.<*`, definable as `\u v. map const u m\$ v`. For example, `[1,2,3] <* [4,5] == [1,1,2,2,3,3]`. You might expect Haskell to call `<*` `<<`, but they don't. They used to use `<<` for `flip (>>)` instead, but now they seem not to use `<<` anymore.

@@ -294,8 +294,8 @@ then a boxed `α` is ... a `bool`. That is, <code><u>α</u> == α</code>.
In terms of the box analogy, the Identity box type is a completely invisible box. With the following
definitions:

In terms of the box analogy, the Identity box type is a completely invisible box. With the following
definitions:

-    mid ≡ \p. p
-    mcomp ≡ \f g x.f (g x)
+    mid ≡ \p. p, that is, our familiar combinator I
+    mcomp ≡ \f g x. f (g x), that is, ordinary function composition (○) (aka the B combinator)

Identity is a monad.  Here is a demonstration that the laws hold:

Identity is a monad.  Here is a demonstration that the laws hold:

@@ -345,7 +345,7 @@ For example:

`j 7` produced `[49, 14]`, which after being fed through `k` gave us `[49, 50, 14, 15]`.

`j 7` produced `[49, 14]`, which after being fed through `k` gave us `[49, 50, 14, 15]`.

-Contrast that to `m\$` (`mapply`, which operates not on two *box-producing functions*, but instead on two *values of a boxed type*, one containing functions to be applied to the values in the other box, via some predefined scheme. Thus:
+Contrast that to `m\$` (`mapply`), which operates not on two *box-producing functions*, but instead on two *values of a boxed type*, one containing functions to be applied to the values in the other box, via some predefined scheme. Thus:

let js = [(\a->a*a),(\a->a+a)] in
let xs = [7, 5] in

let js = [(\a->a*a),(\a->a+a)] in
let xs = [7, 5] in