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index af8c17e..8daff8a 100644 (file)
@@ -4,6 +4,12 @@
 Towards Monads: Safe division
 -----------------------------
 
+[This section used to be near the end of the lecture notes for week 6]
+
+We begin by reasoning about what should happen when someone tries to
+divide by zero.  This will lead us to a general programming technique
+called a *monad*, which we'll see in many guises in the weeks to come.
+
 Integer division presupposes that its second argument
 (the divisor) is not zero, upon pain of presupposition failure.
 Here's what my OCaml interpreter says:
@@ -146,35 +152,6 @@ None objects or real numbers---those details are hidden inside of the
 The definition of `div'` shows exactly what extra needs to be said in
 order to trigger the no-division-by-zero presupposition.
 
-For linguists: this is a complete theory of a particularly simply form
-of presupposition projection (every predicate is a hole).
-
-
-
-
-Monads in General
------------------
-
-Start by (re)reading the discussion of monads in the lecture notes for
-week 6 [[Towards Monads]].
-In those notes, we saw a way to separate thinking about error
-conditions (such as trying to divide by zero) from thinking about
-normal arithmetic computations.  We did this by making use of the
-`option` type: in each place where we had something of type `int`, we
-put instead something of type `int option`, which is a sum type
-consisting either of one choice with an `int` payload, or else a `None`
-choice which we interpret as  signaling that something has gone wrong.
-
-The goal was to make normal computing as convenient as possible: when
-we're adding or multiplying, we don't have to worry about generating
-any new errors, so we do want to think about the difference between
-`int`s and `int option`s.  We tried to accomplish this by defining a
-`bind` operator, which enabled us to peel away the `option` husk to get
-at the delicious integer inside.  There was also a homework problem
-which made this even more convenient by mapping any binary operation
-on plain integers into a lifted operation that understands how to deal
-with `int option`s in a sensible way.
-
 [Linguitics note: Dividing by zero is supposed to feel like a kind of
 presupposition failure.  If we wanted to adapt this approach to
 building a simple account of presupposition projection, we would have
@@ -190,6 +167,29 @@ material that otherwise would trigger a presupposition violation; but,
 not surprisingly, these refinements will require some more
 sophisticated techniques than the super-simple option monad.]
 
+
+Monads in General
+-----------------
+
+We've just seen a way to separate thinking about error conditions
+(such as trying to divide by zero) from thinking about normal
+arithmetic computations.  We did this by making use of the `option`
+type: in each place where we had something of type `int`, we put
+instead something of type `int option`, which is a sum type consisting
+either of one choice with an `int` payload, or else a `None` choice
+which we interpret as signaling that something has gone wrong.
+
+The goal was to make normal computing as convenient as possible: when
+we're adding or multiplying, we don't have to worry about generating
+any new errors, so we would rather not think about the difference
+between `int`s and `int option`s.  We tried to accomplish this by
+defining a `bind` operator, which enabled us to peel away the `option`
+husk to get at the delicious integer inside.  There was also a
+homework problem which made this even more convenient by defining a
+`lift` operator that mapped any binary operation on plain integers
+into a lifted operation that understands how to deal with `int
+option`s in a sensible way.
+
 So what exactly is a monad?  We can consider a monad to be a system
 that provides at least the following three elements:
 
@@ -210,7 +210,12 @@ that provides at least the following three elements:
        discussing earlier (whose value is written `()`). It's also only
        very loosely connected to the "return" keyword in many other
        programming languages like C. But these are the names that the literature
-       uses.
+       uses.  [The rationale for "unit" comes from the monad laws
+       (see below), where the unit function serves as an identity,
+       just like the unit number (i.e., 1) serves as the identity
+       object for multiplication.  The rationale for "return" comes
+       from a misguided desire to resonate with C programmers and
+       other imperative types.]
 
        The unit/return operation is a way of lifting an ordinary object into
        the monadic box you've defined, in the simplest way possible. You can think
@@ -270,6 +275,8 @@ that provides at least the following three elements:
        be defined so as to make sure that the result of `f x` was also
        a singing box. If `f` also wanted to insert a song, you'd have to decide
        whether both songs would be carried through, or only one of them.
+        (Are you beginning to realize how wierd and wonderful monads
+       can be?)
 
        There is no single `bind` function that dictates how this must go.
        For each new monadic type, this has to be worked out in an
@@ -279,17 +286,11 @@ So the "option/maybe monad" consists of the polymorphic `option` type, the
 `unit`/return function, and the `bind` function.
 
 
-A note on notation: Haskell uses the infix operator `>>=` to stand
-for `bind`. Chris really hates that symbol.  Following Wadler, he prefers to
-use an infix five-pointed star ⋆, or on a keyboard, `*`. Jim on the other hand
-thinks `>>=` is what the literature uses and students won't be able to
-avoid it. Moreover, although ⋆ is OK (though not a convention that's been picked up), overloading the multiplication symbol invites its own confusion
-and Jim feels very uneasy about that. If not `>>=` then we should use
-some other unfamiliar infix symbol (but `>>=` already is such...)
+A note on notation: Haskell uses the infix operator `>>=` to stand for
+`bind`: wherever you see `u >>= f`, that means `bind u f`.
+Wadler uses ⋆, but that hasn't been widely adopted (unfortunately).
 
-In any case, the course leaders will work this out somehow. In the meantime,
-as you read around, wherever you see `u >>= f`, that means `bind u f`. Also,
-if you ever see this notation:
+Also, if you ever see this notation:
 
        do
                x <- u
@@ -303,9 +304,14 @@ Similarly:
                y <- v
                f x y
 
-is shorthand for `u >>= (\x -> v >>= (\y -> f x y))`, that is, `bind u (fun x
--> bind v (fun y -> f x y))`. Those who did last week's homework may recognize
-this last expression.
+is shorthand for `u >>= (\x -> v >>= (\y -> f x y))`, that is, `bind u
+(fun x -> bind v (fun y -> f x y))`. Those who did last week's
+homework may recognize this last expression.  You can think of the
+notation like this: take the singing box `u` and evaluate it (which
+includes listening to the song).  Take the int contained in the
+singing box (the end result of evaluting `u`) and bind the variable
+`x` to that int.  So `x <- u` means "Sing me up an int, which I'll call
+`x`".
 
 (Note that the above "do" notation comes from Haskell. We're mentioning it here
 because you're likely to see it when reading about monads. It won't work in
@@ -366,8 +372,8 @@ them from hurting the people that use them or themselves.
 
                # let unit x = Some x;;
                val unit : 'a -> 'a option = <fun>
-               # let ( * ) u f = match u with None -> None | Some x -> f x;;
-               val ( * ) : 'a option -> ('a -> 'b option) -> 'b option = <fun>
+               # let ( >>= ) u f = match u with None -> None | Some x -> f x;;
+               val ( >>= ) : 'a option -> ('a -> 'b option) -> 'b option = <fun>
 
        The parentheses is the magic for telling OCaml that the
        function to be defined (in this case, the name of the function
@@ -376,44 +382,44 @@ them from hurting the people that use them or themselves.
 
                # unit 2;;
                - : int option = Some 2
-               # unit 2 * unit;;
+               # unit 2 >>= unit;;
                - : int option = Some 2
 
                # let divide x y = if 0 = y then None else Some (x/y);;
                val divide : int -> int -> int option = <fun>
                # divide 6 2;;
                - : int option = Some 3
-               # unit 2 * divide 6;;
+               # unit 2 >>= divide 6;;
                - : int option = Some 3
 
                # divide 6 0;;
                - : int option = None
-               # unit 0 * divide 6;;
+               # unit 0 >>= divide 6;;
                - : int option = None
 
 
 *      **Associativity: bind obeys a kind of associativity**. Like this:
 
-               (u * f) * g == u * (fun x -> f x * g)
+               (u >>= f) >>= g == u >>= (fun x -> f x >>= g)
 
        If you don't understand why the lambda form is necessary (the "fun
        x" part), you need to look again at the type of `bind`.
 
        Some examples of associativity in the option monad:
 
-               # Some 3 * unit * unit;; 
+               # Some 3 >>= unit >>= unit;; 
                - : int option = Some 3
-               # Some 3 * (fun x -> unit x * unit);;
+               # Some 3 >>= (fun x -> unit x >>= unit);;
                - : int option = Some 3
 
-               # Some 3 * divide 6 * divide 2;;
+               # Some 3 >>= divide 6 >>= divide 2;;
                - : int option = Some 1
-               # Some 3 * (fun x -> divide 6 x * divide 2);;
+               # Some 3 >>= (fun x -> divide 6 x >>= divide 2);;
                - : int option = Some 1
 
-               # Some 3 * divide 2 * divide 6;;
+               # Some 3 >>= divide 2 >>= divide 6;;
                - : int option = None
-               # Some 3 * (fun x -> divide 2 x * divide 6);;
+               # Some 3 >>= (fun x -> divide 2 x >>= divide 6);;
                - : int option = None
 
 Of course, associativity must hold for *arbitrary* functions of
@@ -427,11 +433,11 @@ computations will again result in `None`; and if the value of
 to `g y`.
 
 *      **Right identity: unit is a right identity for bind.**  That is, 
-       `u * unit == u` for all monad objects `u`.  For instance,
+       `u >>= unit == u` for all monad objects `u`.  For instance,
 
-               # Some 3 * unit;;
+               # Some 3 >>= unit;;
                - : int option = Some 3
-               # None * unit;;
+               # None >>= unit;;
                - : 'a option = None