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index 4488a59..0b82d25 100644 (file)
@@ -19,7 +19,7 @@ The closest we will come to metaphorical talk is to suggest that
 monadic types place values inside of *boxes*, and that monads wrap
 and unwrap boxes to expose or enclose the values inside of them. In
 any case, our emphasis will be on starting with the abstract structure
-of monads, followed by instances of monads from the philosophical and
+of monads, followed in coming weeks by instances of monads from the philosophical and
 linguistics literature.
 
 > <small>After you've read this once and are coming back to re-read it to try to digest the details further, the "endofunctors" that slogan is talking about are a combination of our boxes and their associated maps. Their "monoidal" character is captured in the Monad Laws, where a "monoid"---don't confuse with a mon*ad*---is a simpler algebraic notion, meaning a universe with some associative operation that has an identity. For advanced study, here are some further links on the relation between monads as we're working with them and monads as they appear in Category Theory:
@@ -74,7 +74,7 @@ A lot of what we'll be doing concerns types that are called *Kleisli arrows*. Do
 
 <code>P -> <u>Q</u></code>
 
-That is, they are functions from values of one type `P` to a boxed type `Q`, for some choice of type expressions `P` and `Q`.
+That is, they are functions from values of one type `P` to a boxed type `Q`, for some choice of box and of type expressions `P` and `Q`.
 For instance, the following are Kleisli arrow types:
 
 <code>int -> <u>bool</u></code>
@@ -130,13 +130,13 @@ Here are the types of our crucial functions, together with our pronunciation, an
 
 > In Haskell, this is `Control.Monad.<=<`.
 
-<code>&gt;=&gt; (flip mcomp, should we call it mpmoc?): (P -> <u>Q</u>) -> (Q -> <u>R</u>) -> (P -> <u>R</u>)</code>
+<code>&gt;=&gt; or flip mcomp : (P -> <u>Q</u>) -> (Q -> <u>R</u>) -> (P -> <u>R</u>)</code>
 
 > In Haskell, this is `Control.Monad.>=>`. In the class handout, we gave the types for `>=>` twice, and once was correct but the other was a typo. The above is the correct typing.
 
 <code>&gt;&gt;= or mbind : (<u>Q</u>) -> (Q -> <u>R</u>) -> (<u>R</u>)</code>
 
-<code>=&lt;&lt; (flip mbind, should we call it mdnib?) (Q -> <u>R</u>) -> (<u>Q</u>) -> (<u>R</u>)</code>
+<code>=&lt;&lt; or flip mbind : (Q -> <u>R</u>) -> (<u>Q</u>) -> (<u>R</u>)</code>
 
 <code>join: <span class="box2">P</span> -> <u>P</u></code>
 
@@ -227,6 +227,7 @@ has to obey the following Map Laws:
     > The first of these says that if you have a triply-boxed type, and you first merge the inner two boxes (with `map join`), and then merge the resulting box with the outermost box, that's the same as if you had first merged the outer two boxes, and then merged the resulting box with the innermost box. The second law says that if you take a box type and wrap a second box around it (with `mid`) and then merge them, that's the same as if you had done nothing, or if you had instead wrapped a second box around each element of the original (with `map mid`, leaving the original box on the outside), and then merged them.<p>
     > The Category Theorist would state these Laws like this, where `M` is the endofunctor that takes us from type `α` to type <code><u>α</u></code>:
     > <pre>μ ○ M(μ) == μ ○ μ<br>μ ○ η == id == μ ○ M(η)</pre></small>
+    > A word of advice: if you're doing any work in this conceptual neighborhood and need a Greek letter, don't use μ. In addition to the preceding usage, there's also a use in recursion theory (for the minimization operator), in type theory (as a fixed point operator for types), and in the λμ-calculus, which is a formal system that deals with _continuations_, which we will focus on later in the course. So μ already exhibits more ambiguity than it can handle.
 
 
 As hinted in last week's homework and explained in class, the operations available in a Mappable system exactly preserve the "structure" of the boxed type they're operating on, and moreover are only sensitive to what content is in the corresponding original position. If you say `map f [1,2,3]`, then what ends up in the first position of the result depends only on how `f` and `1` combine.
@@ -345,7 +346,7 @@ For example:
 
 `j 7` produced `[49, 14]`, which after being fed through `k` gave us `[49, 50, 14, 15]`.
 
-Contrast that to `m$` (`mapply`), which operates not on two *box-producing functions*, but instead on two *values of a boxed type*, one containing functions to be applied to the values in the other box, via some predefined scheme. Thus:
+Contrast that to `m$` (`mapply`), which operates not on two *box-producing functions*, but instead on two *boxed type values*, one containing functions to be applied to the values in the other box, via some predefined scheme. Thus:
 
     let js = [(\a->a*a),(\a->a+a)] in
     let xs = [7, 5] in
@@ -354,11 +355,11 @@ Contrast that to `m$` (`mapply`), which operates not on two *box-producing funct
 
 The question came up in class of when box types might fail to be Mappable, or Mappables might fail to be MapNables, or MapNables might fail to be Monads.
 
-For the first failure, we noted that it's easy to define a `map` operation for the box type `R -> α`, for a fixed type `R`. You `map` a function of type `P -> Q` over a value of the boxed type <code><u>P</u></code>, that is `R -> P`, by just returning a function that takes some `R` as input, first supplies it to your `R -> P` value, and then supplies the result to your `map`ped function of type `P -> Q`. (We will be working with this Mappable extensively; in fact it's not just a Mappable but more specifically a Monad.)
+For the first failure, we noted that it's easy to define a `map` operation for the box type `R -> α`, for a fixed type `R`. You `map` a function of type `P -> Q` over a value of the boxed type <code><u>P</u></code>, that is a value of type `R -> P`, by just returning a function that takes some `R` as input, first supplies it to your `R -> P` value, and then supplies the result to your `map`ped function of type `P -> Q`. (We will be working with this Mappable extensively; in fact it's not just a Mappable but more specifically a Monad.)
 
 But if on the other hand, your box type is `α -> R`, you'll find that there is no way to define a `map` operation that takes arbitrary functions of type `P -> Q` and values of the boxed type <code><u>P</u></code>, that is `P -> R`, and returns values of the boxed type <code><u>Q</u></code>.
 
-For the second failure, that is cases of Mappables that are not MapNables, we cited box types like `(R, α)`, for arbitrary fixed types `R`. The `map` operation for these is defined by `map f (r,a) = (r, f a)`. For certain choices of `R` these can be MapNables too. The easiest case is when `R` is the type of `()`. But when we look at the MapNable Laws, we'll see that they impose constraints we cannot satisfy for *every* choice of the fixed type `R`. Here's why. We'll need to define `mid a = (r0, a)` for some specific `r0` of type `R`. Then the MapNable Laws will entail:
+For the second failure, that is cases of Mappables that are not MapNables, we cited box types like `(R, α)`, for arbitrary fixed types `R`. The `map` operation for these is defined by `map f (r,a) = (r, f a)`. For certain choices of `R` these can be MapNables too. The easiest case is when `R` is the type of `()`. But when we look at the MapNable Laws, we'll see that they impose constraints we cannot satisfy for *every* choice of the fixed type `R`. Here's why. We'll need to define `mid a = (r0, a)` for some specific `r0` of type `R`. The choice can't depend on the value of `a`, because `mid` needs to work for `a`s of _any_ type. Then the MapNable Laws will entail:
 
     1. (r0,id) m$ (r,x) == (r,x)
     2. (r0,f x) == (r0,f) m$ (r0,x)
@@ -366,7 +367,7 @@ For the second failure, that is cases of Mappables that are not MapNables, we ci
     4. (r'',f) m$ (r0,x) == (r0,($x)) m$ (r'',f)
     5. (r0,f) m$ (r,x) == (r,($x)) m$ (r0,f)
 
-Now we are not going to be able to write a `m$` function that inspects the second element of its left-hand operand to check if it's the `id` function; the identity of functions is not decidable. So the only way to satisfy Law 1 will be to use the first element of the right-hand operand (`r`) at least in those cases when the first element of the left-hand operand is `r0`. But then that means that the result of the lhs of Law 5 will also have a first element of `r`; so, turning now to the rhs of Law 5, we see that `m$` must use the first element of its _left_-hand operand (here again `r`) at least in those cases when the first element of its right-hand operand is `r0`. If our `R` type has a natural *monoid* structure, we could just let `r0` be the monoid's identity, and have `m$` combine other `R`s using the monoid's operation. Alternatively, if the `R` type is one that we can safely apply the predicate `(r0==)` to, then we could define `m$` something like this:
+Now we are not going to be able to write a `m$` function that inspects the second element of its left-hand operand to check if it's the `id` function; the identity of functions is not decidable. So the only way to satisfy Law 1 will be to have the first element of the result (`r`) be taken from the first element of the right-hand operand in _all_ the cases when the first element of the left-hand operand is `r0`. But then that means that the result of the lhs of Law 5 will also have a first element of `r`; so, turning now to the rhs of Law 5, we see that `m$` must use the first element of its _left_-hand operand (here again `r`) at least in those cases when the first element of its right-hand operand is `r0`. If our `R` type has a natural *monoid* structure, we could just let `r0` be the monoid's identity, and have `m$` combine other `R`s using the monoid's operation. Alternatively, if the `R` type is one that we can safely apply the predicate `(r0==)` to, then we could define `m$` something like this:
 
     let (m$) (r1,f) (r2,x) = ((if r0==r1 then r2 else if r0==r2 then r1 else ...), ...)
 
@@ -374,184 +375,3 @@ But for some types neither of these will be the case. For function types, as we
 
 For the third failure, that is examples of MapNables that aren't Monads, we'll just state that lists where the `map2` operation is taken to be zipping rather than taking the Cartesian product (what in Haskell are called `ZipList`s), these are claimed to exemplify that failure. But we aren't now in a position to demonstrate that to you.
 
-
-## Safe division ##
-
-As we discussed in class, there are clear patterns shared between lists and option types and trees, so perhaps you can see why people want to figure out the general structures. But it probably isn't obvious yet why it would be useful to do so. To a large extent, this will only emerge over the next few classes. But we'll begin to demonstrate the usefulness of these patterns by talking through a simple example, that uses the monadic functions of the Option/Maybe box type.
-
-Integer division presupposes that its second argument
-(the divisor) is not zero, upon pain of presupposition failure.
-Here's what my OCaml interpreter says:
-
-    # 12/0;;
-    Exception: Division_by_zero.
-
-Say we want to explicitly allow for the possibility that
-division will return something other than a number.
-To do that, we'll use OCaml's `option` type, which works like this:
-
-    # type 'a option = None | Some of 'a;;
-    # None;;
-    - : 'a option = None
-    # Some 3;;
-    - : int option = Some 3
-
-So if a division is normal, we return some number, but if the divisor is
-zero, we return `None`. As a mnemonic aid, we'll prepend a `safe_` to the start of our new divide function.
-
-<pre>
-let safe_div (x:int) (y:int) =
-  match y with
-    | 0 -> None
-    | _ -> Some (x / y);;
-
-(*
-val safe_div : int -> int -> int option = fun
-# safe_div 12 2;;
-- : int option = Some 6
-# safe_div 12 0;;
-- : int option = None
-# safe_div (safe_div 12 2) 3;;
-            ~~~~~~~~~~~~~
-Error: This expression has type int option
-       but an expression was expected of type int
-*)
-</pre>
-
-This starts off well: dividing `12` by `2`, no problem; dividing `12` by `0`,
-just the behavior we were hoping for. But we want to be able to use
-the output of the safe-division function as input for further division
-operations. So we have to jack up the types of the inputs:
-
-<pre>
-let safe_div2 (u:int option) (v:int option) =
-  match u with
-  | None -> None
-  | Some x ->
-      (match v with
-      | Some 0 -> None
-      | Some y -> Some (x / y));;
-
-(*
-val safe_div2 : int option -> int option -> int option = <fun>
-# safe_div2 (Some 12) (Some 2);;
-- : int option = Some 6
-# safe_div2 (Some 12) (Some 0);;
-- : int option = None
-# safe_div2 (safe_div2 (Some 12) (Some 0)) (Some 3);;
-- : int option = None
-*)
-</pre>
-
-Calling the function now involves some extra verbosity, but it gives us what we need: now we can try to divide by anything we
-want, without fear that we're going to trigger system errors.
-
-I prefer to line up the `match` alternatives by using OCaml's
-built-in tuple type:
-
-<pre>
-let safe_div2 (u:int option) (v:int option) =
-  match (u, v) with
-  | (None, _) -> None
-  | (_, None) -> None
-  | (_, Some 0) -> None
-  | (Some x, Some y) -> Some (x / y);;
-</pre>
-
-So far so good. But what if we want to combine division with
-other arithmetic operations? We need to make those other operations
-aware of the possibility that one of their arguments has already triggered a
-presupposition failure:
-
-<pre>
-let safe_add (u:int option) (v:int option) =
-  match (u, v) with
-    | (None, _) -> None
-    | (_, None) -> None
-    | (Some x, Some y) -> Some (x + y);;
-
-(*
-val safe_add : int option -> int option -> int option = <fun>
-# safe_add (Some 12) (Some 4);;
-- : int option = Some 16
-# safe_add (safe_div (Some 12) (Some 0)) (Some 4);;
-- : int option = None
-*)
-</pre>
-
-This works, but is somewhat disappointing: the `safe_add` operation
-doesn't trigger any presupposition of its own, so it is a shame that
-it needs to be adjusted because someone else might make trouble.
-
-But we can automate the adjustment, using the monadic machinery we introduced above.
-As we said, there needs to be different `>>=`, `map2` and so on operations for each
-monad or box type we're working with.
-Haskell finesses this by "overloading" the single symbol `>>=`; you can just input that
-symbol and it will calculate from the context of the surrounding type constraints what
-monad you must have meant. In OCaml, the monadic operators are not pre-defined, but we will
-give you a library that has definitions for all the standard monads, as in Haskell.
-For now, though, we will define our `>>=` and `map2` operations by hand:
-
-<pre>
-let (>>=) (u : 'a option) (j : 'a -> 'b option) : 'b option =
-  match u with
-    | None -> None
-    | Some x -> j x;;
-
-let map2 (f : 'a -> 'b -> 'c) (u : 'a option) (v : 'b option) : 'c option =
-  u >>= (fun x -> v >>= (fun y -> Some (f x y)));;
-
-let safe_add3 = map2 (+);;    (* that was easy *)
-
-let safe_div3 (u: int option) (v: int option) =
-  u >>= (fun x -> v >>= (fun y -> if 0 = y then None else Some (x / y)));;
-</pre>
-
-Haskell has an even more user-friendly notation for defining `safe_div3`, namely:
-
-    safe_div3 :: Maybe Int -> Maybe Int -> Maybe Int
-    safe_div3 u v = do {x <- u;
-                        y <- v;
-                        if 0 == y then Nothing else Just (x `div` y)}
-
-Let's see our new functions in action:
-
-<pre>
-(*
-# safe_div3 (safe_div3 (Some 12) (Some 2)) (Some 3);;
-- : int option = Some 2
-#  safe_div3 (safe_div3 (Some 12) (Some 0)) (Some 3);;
-- : int option = None
-# safe_add3 (safe_div3 (Some 12) (Some 0)) (Some 3);;
-- : int option = None
-*)
-</pre>
-
-Compare the new definitions of `safe_add3` and `safe_div3` closely: the definition
-for `safe_add3` shows what it looks like to equip an ordinary operation to
-survive in dangerous presupposition-filled world. Note that the new
-definition of `safe_add3` does not need to test whether its arguments are
-`None` values or real numbers---those details are hidden inside of the
-`bind` function.
-
-Note also that our definition of `safe_div3` recovers some of the simplicity of
-the original `safe_div`, without the complexity introduced by `safe_div2`. We now
-add exactly what extra is needed to track the no-division-by-zero presupposition. Here, too, we don't
-need to keep track of what other presuppositions may have already failed
-for whatever reason on our inputs.
-
-(Linguistics note: Dividing by zero is supposed to feel like a kind of
-presupposition failure. If we wanted to adapt this approach to
-building a simple account of presupposition projection, we would have
-to do several things. First, we would have to make use of the
-polymorphism of the `option` type. In the arithmetic example, we only
-made use of `int option`s, but when we're composing natural language
-expression meanings, we'll need to use types like `N option`, `Det option`,
-`VP option`, and so on. But that works automatically, because we can use
-any type for the `'a` in `'a option`. Ultimately, we'd want to have a
-theory of accommodation, and a theory of the situations in which
-material within the sentence can satisfy presuppositions for other
-material that otherwise would trigger a presupposition violation; but,
-not surprisingly, these refinements will require some more
-sophisticated techniques than the super-simple Option/Maybe monad.)
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