index e4e884b..857a636 100644 (file)
@@ -310,8 +310,8 @@ homework may recognize this last expression.  You can think of the
notation like this: take the singing box `u` and evaluate it (which
includes listening to the song).  Take the int contained in the
singing box (the end result of evaluting `u`) and bind the variable
-`x` to that int.  So `x <- u` means "Sing me up an int, and I'll call
-it `x`".
+`x` to that int.  So `x <- u` means "Sing me up an int, which I'll call
+`x`".

(Note that the above "do" notation comes from Haskell. We're mentioning it here
@@ -367,59 +367,63 @@ them from hurting the people that use them or themselves.

*      **Left identity: unit is a left identity for the bind operation.**
That is, for all `f:'a -> 'a m`, where `'a m` is a monadic
-       type, we have `(unit x) * f == f x`.  For instance, `unit` is itself
+       type, we have `(unit x) >>= f == f x`.  For instance, `unit` is itself
a function of type `'a -> 'a m`, so we can use it for `f`:

# let unit x = Some x;;
val unit : 'a -> 'a option = <fun>
-               # let ( * ) u f = match u with None -> None | Some x -> f x;;
-               val ( * ) : 'a option -> ('a -> 'b option) -> 'b option = <fun>
+               # let ( >>= ) u f = match u with None -> None | Some x -> f x;;
+               val ( >>= ) : 'a option -> ('a -> 'b option) -> 'b option = <fun>

The parentheses is the magic for telling OCaml that the
function to be defined (in this case, the name of the function
-       is `*`, pronounced "bind") is an infix operator, so we write
-       `u * f` or `( * ) u f` instead of `* u f`. Now:
+       is `>>=`, pronounced "bind") is an infix operator, so we write
+       `u >>= f` or equivalently `( >>= ) u f` instead of `>>= u
+       f`. Now, for a less trivial instance of a function from `int`s
+       to `int option`s:

# unit 2;;
- : int option = Some 2
-               # unit 2 * unit;;
+               # unit 2 >>= unit;;
- : int option = Some 2

# let divide x y = if 0 = y then None else Some (x/y);;
val divide : int -> int -> int option = <fun>
# divide 6 2;;
- : int option = Some 3
-               # unit 2 * divide 6;;
+               # unit 2 >>= divide 6;;
- : int option = Some 3

# divide 6 0;;
- : int option = None
-               # unit 0 * divide 6;;
+               # unit 0 >>= divide 6;;
- : int option = None

*      **Associativity: bind obeys a kind of associativity**. Like this:

-               (u * f) * g == u * (fun x -> f x * g)
+               (u >>= f) >>= g == u >>= (fun x -> f x >>= g)

If you don't understand why the lambda form is necessary (the "fun
x" part), you need to look again at the type of `bind`.

-       Some examples of associativity in the option monad:
+       Some examples of associativity in the option monad (bear in
+       mind that in the Ocaml implementation of integer division, 2/3
+       evaluates to zero, throwing away the remainder):

-               # Some 3 * unit * unit;;
+               # Some 3 >>= unit >>= unit;;
- : int option = Some 3
-               # Some 3 * (fun x -> unit x * unit);;
+               # Some 3 >>= (fun x -> unit x >>= unit);;
- : int option = Some 3

-               # Some 3 * divide 6 * divide 2;;
+               # Some 3 >>= divide 6 >>= divide 2;;
- : int option = Some 1
-               # Some 3 * (fun x -> divide 6 x * divide 2);;
+               # Some 3 >>= (fun x -> divide 6 x >>= divide 2);;
- : int option = Some 1

-               # Some 3 * divide 2 * divide 6;;
+               # Some 3 >>= divide 2 >>= divide 6;;
- : int option = None
-               # Some 3 * (fun x -> divide 2 x * divide 6);;
+               # Some 3 >>= (fun x -> divide 2 x >>= divide 6);;
- : int option = None

Of course, associativity must hold for *arbitrary* functions of
@@ -433,11 +437,11 @@ computations will again result in `None`; and if the value of
to `g y`.

*      **Right identity: unit is a right identity for bind.**  That is,
-       `u * unit == u` for all monad objects `u`.  For instance,
+       `u >>= unit == u` for all monad objects `u`.  For instance,

-               # Some 3 * unit;;
+               # Some 3 >>= unit;;
- : int option = Some 3
-               # None * unit;;
+               # None >>= unit;;
- : 'a option = None

If you studied algebra, you'll remember that a *monoid* is an
associative operation with a left and right identity.  For instance,
the natural numbers along with multiplication form a monoid with 1
-serving as the left and right identity.  That is, temporarily using
-`*` to mean arithmetic multiplication, `1 * u == u == u * 1` for all
+serving as the left and right identity.  That is, `1 * u == u == u * 1` for all
`u`, and `(u * v) * w == u * (v * w)` for all `u`, `v`, and `w`.  As
presented here, a monad is not exactly a monoid, because (unlike the
arguments of a monoid operation) the two arguments of the bind are of
different types.  But it's possible to make the connection between
monads and monoids much closer. This is discussed in [Monads in Category

Here are some papers that introduced monads into functional programming:
@@ -478,10 +481,10 @@ invited talk, *19'th Symposium on Principles of Programming Languages*, ACM Pres

*      [Daniel Friedman. A Schemer's View of Monads](/schemersviewofmonads.ps): from <https://www.cs.indiana.edu/cgi-pub/c311/doku.php?id=home> but the link above is to a local copy.

-There's a long list of monad tutorials on the [[Offsite Reading]] page. Skimming the titles makes me laugh.
+There's a long list of monad tutorials on the [[Offsite Reading]] page. Skimming the titles makes us laugh.

In the presentation we gave above---which follows the functional programming conventions---we took `unit`/return and `bind` as the primitive operations. From these a number of other general monad operations can be derived. It's also possible to take some of the others as primitive. The [Monads in Category