X-Git-Url: http://lambda.jimpryor.net/git/gitweb.cgi?p=lambda.git;a=blobdiff_plain;f=assignment5.mdwn;h=cf8d1448c0568530ec87a8106392f5a1e4f18677;hp=87d5566c00efb6b4baf632a1debb24cffbcb18d3;hb=5093b09aca00def779aedb2d2c7f1657aa7748e7;hpb=80ad862c64373ac07b6e33236a47a50e98583d62

diff --git a/assignment5.mdwn b/assignment5.mdwn
index 87d5566c..cf8d1448 100644
--- a/assignment5.mdwn
+++ b/assignment5.mdwn
@@ -1,4 +1,17 @@
+Assignment 5
+
 Types and OCAML
+---------------
+
+0. Recall that the S combinator is given by \x y z. x z (y z).
+   Give two different typings for this function in OCAML.
+   To get you started, here's one typing for K:
+
+    # let k (y:'a) (n:'b) = y;;
+    val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
+    # k 1 true;;
+    - : int = 1
+
 
 1. Which of the following expressions is well-typed in OCAML?  
    For those that are, give the type of the expression as a whole.
@@ -75,7 +88,7 @@ This almost works.  For instance,
 evaluates to 1, and 
 
     let b = true in let y = 1 in let n = 2 in 
-    match b with true -> 1 | false -> 2;;
+    match b with true -> y | false -> n;;
 
 also evaluates to 1.  Likewise,
 
@@ -108,3 +121,86 @@ or of `match`.  That is, you must keep the `let` statements, though
 you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
 
 [[Hint assignment 5 problem 3]]
+
+4. Baby monads.  Read the lecture notes for week 6, then write a
+   function `lift` that generalized the correspondence between + and
+   `add`: that is, `lift` takes any two-place operation on integers
+   and returns a version that takes arguments of type `int option`
+   instead, returning a result of `int option`.  In other words,
+   `lift` will have type
+
+     (int -> int -> int) -> (int option) -> (int option) -> (int option)
+
+   so that `lift (+) (Some 3) (Some 4)` will evalute to `Some 7`.  
+   Don't worry about why you need to put `+` inside of parentheses.
+   You should make use of `bind` in your definition of `lift`:
+
+    let bind (x: int option) (f: int -> (int option)) = 
+      match x with None -> None | Some n -> f n;;
+
+
+Church lists in System F
+------------------------
+
+These questions adapted from web materials written by some dude named Acar.
+
+   Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.
+
+   τ ::= α | τ1 → τ2 | ∀α. τ
+   e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λα. e | e [τ ]
+   Despite its simplicity, System F is quite expressive. As discussed in class, it has sufficient expressive power
+   to be able to encode many datatypes found in other programming languages, including products, sums, and
+   inductive datatypes.
+   For example, recall that bool may be encoded as follows:
+   bool := ∀α. α → α → α
+   true := Λα. λt:α. λf :α. t
+   false := Λα. λt:α. λf :α. f
+   ifτ e then e1 else e2 := e [τ ] e1 e2
+   (where τ indicates the type of e1 and e2)
+   Exercise 1. Show how to encode the following terms. Note that each of these terms, when applied to the
+   appropriate arguments, return a result of type bool.
+   (a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
+   (b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
+   (c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
+   The type nat may be encoded as follows:
+   nat := ∀α. α → (α → α) → α
+   zero := Λα. λz:α. λs:α → α. z
+   succ := λn:nat. Λα. λz:α. λs:α → α. s (n [α] z s)
+   A nat n is defined by what it can do, which is to compute a function iterated n times. In the polymorphic
+   encoding above, the result of that iteration can be any type α, as long as you have a base element z : α and
+   a function s : α → α.
+   Conveniently, this encoding “is” its own elimination form, in a sense:
+   rec(e, e0, x:τ. e1) := e [τ ] e0 (λx:τ. e1)
+   The case analysis is baked into the very definition of the type.
+   Exercise 2. Verify that these encodings (zero, succ , rec) typecheck in System F. Write down the typing
+   derivations for the terms.
+   1
+
+   ══════════════════════════════════════════════════════════════════════════
+
+   As mentioned in class, System F can express any inductive datatype. Consider the following list type:
+   datatype ’a list =
+   Nil
+   | Cons of ’a * ’a list
+   We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:1
+   τ list := ∀α. α → (τ → α → α) → α
+   nilτ := Λα. λn:α. λc:τ → α → α. n
+   consτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)
+   As with nats, The τ list type’s case analyzing elimination form is just application. We can write functions
+   like map:
+   map : (σ → τ ) → σ list → τ list
+   := λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nilτ (λx:σ. λy:τ list. consτ (f x) y
+   Exercise 3. Consider the following simple binary tree type:
+   datatype ’a tree =
+   Leaf
+   | Node of ’a tree * ’a * ’a tree
+   (a) Give a System F encoding of binary trees, including a definition of the type τ tree and definitions of
+   the constructors leaf : τ tree and node : τ tree → τ → τ tree → τ tree.
+   (b) Write a function height : τ tree → nat. You may assume the above encoding of nat as well as definitions
+   of the functions plus : nat → nat → nat and max : nat → nat → nat.
+   (c) Write a function in-order : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
+   may assume the above encoding of lists; define any auxiliary functions you need.
+
+-- 
+Jim Pryor
+jim@jimpryor.net