index 60f85e5..abb6cfe 100644 (file)
[[!toc]]

[[!toc]]

-------
-
-Start by (re)reading the discussion of monads in the lecture notes for
-In those notes, we saw a way to separate thinking about error
-conditions (such as trying to divide by zero) from thinking about
-normal arithmetic computations.  We did this by making use of the
-option monad: in each place where we had something of type `int`, we
-put instead something of type `int option`, which is a sum type
-consisting either of just an integer, or else some special value which
-we could interpret as signaling that something had gone wrong.

-The goal was to make normal computing as convenient as possible: when
-any new errors, so we do want to think about the difference between
-`int`s and `int option`s.  We tried to accomplish this by defining a
-`bind` operator, which enabled us to peel away the `option` husk to get
-at the delicious integer inside.  There was also a homework problem
-which made this even more convenient by mapping any binary operation
-on plain integers into a lifted operation that understands how to deal
-with `int option`s in a sensible way.
+-----------------------------
+
+[This section used to be near the end of the lecture notes for week 6]
+
+We begin by reasoning about what should happen when someone tries to
+divide by zero.  This will lead us to a general programming technique
+called a *monad*, which we'll see in many guises in the weeks to come.
+
+Integer division presupposes that its second argument
+(the divisor) is not zero, upon pain of presupposition failure.
+Here's what my OCaml interpreter says:
+
+    # 12/0;;
+    Exception: Division_by_zero.
+
+So we want to explicitly allow for the possibility that
+division will return something other than a number.
+We'll use OCaml's `option` type, which works like this:
+
+    # type 'a option = None | Some of 'a;;
+    # None;;
+    - : 'a option = None
+    # Some 3;;
+    - : int option = Some 3
+
+So if a division is normal, we return some number, but if the divisor is
+zero, we return `None`. As a mnemonic aid, we'll append a `'` to the end of our new divide function.
+
+<pre>
+let div' (x:int) (y:int) =
+  match y with
+         0 -> None
+    | _ -> Some (x / y);;
+
+(*
+val div' : int -> int -> int option = fun
+# div' 12 2;;
+- : int option = Some 6
+# div' 12 0;;
+- : int option = None
+# div' (div' 12 2) 3;;
+Characters 4-14:
+  div' (div' 12 2) 3;;
+        ^^^^^^^^^^
+Error: This expression has type int option
+       but an expression was expected of type int
+*)
+</pre>
+
+This starts off well: dividing 12 by 2, no problem; dividing 12 by 0,
+just the behavior we were hoping for.  But we want to be able to use
+the output of the safe-division function as input for further division
+operations.  So we have to jack up the types of the inputs:
+
+<pre>
+let div' (u:int option) (v:int option) =
+  match u with
+         None -> None
+       | Some x -> (match v with
+                                 Some 0 -> None
+                               | Some y -> Some (x / y));;
+
+(*
+val div' : int option -> int option -> int option = <fun>
+# div' (Some 12) (Some 2);;
+- : int option = Some 6
+# div' (Some 12) (Some 0);;
+- : int option = None
+# div' (div' (Some 12) (Some 0)) (Some 3);;
+- : int option = None
+*)
+</pre>
+
+Beautiful, just what we need: now we can try to divide by anything we
+want, without fear that we're going to trigger any system errors.
+
+I prefer to line up the `match` alternatives by using OCaml's
+built-in tuple type:
+
+<pre>
+let div' (u:int option) (v:int option) =
+  match (u, v) with
+         (None, _) -> None
+    | (_, None) -> None
+    | (_, Some 0) -> None
+       | (Some x, Some y) -> Some (x / y);;
+</pre>
+
+So far so good.  But what if we want to combine division with
+other arithmetic operations?  We need to make those other operations
+aware of the possibility that one of their arguments has triggered a
+presupposition failure:
+
+<pre>
+let add' (u:int option) (v:int option) =
+  match (u, v) with
+         (None, _) -> None
+    | (_, None) -> None
+    | (Some x, Some y) -> Some (x + y);;
+
+(*
+val add' : int option -> int option -> int option = <fun>
+# add' (Some 12) (Some 4);;
+- : int option = Some 16
+# add' (div' (Some 12) (Some 0)) (Some 4);;
+- : int option = None
+*)
+</pre>
+
+This works, but is somewhat disappointing: the `add'` operation
+doesn't trigger any presupposition of its own, so it is a shame that
+it needs to be adjusted because someone else might make trouble.
+
+But we can automate the adjustment.  The standard way in OCaml,
+Haskell, etc., is to define a `bind` operator (the name `bind` is not
+well chosen to resonate with linguists, but what can you do). To continue our mnemonic association, we'll put a `'` after the name "bind" as well.
+
+<pre>
+let bind' (u: int option) (f: int -> (int option)) =
+  match u with
+         None -> None
+    | Some x -> f x;;
+
+let add' (u: int option) (v: int option)  =
+  bind' u (fun x -> bind' v (fun y -> Some (x + y)));;
+
+let div' (u: int option) (v: int option) =
+  bind' u (fun x -> bind' v (fun y -> if (0 = y) then None else Some (x / y)));;
+
+(*
+#  div' (div' (Some 12) (Some 2)) (Some 3);;
+- : int option = Some 2
+#  div' (div' (Some 12) (Some 0)) (Some 3);;
+- : int option = None
+# add' (div' (Some 12) (Some 0)) (Some 3);;
+- : int option = None
+*)
+</pre>
+
+Compare the new definitions of `add'` and `div'` closely: the definition
+for `add'` shows what it looks like to equip an ordinary operation to
+survive in dangerous presupposition-filled world.  Note that the new
+definition of `add'` does not need to test whether its arguments are
+None objects or real numbers---those details are hidden inside of the
+`bind'` function.
+
+The definition of `div'` shows exactly what extra needs to be said in
+order to trigger the no-division-by-zero presupposition.

[Linguitics note: Dividing by zero is supposed to feel like a kind of
presupposition failure.  If we wanted to adapt this approach to

[Linguitics note: Dividing by zero is supposed to feel like a kind of
presupposition failure.  If we wanted to adapt this approach to
@@ -38,415 +166,424 @@ material that otherwise would trigger a presupposition violation; but,
not surprisingly, these refinements will require some more
sophisticated techniques than the super-simple option monad.]

not surprisingly, these refinements will require some more
sophisticated techniques than the super-simple option monad.]

-So what exactly is a monad?  As usual, we're not going to be pedantic
-about it, but for our purposes, we can consider a monad to be a system
+
+-----------------
+
+We've just seen a way to separate thinking about error conditions
+(such as trying to divide by zero) from thinking about normal
+arithmetic computations.  We did this by making use of the `option`
+type: in each place where we had something of type `int`, we put
+instead something of type `int option`, which is a sum type consisting
+either of one choice with an `int` payload, or else a `None` choice
+which we interpret as signaling that something has gone wrong.
+
+The goal was to make normal computing as convenient as possible: when
+any new errors, so we would rather not think about the difference
+between `int`s and `int option`s.  We tried to accomplish this by
+defining a `bind` operator, which enabled us to peel away the `option`
+husk to get at the delicious integer inside.  There was also a
+homework problem which made this even more convenient by defining a
+`lift` operator that mapped any binary operation on plain integers
+into a lifted operation that understands how to deal with `int
+option`s in a sensible way.
+
+So what exactly is a monad?  We can consider a monad to be a system
that provides at least the following three elements:

that provides at least the following three elements:

-*      A way to build a complex type from some basic type.  In the division
-       example, the polymorphism of the `'a option` type provides a way of
-       building an option out of any other type of object.  People often
-       use a container metaphor: if `x` has type `int option`, then `x` is
-       a box that (may) contain an integer.
+*      A complex type that's built around some more basic type. Usually
+       the complex type will be polymorphic, and so can apply to different basic types.
+       In our division example, the polymorphism of the `'a option` type
+       provides a way of building an option out of any other type of object.
+       People often use a container metaphor: if `u` has type `int option`,
+       then `u` is a box that (may) contain an integer.

type 'a option = None | Some of 'a;;

*      A way to turn an ordinary value into a monadic value.  In OCaml, we

type 'a option = None | Some of 'a;;

*      A way to turn an ordinary value into a monadic value.  In OCaml, we
-       did this for any integer `n` by mapping it to
-       the option `Some n`.  To be official, we can define a function
-       called unit:
+       did this for any integer `x` by mapping it to
+       the option `Some x`.  In the general case, this operation is
+       known as `unit` or `return.` Both of those names are terrible. This
+       operation is only very loosely connected to the `unit` type we were
+       discussing earlier (whose value is written `()`). It's also only
+       very loosely connected to the "return" keyword in many other
+       programming languages like C. But these are the names that the literature
+       uses.  [The rationale for "unit" comes from the monad laws
+       (see below), where the unit function serves as an identity,
+       just like the unit number (i.e., 1) serves as the identity
+       object for multiplication.  The rationale for "return" comes
+       from a misguided desire to resonate with C programmers and
+       other imperative types.]
+
+       The unit/return operation is a way of lifting an ordinary object into
+       the monadic box you've defined, in the simplest way possible. You can think
+       of the singleton function as an example: it takes an ordinary object
+       and returns a set containing that object. In the example we've been
+       considering:

let unit x = Some x;;

let unit x = Some x;;
-
val unit : 'a -> 'a option = <fun>

val unit : 'a -> 'a option = <fun>

-       So `unit` is a way to put something inside of a box.
+       So `unit` is a way to put something inside of a monadic box. It's crucial
+       to the usefulness of monads that there will be monadic boxes that
+       aren't the result of that operation. In the option/maybe monad, for
+       instance, there's also the empty box `None`. In another (whimsical)
+       example, you might have, in addition to boxes merely containing integers,
+       special boxes that contain integers and also sing a song when they're opened.

-*      A bind operation (note the type):
+       The unit/return operation will always be the simplest, conceptually
+       most straightforward way to lift an ordinary value into a monadic value
+       of the monadic type in question.

-               let bind m f = match m with None -> None | Some n -> f n;;
+*      Thirdly, an operation that's often called `bind`. As we said before, this is another
+       unfortunate name: this operation is only very loosely connected to
+       what linguists usually mean by "binding." In our option/maybe monad, the
+       bind operation is:

+               let bind u f = match u with None -> None | Some x -> f x;;
val bind : 'a option -> ('a -> 'b option) -> 'b option = <fun>

val bind : 'a option -> ('a -> 'b option) -> 'b option = <fun>

-       `bind` takes two arguments (a monadic object and a function from
-       object.
+       Note the type: `bind` takes two arguments: first, a monadic box
+       (in this case, an `'a option`); and second, a function from
+       value: in this case, a `'b option` (you can start with, e.g., `int option`s
+       and end with `bool option`s).

-       Intuitively, the interpretation of what `bind` does is like this:
-       the first argument computes a monadic object m, which will
-       evaluate to a box containing some ordinary value, call it `x`.
+       Intuitively, the interpretation of what `bind` does is this:
+       the first argument is a monadic value `u`, which
+       evaluates to a box that (maybe) contains some ordinary value, call it `x`.
Then the second argument uses `x` to compute a new monadic
value.  Conceptually, then, we have

Then the second argument uses `x` to compute a new monadic
value.  Conceptually, then, we have

-               let bind m f = (let x = unwrap m in f x);;
+               let bind u f = (let x = unbox u in f x);;

The guts of the definition of the `bind` operation amount to

The guts of the definition of the `bind` operation amount to
-       specifying how to unwrap the monadic object `m`.  In the bind
-       opertor for the option monad, we unwraped the option monad by
-       matching the monadic object `m` with `Some n`--whenever `m`
-       happend to be a box containing an integer `n`, this allowed us to
-       get our hands on that `n` and feed it to `f`.
-
-So the "option monad" consists of the polymorphic option type, the
-unit function, and the bind function.  With the option monad, we can
-think of the "safe division" operation
-
-<pre>
-# let divide num den = if den = 0 then None else Some (num/den);;
-val divide : int -> int -> int option = <fun>
-</pre>
-
-as basically a function from two integers to an integer, except with
-this little bit of option frill, or option plumbing, on the side.
-
-A note on notation: Haskell uses the infix operator `>>=` to stand
-for `bind`.  I really hate that symbol.  Following Wadler, I prefer to
-infix five-pointed star, or on a keyboard, `*`.
-
-
+       specifying how to unbox the monadic value `u`.  In the `bind`
+       operator for the option monad, we unboxed the monadic value by
+       matching it with the pattern `Some x`---whenever `u`
+       happened to be a box containing an integer `x`, this allowed us to
+       get our hands on that `x` and feed it to `f`.
+
+       If the monadic box didn't contain any ordinary value,
+       we instead pass through the empty box unaltered.
+
+       In a more complicated case, like our whimsical "singing box" example
+       from before, if the monadic value happened to be a singing box
+       containing an integer `x`, then the `bind` operation would probably
+       be defined so as to make sure that the result of `f x` was also
+       a singing box. If `f` also wanted to insert a song, you'd have to decide
+       whether both songs would be carried through, or only one of them.
+        (Are you beginning to realize how wierd and wonderful monads
+       can be?)
+
+       There is no single `bind` function that dictates how this must go.
+       For each new monadic type, this has to be worked out in an
+       useful way.
+
+So the "option/maybe monad" consists of the polymorphic `option` type, the
+`unit`/return function, and the `bind` function.
+
+
+A note on notation: Haskell uses the infix operator `>>=` to stand for
+`bind`: wherever you see `u >>= f`, that means `bind u f`.
+
+Also, if you ever see this notation:
+
+       do
+               x <- u
+               f x
+
+That's a Haskell shorthand for `u >>= (\x -> f x)`, that is, `bind u f`.
+Similarly:
+
+       do
+               x <- u
+               y <- v
+               f x y
+
+is shorthand for `u >>= (\x -> v >>= (\y -> f x y))`, that is, `bind u
+(fun x -> bind v (fun y -> f x y))`. Those who did last week's
+homework may recognize this last expression.  You can think of the
+notation like this: take the singing box `u` and evaluate it (which
+includes listening to the song).  Take the int contained in the
+singing box (the end result of evaluting `u`) and bind the variable
+`x` to that int.  So `x <- u` means "Sing me up an int, which I'll call
+`x`".
+
+(Note that the above "do" notation comes from Haskell. We're mentioning it here
+OCaml. In fact, the `<-` symbol already means something different in OCaml,
+having to do with mutable record fields. We'll be discussing mutation someday
+soon.)
+
+As we proceed, we'll be seeing a variety of other monad systems. For example, another monad is the list monad. Here the monadic type is:
+
+       # type 'a list
+
+The `unit`/return operation is:
+
+       # let unit x = [x];;
+       val unit : 'a -> 'a list = <fun>
+
+That is, the simplest way to lift an `'a` into an `'a list` is just to make a
+singleton list of that `'a`. Finally, the `bind` operation is:
+
+       # let bind u f = List.concat (List.map f u);;
+       val bind : 'a list -> ('a -> 'b list) -> 'b list = <fun>
+
+What's going on here? Well, consider `List.map f u` first. This goes through all
+the members of the list `u`. There may be just a single member, if `u = unit x`
+for some `x`. Or on the other hand, there may be no members, or many members. In
+any case, we go through them in turn and feed them to `f`. Anything that gets fed
+to `f` will be an `'a`. `f` takes those values, and for each one, returns a `'b list`.
+For example, it might return a list of all that value's divisors. Then we'll
+have a bunch of `'b list`s. The surrounding `List.concat ( )` converts that bunch
+of `'b list`s into a single `'b list`:
+
+       # List.concat [; [1;2]; [1;3]; [1;2;4]]
+       - : int list = [1; 1; 2; 1; 3; 1; 2; 4]
+
+monadic system, there has to be a specification of the complex monad type,
+which will be parameterized on some simpler type `'a`, and the `unit`/return
+operation, and the `bind` operation. These will be different for different
+
+Many monadic systems will also define special-purpose operations that only make
+sense for that system.
+
+Although the `unit` and `bind` operation are defined differently for different
+monadic systems, there are some general rules they always have to follow.
+
+
--------------

Just like good robots, monads must obey three laws designed to prevent
them from hurting the people that use them or themselves.

*      **Left identity: unit is a left identity for the bind operation.**
--------------

Just like good robots, monads must obey three laws designed to prevent
them from hurting the people that use them or themselves.

*      **Left identity: unit is a left identity for the bind operation.**
-       That is, for all `f:'a -> 'a m`, where `'a m` is a monadic
-       object, we have `(unit x) * f == f x`.  For instance, `unit` is a
-       function of type `'a -> 'a option`, so we have
+       That is, for all `f:'a -> 'b m`, where `'b m` is a monadic
+       type, we have `(unit x) >>= f == f x`.  For instance, `unit` is itself
+       a function of type `'a -> 'a m`, so we can use it for `f`:

-<pre>
-# let ( * ) m f = match m with None -> None | Some n -> f n;;
-val ( * ) : 'a option -> ('a -> 'b option) -> 'b option = <fun>
-# let unit x = Some x;;
-val unit : 'a -> 'a option = <fun>
+               # let unit x = Some x;;
+               val unit : 'a -> 'a option = <fun>
+               # let ( >>= ) u f = match u with None -> None | Some x -> f x;;
+               val ( >>= ) : 'a option -> ('a -> 'b option) -> 'b option = <fun>

-# unit 2;;
-- : int option = Some 2
-# unit 2 * unit;;
-- : int option = Some 2
+       The parentheses is the magic for telling OCaml that the
+       function to be defined (in this case, the name of the function
+       is `>>=`, pronounced "bind") is an infix operator, so we write
+       `u >>= f` or equivalently `( >>= ) u f` instead of `>>= u
+       f`.

-# divide 6 2;;
-- : int option = Some 3
-# unit 2 * divide 6;;
-- : int option = Some 3
+               # unit 2;;
+               - : int option = Some 2
+               # unit 2 >>= unit;;
+               - : int option = Some 2

-# divide 6 0;;
-- : int option = None
-# unit 0 * divide 6;;
-- : int option = None
-</pre>
+       Now, for a less trivial instance of a function from `int`s to `int option`s:
+
+               # let divide x y = if 0 = y then None else Some (x/y);;
+               val divide : int -> int -> int option = <fun>
+               # divide 6 2;;
+               - : int option = Some 3
+               # unit 2 >>= divide 6;;
+               - : int option = Some 3
+
+               # divide 6 0;;
+               - : int option = None
+               # unit 0 >>= divide 6;;
+               - : int option = None

-The parentheses is the magic for telling OCaml that the
-function to be defined (in this case, the name of the function
-is `*`, pronounced "bind") is an infix operator, so we write
-`m * f` or `( * ) m f` instead of `* m f`.

*      **Associativity: bind obeys a kind of associativity**. Like this:

*      **Associativity: bind obeys a kind of associativity**. Like this:

-               (m * f) * g == m * (fun x -> f x * g)
+               (u >>= f) >>= g == u >>= (fun x -> f x >>= g)

-       If you don't understand why the lambda form is necessary (the "fun
-       x" part), you need to look again at the type of bind.
+       If you don't understand why the lambda form is necessary (the
+       "fun x -> ..." part), you need to look again at the type of `bind`.

-       Some examples of associativity in the option monad:
+       Some examples of associativity in the option monad (bear in
+       mind that in the Ocaml implementation of integer division, 2/3
+       evaluates to zero, throwing away the remainder):

-<pre>
-# Some 3 * unit * unit;;
-- : int option = Some 3
-# Some 3 * (fun x -> unit x * unit);;
-- : int option = Some 3
+               # Some 3 >>= unit >>= unit;;
+               - : int option = Some 3
+               # Some 3 >>= (fun x -> unit x >>= unit);;
+               - : int option = Some 3

-# Some 3 * divide 6 * divide 2;;
-- : int option = Some 1
-# Some 3 * (fun x -> divide 6 x * divide 2);;
-- : int option = Some 1
+               # Some 3 >>= divide 6 >>= divide 2;;
+               - : int option = Some 1
+               # Some 3 >>= (fun x -> divide 6 x >>= divide 2);;
+               - : int option = Some 1

-# Some 3 * divide 2 * divide 6;;
-- : int option = None
-# Some 3 * (fun x -> divide 2 x * divide 6);;
-- : int option = None
-</pre>
+               # Some 3 >>= divide 2 >>= divide 6;;
+               - : int option = None
+               # Some 3 >>= (fun x -> divide 2 x >>= divide 6);;
+               - : int option = None

-Of course, associativity must hold for arbitrary functions of
-type `'a -> 'a m`, where `m` is the monad type.  It's easy to
-convince yourself that the bind operation for the option monad
-obeys associativity by dividing the inputs into cases: if `m`
+Of course, associativity must hold for *arbitrary* functions of
+type `'a -> 'b m`, where `m` is the monad type.  It's easy to
+convince yourself that the `bind` operation for the option monad
+obeys associativity by dividing the inputs into cases: if `u`
matches `None`, both computations will result in `None`; if
matches `None`, both computations will result in `None`; if
-`m` matches `Some n`, and `f n` evalutes to `None`, then both
+`u` matches `Some x`, and `f x` evalutes to `None`, then both
computations will again result in `None`; and if the value of
computations will again result in `None`; and if the value of
-`f n` matches `Some r`, then both computations will evaluate
-to `g r`.
+`f x` matches `Some y`, then both computations will evaluate
+to `g y`.

*      **Right identity: unit is a right identity for bind.**  That is,

*      **Right identity: unit is a right identity for bind.**  That is,
-       `m * unit == m` for all monad objects `m`.  For instance,
+       `u >>= unit == u` for all monad objects `u`.  For instance,
+
+               # Some 3 >>= unit;;
+               - : int option = Some 3
+               # None >>= unit;;
+               - : 'a option = None

-<pre>
-# Some 3 * unit;;
-- : int option = Some 3
-# None * unit;;
-- : 'a option = None
-</pre>

-Now, if you studied algebra, you'll remember that a *monoid* is an
+-------------------------
+
+If you studied algebra, you'll remember that a *monoid* is an
associative operation with a left and right identity.  For instance,
the natural numbers along with multiplication form a monoid with 1
associative operation with a left and right identity.  For instance,
the natural numbers along with multiplication form a monoid with 1
-serving as the left and right identity.  That is, temporarily using
-`*` to mean arithmetic multiplication, `1 * n == n == n * 1` for all
-`n`, and `(a * b) * c == a * (b * c)` for all `a`, `b`, and `c`.  As
+serving as the left and right identity.  That is, `1 * u == u == u * 1` for all
+`u`, and `(u * v) * w == u * (v * w)` for all `u`, `v`, and `w`.  As
presented here, a monad is not exactly a monoid, because (unlike the
arguments of a monoid operation) the two arguments of the bind are of
presented here, a monad is not exactly a monoid, because (unlike the
arguments of a monoid operation) the two arguments of the bind are of
-different types.  But if we generalize bind so that both arguments are
-of type `'a -> 'a m`, then we get plain identity laws and
-associativity laws, and the monad laws are exactly like the monoid
-
-
--------------
-
-We're going to be using monads for a number of different things in the
-weeks to come.  The first main application will be the State monad,
-which will enable us to model mutation: variables whose values appear
-to change as the computation progresses.  Later, we will study the
+different types.  But it's possible to make the connection between
+monads and monoids much closer. This is discussed in [Monads in Category

-------------------------
+Here are some papers that introduced monads into functional programming:

-In the meantime, we'll see a linguistic application for monads:
-intensional function application.  In Shan (2001) [Monads for natural
-language semantics](http://arxiv.org/abs/cs/0205026v1), Ken shows that
-making expressions sensitive to the world of evaluation is
-conceptually the same thing as making use of a *reader monad* (which
-we'll see again soon).  This technique was beautifully re-invented
-by Ben-Avi and Winter (2007) in their paper [A modular
-approach to
-intensionality](http://parles.upf.es/glif/pub/sub11/individual/bena_wint.pdf),
+*      [Eugenio Moggi, Notions of Computation and Monads](http://www.disi.unige.it/person/MoggiE/ftp/ic91.pdf): Information and Computation 93 (1) 1991. Would be very difficult reading for members of this seminar. However, the following two papers should be accessible.

-All of the code in the discussion below can be found here: [[intensionality-monad.ml]].
+invited talk, *19'th Symposium on Principles of Programming Languages*, ACM Press, Albuquerque, January 1992.
+<!--   This paper explores the use monads to structure functional programs. No prior knowledge of monads or category theory is required.
+       Monads increase the ease with which programs may be modified. They can mimic the effect of impure features such as exceptions, state, and continuations; and also provide effects not easily achieved with such features. The types of a program reflect which effects occur.
+       The first section is an extended example of the use of monads. A simple interpreter is modified to support various extra features: error messages, state, output, and non-deterministic choice. The second section describes the relation between monads and continuation-passing style. The third section sketches how monads are used in a compiler for Haskell that is written in Haskell.-->

+in M. Broy, editor, *Marktoberdorf Summer School on Program Design
+Calculi*, Springer Verlag, NATO ASI Series F: Computer and systems
+sciences, Volume 118, August 1992. Also in J. Jeuring and E. Meijer,
+editors, *Advanced Functional Programming*, Springer Verlag,
+LNCS 925, 1995. Some errata fixed August 2001.
+<!--   The use of monads to structure functional programs is described. Monads provide a convenient framework for simulating effects found in other languages, such as global state, exception handling, output, or non-determinism. Three case studies are looked at in detail: how monads ease the modification of a simple evaluator; how monads act as the basis of a datatype of arrays subject to in-place update; and how monads can be used to build parsers.-->

-Note the extra `#` attached to the directive `use`.

-Here's the idea: since people can have different attitudes towards
-different propositions that happen to have the same truth value, we
-can't have sentences denoting simple truth values.  If we did, then if John
-believed that the earth was round, it would force him to believe
-Fermat's last theorem holds, since both propositions are equally true.
-The traditional solution is to allow sentences to denote a function
-from worlds to truth values, what Montague called an intension.
-So if `s` is the type of possible worlds, we have the following
-situation:
+There's a long list of monad tutorials on the [[Offsite Reading]] page. (Skimming the titles is somewhat amusing.) If you are confused by monads, make use of these resources. Read around until you find a tutorial pitched at a level that's helpful for you.

+In the presentation we gave above---which follows the functional programming conventions---we took `unit`/return and `bind` as the primitive operations. From these a number of other general monad operations can be derived. It's also possible to take some of the others as primitive. The [Monads in Category

-<pre>
-Extensional types                 Intensional types       Examples
--------------------------------------------------------------------
-
-S         s->t                    s->t                    John left
-DP        s->e                    s->e                    John
-VP        s->e->t                 s->(s->e)->t            left
-Vt        s->e->e->t              s->(s->e)->(s->e)->t    saw
-Vs        s->t->e->t              s->(s->t)->(s->e)->t    thought
-</pre>
+Here are some of the other general monad operations. You don't have to master these; they're collected here for your reference.

-This system is modeled on the way Montague arranged his grammar.
-There are significant simplifications: for instance, determiner
-phrases are thought of as corresponding to individuals rather than to
-generalized quantifiers.  If you're curious about the initial `s`'s
-in the extensional types, they're there because the behavior of these
-expressions depends on which world they're evaluated at.  If you are
-in a situation in which you can hold the evaluation world constant,
-you can further simplify the extensional types.  Usually, the
-dependence of the extension of an expression on the evaluation world
-is hidden in a superscript, or built into the lexical interpretation
-function.
-
-The main difference between the intensional types and the extensional
-types is that in the intensional types, the arguments are functions
-from worlds to extensions: intransitive verb phrases like "left" now
-take intensional concepts as arguments (type s->e) rather than plain
-individuals (type e), and attitude verbs like "think" now take
-propositions (type s->t) rather than truth values (type t).
-
-The intenstional types are more complicated than the intensional
-types.  Wouldn't it be nice to keep the complicated types to just
-those attitude verbs that need to worry about intensions, and keep the
-rest of the grammar as extensional as possible?  This desire is
-parallel to our earlier desire to limit the concern about division by
-zero to the division function, and let the other functions, like
-addition or multiplication, ignore division-by-zero problems as much
-as possible.
-
-So here's what we do:
-
-In OCaml, we'll use integers to model possible worlds:
-
-       type s = int;;
-       type e = char;;
-       type t = bool;;
-
-Characters (characters in the computational sense, i.e., letters like
-`'a'` and `'b'`, not Kaplanian characters) will model individuals, and
-OCaml booleans will serve for truth values.
+You may sometimes see:

-<pre>
-type 'a intension = s -> 'a;;
-let unit x (w:s) = x;;
+       u >> v

-let ann = unit 'a';;
-let bill = unit 'b';;
-let cam = unit 'c';;
-</pre>
+That just means:

-In our monad, the intension of an extensional type `'a` is `s -> 'a`,
-a function from worlds to extensions.  Our unit will be the constant
-function (an instance of the K combinator) that returns the same
-individual at each world.
+       u >>= fun _ -> v

-Then `ann = unit 'a'` is a rigid designator: a constant function from
-worlds to individuals that returns `'a'` no matter which world is used
-as an argument.
+that is:

-Let's test compliance with the left identity law:
+       bind u (fun _ -> v)

-<pre>
-# let bind m f (w:s) = f (m w) w;;
-val bind : (s -> 'a) -> ('a -> s -> 'b) -> s -> 'b = <fun>
-# bind (unit 'a') unit 1;;
-- : char = 'a'
-</pre>
+You could also do `bind u (fun x -> v)`; we use the `_` for the function argument to be explicit that that argument is never going to be used.

-We'll assume that this and the other laws always hold.
+The `lift` operation we asked you to define for last week's homework is a common operation. The second argument to `bind` converts `'a` values into `'b m` values---that is, into instances of the monadic type. What if we instead had a function that merely converts `'a` values into `'b` values, and we want to use it with our monadic type? Then we "lift" that function into an operation on the monad. For example:

-We now build up some extensional meanings:
+       # let even x = (x mod 2 = 0);;
+       val g : int -> bool = <fun>

-       let left w x = match (w,x) with (2,'c') -> false | _ -> true;;
+`even` has the type `int -> bool`. Now what if we want to convert it into an operation on the option/maybe monad?

-This function says that everyone always left, except for Cam in world
-2 (i.e., `left 2 'c' == false`).
+       # let lift g = fun u -> bind u (fun x -> Some (g x));;
+       val lift : ('a -> 'b) -> 'a option -> 'b option = <fun>

-Then the way to evaluate an extensional sentence is to determine the
-extension of the verb phrase, and then apply that extension to the
-extension of the subject:
+`lift even` will now be a function from `int option`s to `bool option`s. We can
+also define a lift operation for binary functions:

-<pre>
-let extapp fn arg w = fn w (arg w);;
+       # let lift2 g = fun u v -> bind u (fun x -> bind v (fun y -> Some (g x y)));;
+       val lift2 : ('a -> 'b -> 'c) -> 'a option -> 'b option -> 'c option = <fun>

-extapp left ann 1;;
-# - : bool = true
+`lift2 (+)` will now be a function from `int option`s  and `int option`s to `int option`s. This should look familiar to those who did the homework.

-extapp left cam 2;;
-# - : bool = false
-</pre>
+The `lift` operation (just `lift`, not `lift2`) is sometimes also called the `map` operation. (In Haskell, they say `fmap` or `<\$>`.) And indeed when we're working with the list monad, `lift f` is exactly `List.map f`!

-`extapp` stands for "extensional function application".
-So Ann left in world 1, but Cam didn't leave in world 2.
+Wherever we have a well-defined monad, we can define a lift/map operation for that monad. The examples above used `Some (g x)` and so on; in the general case we'd use `unit (g x)`, using the specific `unit` operation for the monad we're working with.

-A transitive predicate:
+In general, any lift/map operation can be relied on to satisfy these laws:

-       let saw w x y = (w < 2) && (y < x);;
-       extapp (extapp saw bill) ann 1;; (* true *)
-       extapp (extapp saw bill) ann 2;; (* false *)
+       * lift id = id
+       * lift (compose f g) = compose (lift f) (lift g)

-In world 1, Ann saw Bill and Cam, and Bill saw Cam.  No one saw anyone
-in world two.
+where `id` is `fun x -> x` and `compose f g` is `fun x -> f (g x)`. If you think about the special case of the map operation on lists, this should make sense. `List.map id lst` should give you back `lst` again. And you'd expect these
+two computations to give the same result:

-Good.  Now for intensions:
+       List.map (fun x -> f (g x)) lst
+       List.map f (List.map g lst)

-       let intapp fn arg w = fn w arg;;
+Another general monad operation is called `ap` in Haskell---short for "apply." (They also use `<*>`, but who can remember that?) This works like this:

-The only difference between intensional application and extensional
-application is that we don't feed the evaluation world to the argument.
-(See Montague's rules of (intensional) functional application, T4 -- T10.)
-In other words, instead of taking an extension as an argument,
-Montague's predicates take a full-blown intension.
+       ap [f] [x; y] = [f x; f y]
+       ap (Some f) (Some x) = Some (f x)

-But for so-called extensional predicates like "left" and "saw",
-the extra power is not used.  We'd like to define intensional versions
-of these predicates that depend only on their extensional essence.
-Just as we used bind to define a version of addition that interacted
-with the option monad, we now use bind to intensionalize an
-extensional verb:
+and so on. Here are the laws that any `ap` operation can be relied on to satisfy:

-<pre>
-let lift pred w arg = bind arg (fun x w -> pred w x) w;;
+       ap (unit id) u = u
+       ap (ap (ap (unit compose) u) v) w = ap u (ap v w)
+       ap (unit f) (unit x) = unit (f x)
+       ap u (unit x) = ap (unit (fun f -> f x)) u

-intapp (lift left) ann 1;; (* true: Ann still left in world 1 *)
-intapp (lift left) cam 2;; (* false: Cam still didn't leave in world 2 *)
-</pre>
+Another general monad operation is called `join`. This is the operation that takes you from an iterated monad to a single monad. Remember when we were explaining the `bind` operation for the list monad, there was a step where
+we went from:

-Because `bind` unwraps the intensionality of the argument, when the
-lifted "left" receives an individual concept (e.g., `unit 'a'`) as
-argument, it's the extension of the individual concept (i.e., `'a'`)
-that gets fed to the basic extensional version of "left".  (For those
-of you who know Montague's PTQ, this use of bind captures Montague's
-third meaning postulate.)
+       [; [1;2]; [1;3]; [1;2;4]]

-Likewise for extensional transitive predicates like "saw":
+to:

-<pre>
-let lift2 pred w arg1 arg2 =
-  bind arg1 (fun x -> bind arg2 (fun y w -> pred w x y)) w;;
-intapp (intapp (lift2 saw) bill) ann 1;;  (* true: Ann saw Bill in world 1 *)
-intapp (intapp (lift2 saw) bill) ann 2;;  (* false: No one saw anyone in world 2 *)
-</pre>
+       [1; 1; 2; 1; 3; 1; 2; 4]

-Crucially, an intensional predicate does not use `bind` to consume its
-arguments.  Attitude verbs like "thought" are intensional with respect
-to their sentential complement, but extensional with respect to their
-subject (as Montague noticed, almost all verbs in English are
-extensional with respect to their subject; a possible exception is "appear"):
+That is the `join` operation.

-<pre>
-let think (w:s) (p:s->t) (x:e) =
-  match (x, p 2) with ('a', false) -> false | _ -> p w;;
-</pre>
+All of these operations can be defined in terms of `bind` and `unit`; or alternatively, some of them can be taken as primitive and `bind` can be defined in terms of them. Here are various interdefinitions:

-Ann disbelieves any proposition that is false in world 2.  Apparently,
-she firmly believes we're in world 2.  Everyone else believes a
-proposition iff that proposition is true in the world of evaluation.
+       lift f u = u >>= compose unit f
+       lift f u = ap (unit f) u
+       lift2 f u v = u >>= (fun x -> v >>= (fun y -> unit (f x y)))
+       lift2 f u v = ap (lift f u) v = ap (ap (unit f) u) v
+       ap u v = u >>= (fun f -> lift f v)
+       ap u v = lift2 id u v
+       join m2 = m2 >>= id
+       u >>= f = join (lift f u)
+       u >> v = u >>= (fun _ -> v)
+       u >> v = lift2 (fun _ -> id) u v

-<pre>
-intapp (lift (intapp think
-                     (intapp (lift left)
-                             (unit 'b'))))
-       (unit 'a')
-1;; (* true *)
-</pre>

-So in world 1, Ann thinks that Bill left (because in world 2, Bill did leave).

-The `lift` is there because "think Bill left" is extensional wrt its
-subject.  The important bit is that "think" takes the intension of
-"Bill left" as its first argument.
+-------------

-<pre>
-intapp (lift (intapp think
-                     (intapp (lift left)
-                             (unit 'c'))))
-       (unit 'a')
-1;; (* false *)
-</pre>
+We're going to be using monads for a number of different things in the
+weeks to come.  One major application will be the State monad,
+which will enable us to model mutation: variables whose values appear
+to change as the computation progresses.  Later, we will study the

-But even in world 1, Ann doesn't believe that Cam left (even though he
-did: `intapp (lift left) cam 1 == true`).  Ann's thoughts are hung up
-on what is happening in world 2, where Cam doesn't leave.
+But first, we'll look at several linguistic applications for monads, based

-*Small project*: add intersective ("red") and non-intersective
- will be extensional with respect to the nominal they combine with
- (using bind), and the non-intersective adjectives will take
- intensional arguments.