index 5898788..7a5ae2c 100644 (file)
@@ -1,16 +1,16 @@
[[!toc]]

[[!toc]]

-Types, OCAML
+Types, OCaml
------------

------------

-OCAML has type inference: the system can often infer what the type of
+OCaml has type inference: the system can often infer what the type of
an expression must be, based on the type of other known expressions.

an expression must be, based on the type of other known expressions.

-For instance, if we type
+For instance, if we type

# let f x = x + 3;;

# let f x = x + 3;;

-The system replies with
+The system replies with

val f : int -> int = <fun>

val f : int -> int = <fun>

@@ -32,7 +32,7 @@ element:
# (3) = 3;;
- : bool = true

# (3) = 3;;
- : bool = true

-though OCAML, like many systems, refuses to try to prove whether two
+though OCaml, like many systems, refuses to try to prove whether two
functional objects may be identical:

# (f) = f;;
functional objects may be identical:

# (f) = f;;
@@ -41,11 +41,11 @@ functional objects may be identical:
Oh well.

Oh well.

-Booleans in OCAML, and simple pattern matching
+Booleans in OCaml, and simple pattern matching
----------------------------------------------

Where we would write `true 1 2` in our pure lambda calculus and expect
----------------------------------------------

Where we would write `true 1 2` in our pure lambda calculus and expect
-it to evaluate to `1`, in OCAML boolean types are not functions
+it to evaluate to `1`, in OCaml boolean types are not functions
(equivalently, are functions that take zero arguments).  Selection is
accomplished as follows:

(equivalently, are functions that take zero arguments).  Selection is
accomplished as follows:

@@ -65,7 +65,7 @@ That is,
# match true with true -> 1 | false -> 2;;
- : int = 1

# match true with true -> 1 | false -> 2;;
- : int = 1

-Compare with
+Compare with

# match 3 with 1 -> 1 | 2 -> 4 | 3 -> 9;;
- : int = 9

# match 3 with 1 -> 1 | 2 -> 4 | 3 -> 9;;
- : int = 9
@@ -73,7 +73,7 @@ Compare with
Unit and thunks
---------------

Unit and thunks
---------------

-All functions in OCAML take exactly one argument.  Even this one:
+All functions in OCaml take exactly one argument.  Even this one:

# let f x y = x + y;;
# f 2 3;;

# let f x y = x + y;;
# f 2 3;;
@@ -87,7 +87,7 @@ Here's how to tell that `f` has been curry'd:
After we've given our `f` one argument, it returns a function that is
still waiting for another argument.

After we've given our `f` one argument, it returns a function that is
still waiting for another argument.

-There is a special type in OCAML called `unit`.  There is exactly one
+There is a special type in OCaml called `unit`.  There is exactly one
object in this type, written `()`.  So

# ();;
object in this type, written `()`.  So

# ();;
@@ -112,7 +112,7 @@ correct type is the unit:

Let's have some fn: think of `rec` as our `Y` combinator.  Then

Let's have some fn: think of `rec` as our `Y` combinator.  Then

-    # let rec f n = if (0 = n) then 1 else (n * (f (n - 1)));;
+    # let rec f n = if (0 = n) then 1 else (n * (f (n - 1)));;
val f : int -> int = <fun>
# f 5;;
- : int = 120
val f : int -> int = <fun>
# f 5;;
- : int = 120
@@ -145,7 +145,7 @@ So we can try our usual tricks:
# (fun x -> true) omega;;
- : bool = true

# (fun x -> true) omega;;
- : bool = true

-OCAML declined to try to evaluate the argument before applying the
+OCaml declined to try to evaluate the argument before applying the
functor.  But remember that `omega` is a function too, so we can
reverse the order of the arguments:

functor.  But remember that `omega` is a function too, so we can
reverse the order of the arguments:

@@ -176,14 +176,14 @@ Towards Monads

So the integer division operation presupposes that its second argument
(the divisor) is not zero, upon pain of presupposition failure.

So the integer division operation presupposes that its second argument
(the divisor) is not zero, upon pain of presupposition failure.
-Here's what my OCAML interpreter says:
+Here's what my OCaml interpreter says:

# 12/0;;
Exception: Division_by_zero.

# 12/0;;
Exception: Division_by_zero.

-So we want to explicitly allow for the possibility that
+So we want to explicitly allow for the possibility that
division will return something other than a number.
division will return something other than a number.
-We'll use OCAML's option type, which works like this:
+We'll use OCaml's option type, which works like this:

# type 'a option = None | Some of 'a;;
# None;;

# type 'a option = None | Some of 'a;;
# None;;
@@ -192,22 +192,22 @@ We'll use OCAML's option type, which works like this:
- : int option = Some 3

So if a division is normal, we return some number, but if the divisor is
- : int option = Some 3

So if a division is normal, we return some number, but if the divisor is
-zero, we return None:
+zero, we return None. As a mnemonic aid, we'll append a `'` to the end of our new divide function.

<pre>

<pre>
-let div (x:int) (y:int) =
+let div' (x:int) (y:int) =
match y with 0 -> None |
_ -> Some (x / y);;

(*
match y with 0 -> None |
_ -> Some (x / y);;

(*
-val div : int -> int -> int option = \<fun\>
-# div 12 3;;
+val div' : int -> int -> int option = fun
+# div' 12 3;;
- : int option = Some 4
- : int option = Some 4
-# div 12 0;;
+# div' 12 0;;
- : int option = None
- : int option = None
-# div (div 12 3) 2;;
+# div' (div' 12 3) 2;;
Characters 4-14:
Characters 4-14:
-  div (div 12 3) 2;;
+  div' (div' 12 3) 2;;
^^^^^^^^^^
Error: This expression has type int option
but an expression was expected of type int
^^^^^^^^^^
Error: This expression has type int option
but an expression was expected of type int
@@ -216,23 +216,23 @@ Error: This expression has type int option

This starts off well: dividing 12 by 3, no problem; dividing 12 by 0,
just the behavior we were hoping for.  But we want to be able to use

This starts off well: dividing 12 by 3, no problem; dividing 12 by 0,
just the behavior we were hoping for.  But we want to be able to use
-the output of the safe division function as input for further division
+the output of the safe-division function as input for further division
operations.  So we have to jack up the types of the inputs:

<pre>
operations.  So we have to jack up the types of the inputs:

<pre>
-let div (x:int option) (y:int option) =
+let div' (x:int option) (y:int option) =
match y with None -> None |
Some 0 -> None |
Some n -> (match x with None -> None |
Some m -> Some (m / n));;

(*
match y with None -> None |
Some 0 -> None |
Some n -> (match x with None -> None |
Some m -> Some (m / n));;

(*
-val div : int option -> int option -> int option = <fun>
-# div (Some 12) (Some 4);;
+val div' : int option -> int option -> int option = <fun>
+# div' (Some 12) (Some 4);;
- : int option = Some 3
- : int option = Some 3
-# div (Some 12) (Some 0);;
+# div' (Some 12) (Some 0);;
- : int option = None
- : int option = None
-# div (div (Some 12) (Some 0)) (Some 4);;
+# div' (div' (Some 12) (Some 0)) (Some 4);;
- : int option = None
*)
</pre>
- : int option = None
*)
</pre>
@@ -240,68 +240,75 @@ val div : int option -> int option -> int option = <fun>
Beautiful, just what we need: now we can try to divide by anything we
want, without fear that we're going to trigger any system errors.

Beautiful, just what we need: now we can try to divide by anything we
want, without fear that we're going to trigger any system errors.

-I prefer to line up the `match` alternatives by using OCAML's
+I prefer to line up the `match` alternatives by using OCaml's
built-in tuple type:

<pre>
built-in tuple type:

<pre>
-let div (x:int option) (y:int option) =
+let div' (x:int option) (y:int option) =
match (x, y) with (None, _) -> None |
(_, None) -> None |
(_, Some 0) -> None |
(Some m, Some n) -> Some (m / n);;
</pre>

match (x, y) with (None, _) -> None |
(_, None) -> None |
(_, Some 0) -> None |
(Some m, Some n) -> Some (m / n);;
</pre>

-So far so good.  But what if we want to combine division with
-other arithmetic operations?  We need to make those other operations
+So far so good.  But what if we want to combine division with
+other arithmetic operations?  We need to make those other operations
aware of the possibility that one of their arguments will trigger a
presupposition failure:

<pre>
aware of the possibility that one of their arguments will trigger a
presupposition failure:

<pre>
-let add (x:int option) (y:int option) =
+let add' (x:int option) (y:int option) =
match (x, y) with (None, _) -> None |
(_, None) -> None |
(Some m, Some n) -> Some (m + n);;

(*
match (x, y) with (None, _) -> None |
(_, None) -> None |
(Some m, Some n) -> Some (m + n);;

(*
-val add : int option -> int option -> int option = <fun>
-# add (Some 12) (Some 4);;
+val add' : int option -> int option -> int option = <fun>
+# add' (Some 12) (Some 4);;
- : int option = Some 16
- : int option = Some 16
-# add (div (Some 12) (Some 0)) (Some 4);;
+# add' (div' (Some 12) (Some 0)) (Some 4);;
- : int option = None
*)
</pre>

- : int option = None
*)
</pre>

-This works, but is somewhat disappointing: the `add` prediction
+This works, but is somewhat disappointing: the `add'` operation
doesn't trigger any presupposition of its own, so it is a shame that
it needs to be adjusted because someone else might make trouble.

doesn't trigger any presupposition of its own, so it is a shame that
it needs to be adjusted because someone else might make trouble.

-But we can automate the adjustment.  The standard way in OCAML,
+But we can automate the adjustment.  The standard way in OCaml,
Haskell, etc., is to define a `bind` operator (the name `bind` is not
Haskell, etc., is to define a `bind` operator (the name `bind` is not
-well chosen to resonate with linguists, but what can you do):
+well chosen to resonate with linguists, but what can you do). To continue our mnemonic association, we'll put a `'` after the name "bind" as well.

<pre>

<pre>
-let bind (x: int option) (f: int -> (int option)) =
-  match x with None -> None | Some n -> f n;;
+let bind' (x: int option) (f: int -> (int option)) =
+  match x with None -> None |
+               Some n -> f n;;

-let add (x: int option) (y: int option)  =
-  bind x (fun x -> bind y (fun y -> Some (x + y)));;
+let add' (x: int option) (y: int option)  =
+  bind' x (fun x -> bind' y (fun y -> Some (x + y)));;

-let div (x: int option) (y: int option) =
-  bind x (fun x -> bind y (fun y -> if (0 = y) then None else Some (x / y)));;
+let div' (x: int option) (y: int option) =
+  bind' x (fun x -> bind' y (fun y -> if (0 = y) then None else Some (x / y)));;

(*

(*
-#  div (div (Some 12) (Some 2)) (Some 4);;
+#  div' (div' (Some 12) (Some 2)) (Some 4);;
- : int option = Some 1
- : int option = Some 1
-#  div (div (Some 12) (Some 0)) (Some 4);;
+#  div' (div' (Some 12) (Some 0)) (Some 4);;
- : int option = None
- : int option = None
-# add (div (Some 12) (Some 0)) (Some 4);;
+# add' (div' (Some 12) (Some 0)) (Some 4);;
- : int option = None
*)
</pre>

- : int option = None
*)
</pre>

-Compare the new definitions of `add` and `div` closely: the definition
-for `add` shows what it looks like to equip an ordinary operation to
-survive in a presupposition-filled world, and the definition of `div`
-shows exactly what extra needs to be added in order to trigger the
-no-division-by-zero presupposition.
+Compare the new definitions of `add'` and `div'` closely: the definition
+for `add'` shows what it looks like to equip an ordinary operation to
+survive in dangerous presupposition-filled world.  Note that the new
+definition of `add'` does not need to test whether its arguments are
+None objects or real numbers---those details are hidden inside of the
+`bind'` function.

+The definition of `div'` shows exactly what extra needs to be said in
+order to trigger the no-division-by-zero presupposition.
+
+For linguists: this is a complete theory of a particularly simply form
+of presupposition projection (every predicate is a hole).