index b2f3a13..06dd06e 100644 (file)
@@ -1,8 +1,5 @@
-<!-- λ Λ ∀ ≡ α β γ ρ ω Ω ○ μ η δ ζ ξ ⋆ ★ • ∙ ● 𝟎 𝟏 𝟐 𝟘 𝟙 𝟚 𝟬 𝟭 𝟮 -->
-<!-- Loved this one: http://www.stephendiehl.com/posts/monads.html -->
+<!-- λ Λ ∀ ≡ α β γ ρ ω Ω ○ μ η δ ζ ξ ⋆ ★ • ∙ ● 𝟎 𝟏 𝟐 𝟘 𝟙 𝟚 𝟬 𝟭 𝟮 ¢ ⇧ -->

-==================

The [[tradition in the functional programming
@@ -22,11 +19,10 @@ any case, our emphasis will be on starting with the abstract structure
of monads, followed in coming weeks by instances of monads from the philosophical and
linguistics literature.

-> <small>After you've read this once and are coming back to re-read it to try to digest the details further, the "endofunctors" that slogan is talking about are a combination of our boxes and their associated maps. Their "monoidal" character is captured in the Monad Laws, where a "monoid"---don't confuse with a mon*ad*---is a simpler algebraic notion, meaning a universe with some associative operation that has an identity. For advanced study, here are some further links on the relation between monads as we're working with them and monads as they appear in Category Theory:
-(http://en.wikipedia.org/wiki/Outline_of_category_theory)
+> <small>After you've read this once and are coming back to re-read it to try to digest the details further, the "endofunctors" that slogan is talking about are a combination of our boxes and their associated `map`s. Their "monoidal" character is captured in the Monad Laws, for which see below.</small>
+
+[[!toc levels=2]]
+

## Box types: type expressions with one free type variable ##
@@ -101,7 +97,7 @@ Here are some examples of values of these Kleisli arrow types, where the box typ
\x. prime_factors_of x
\x. [0, 0, 0]</pre>

-As semanticists, you are no doubt familiar with the debates between those who insist that propositions are sets of worlds and those who insist they are context change potentials. We hope to show you, in coming weeks, that propositions are (certain sorts of) Kleisli arrows. But this doesn't really compete with the other proposals; it is a generalization of them. Both of the other proposed structures can be construed as specific Kleisli arrow types.
+As semanticists, you are no doubt familiar with the debates between those who insist that propositions are sets of worlds and those who insist they are context change potentials. We hope to show you, in coming weeks, that propositions are (certain sorts of) Kleisli arrows. But this [doesn't really compete](/images/faye_dunaway.jpg) with the other proposals; it is a generalization of them. Both of the other proposed structures can be construed as specific Kleisli arrow types.

## A family of functions for each box type ##
@@ -118,13 +114,17 @@ Here are the types of our crucial functions, together with our pronunciation, an

-<code>mid (/εmaidεnt@tI/): P -> <u>P</u></code>
+<code>⇧ or mid (/εmaidεnt@tI/): P -> <u>P</u></code>
+
+> This notion is exemplified by `Just` for the box type `Maybe α` and by the singleton function for the box type `List α`. It will be a way of boxing values with your box type that plays a distinguished role in the various Laws and interdefinitions we present below.
+
+> In Haskell, this is called `Control.Monad.return` and `Control.Applicative.pure`. In other theoretical contexts it is sometimes called `unit` or `η`. All of these names are somewhat unfortunate. First, it has little to do with `η`-reduction in the Lambda Calculus. Second, it has little to do with the `() : unit` value we discussed in earlier classes. Third, it has little to do with the `return` keyword in C and other languages; that's more closely related to continuations, which we'll discuss in later weeks. Finally, this doesn't perfectly align with other uses of "pure" in the literature. `⇧`'d values _will_ generally be "pure" in the other senses, but other boxed values can be too.

-> In Haskell, this is called `Control.Monad.return` and `Control.Applicative.pure`. In other theoretical contexts it is sometimes called `unit` or `η`. In the class presentation Jim called it `𝟭`; but now we've decided that `mid` is better. (Think of it as "m" plus "identity", not as the start of "midway".) This notion is exemplified by `Just` for the box type `Maybe α` and by the singleton function for the box type `List α`.
+> For all these reasons, we're thinking it will be clearer in our discussion to use a different name. In the class presentation Jim called it `𝟭`; and in an earlier draft of this page we (only) called it `mid` ("m" plus "identity"); but now we're trying out `⇧` as a symbolic alternative. But in the end, we might switch to just using `η`.

-<code>m\$ or mapply (/εm@plai/): <u>P -> Q</u> -> <u>P</u> -> <u>Q</u></code>
+<code>¢ or mapply (/εm@plai/): <u>P -> Q</u> -> <u>P</u> -> <u>Q</u></code>

-> We'll use `m\$` as a left-associative infix operator, reminiscent of (the right-associative) `\$` which is just ordinary function application (also expressed by mere left-associative juxtaposition). In the class presentation Jim called `m\$` `●`. In Haskell, it's called `Control.Monad.ap` or `Control.Applicative.<*>`.
+> We'll use `¢` as a left-associative infix operator, reminiscent of (the right-associative) `\$` which is just ordinary function application (also expressed by mere left-associative juxtaposition). In the class presentation Jim called `¢` `⚫`; and in an earlier draft of this page we called it `m\$`. In Haskell, it's called `Control.Monad.ap` or `Control.Applicative.<*>`.

<code>&lt;=&lt; or mcomp : (Q -> <u>R</u>) -> (P -> <u>Q</u>) -> (P -> <u>R</u>)</code>

@@ -132,27 +132,25 @@ Here are the types of our crucial functions, together with our pronunciation, an

<code>&gt;=&gt; or flip mcomp : (P -> <u>Q</u>) -> (Q -> <u>R</u>) -> (P -> <u>R</u>)</code>

-> In Haskell, this is `Control.Monad.>=>`. In the class handout, we gave the types for `>=>` twice, and once was correct but the other was a typo. The above is the correct typing.
+> In Haskell, this is `Control.Monad.>=>`. We will move freely back and forth between using `<=<` (aka `mcomp`) and using `>=>`, which
+is just `<=<` with its arguments flipped. `<=<` has the virtue that it corresponds more
+closely to the ordinary mathematical symbol `○`. But `>=>` has the virtue
+that its types flow more naturally from left to right.
+
+> In the class handout, we gave the types for `>=>` twice, and once was correct but the other was a typo. The above is the correct typing.

<code>&gt;&gt;= or mbind : (<u>Q</u>) -> (Q -> <u>R</u>) -> (<u>R</u>)</code>

+> Haskell uses the symbol `>>=` but calls it "bind". This is not well chosen from the perspective of formal semantics, since it's only loosely connected with what we mean by "binding." But the name is too deeply entrenched to change. We've at least preprended an "m" to the front of "bind". In some presentations this operation is called `★`.
+
<code>=&lt;&lt; or flip mbind : (Q -> <u>R</u>) -> (<u>Q</u>) -> (<u>R</u>)</code>

<code>join: <span class="box2">P</span> -> <u>P</u></code>

> In Haskell, this is `Control.Monad.join`. In other theoretical contexts it is sometimes called `μ`.

-Haskell uses the symbol `>>=` but calls it "bind". This is not well chosen from the perspective of formal semantics, but it's too deeply entrenched to change. We've at least preprended an "m" to the front of "bind".
-
-Haskell's names "return" and "pure" for `mid` are even less well chosen, and we think it will be clearer in our discussion to use a different name. (Also, in other theoretical contexts this notion goes by other names, anyway, like `unit` or `η` --- having nothing to do with `η`-reduction in the Lambda Calculus.)
-
The menagerie isn't quite as bewildering as you might suppose. Many of these will be interdefinable. For example, here is how `mcomp` and `mbind` are related: <code>k <=< j ≡ \a. (j a >>= k)</code>. We'll state some other interdefinitions below.

-We will move freely back and forth between using `>=>` and using `<=<` (aka `mcomp`), which
-is just `>=>` with its arguments flipped. `<=<` has the virtue that it corresponds more
-closely to the ordinary mathematical symbol `○`. But `>=>` has the virtue
-that its types flow more naturally from left to right.
-
These functions come together in several systems, and have to be defined in a way that coheres with the other functions in the system:

*   ***Mappable*** (in Haskelese, "Functors") At the most general level, box types are *Mappable*
@@ -168,67 +166,74 @@ has to obey the following Map Laws:

*   ***MapNable*** (in Haskelese, "Applicatives") A Mappable box type is *MapNable*
-       if there are in addition `map2`, `mid`, and `mapply`.  (Given either
+       if there are in addition `map2`, ``, and `mapply`.  (Given either
of `map2` and `mapply`, you can define the other, and also `map`.
Moreover, with `map2` in hand, `map3`, `map4`, ... `mapN` are easily definable.) These
have to obey the following MapN Laws:

-    1. <code>mid (id : P->P) : <u>P</u> -> <u>P</u></code> is a left identity for `m\$`, that is: `(mid id) m\$ xs = xs`
-    2. `mid (f a) = (mid f) m\$ (mid a)`
-    3. The `map2`ing of composition onto boxes `fs` and `gs` of functions, when `m\$`'d to a box `xs` of arguments == the `m\$`ing of `fs` to the `m\$`ing of `gs` to xs: `(mid (○) m\$ fs m\$ gs) m\$ xs = fs m\$ (gs m\$ xs)`.
-    4. When the arguments (the right-hand operand of `m\$`) are an `mid`'d value, the order of `m\$`ing doesn't matter: `fs m\$ (mid x) = mid (\$x) m\$ fs`. (Though note that it's `mid (\$x)`, or `mid (\f. f x)` that gets `m\$`d onto `fs`, not the original `mid x`.) Here's an example where the order *does* matter: `[succ,pred] m\$ [1,2] == [2,3,0,1]`, but `[(\$1),(\$2)] m\$ [succ,pred] == [2,0,3,1]`. This Law states a class of cases where the order is guaranteed not to matter.
-    5. A consequence of the laws already stated is that when the _left_-hand operand of `m\$` is a `mid`'d value, the order of `m\$`ing doesn't matter either: `mid f m\$ xs == map (flip (\$)) xs m\$ mid f`.
+    1. <code>⇧(id : P->P) : <u>P</u> -> <u>P</u></code> is a left identity for `¢`, that is: `(⇧id) ¢ xs = xs`
+    2. `⇧(f a) = (⇧f) ¢ (⇧a)`
+    3. The `map2`ing of composition onto boxes `fs` and `gs` of functions, when `¢`'d to a box `xs` of arguments == the `¢`ing of `fs` to the `¢`ing of `gs` to xs: `(⇧(○) ¢ fs ¢ gs) ¢ xs = fs ¢ (gs ¢ xs)`.
+    4. When the arguments (the right-hand operand of `¢`) are an `⇧`'d value, the order of `¢`ing doesn't matter: `fs ¢ (⇧x) = ⇧(\$x) ¢ fs`. (Though note that it's `⇧(\$x)`, or `⇧(\f. f x)` that gets `¢`d onto `fs`, not the original `⇧x`.) Here's an example where the order *does* matter: `[succ,pred] ¢ [1,2] == [2,3,0,1]`, but `[(\$1),(\$2)] ¢ [succ,pred] == [2,0,3,1]`. This Law states a class of cases where the order is guaranteed not to matter.
+    5. A consequence of the laws already stated is that when the _left_-hand operand of `¢` is a `⇧`'d value, the order of `¢`ing doesn't matter either: `⇧f ¢ xs == map (flip (\$)) xs ¢ ⇧f`.

<!-- Probably there's a shorter proof, but:
-   mid T m\$ xs m\$ mid f
-== mid T m\$ ((mid id) m\$ xs) m\$ mid f, by 1
-== mid (○) m\$ mid T m\$ mid id m\$ xs m\$ mid f, by 3
-== mid (\$id) m\$ (mid (○) m\$ mid T) m\$ xs m\$ mid f, by 4
-== mid (○) m\$ mid (\$id) m\$ mid (○) m\$ mid T m\$ xs m\$ mid f, by 3
-== mid ((○) (\$id)) m\$ mid (○) m\$ mid T m\$ xs m\$ mid f, by 2
-== mid ((○) (\$id) (○)) m\$ mid T m\$ xs m\$ mid f, by 2
-== mid id m\$ mid T m\$ xs m\$ mid f, by definitions of ○ and \$
-== mid T m\$ xs m\$ mid f, by 1
-== mid (\$f) m\$ (mid T m\$ xs), by 4
-== mid (○) m\$ mid (\$f) m\$ mid T m\$ xs, by 3
-== mid ((○) (\$f)) m\$ mid T m\$ xs, by 2
-== mid ((○) (\$f) T) m\$ xs, by 2
-== mid f m\$ xs, by definitions of ○ and \$ and T == flip (\$)
+   ⇧T ¢ xs ¢ ⇧f
+== ⇧T ¢ ((⇧id) ¢ xs) ¢ ⇧f, by 1
+== ⇧(○) ¢ ⇧T ¢ ⇧id ¢ xs ¢ ⇧f, by 3
+== ⇧(\$id) ¢ (⇧(○) ¢ ⇧T) ¢ xs ¢ ⇧f, by 4
+== ⇧(○) ¢ ⇧(\$id) ¢ ⇧(○) ¢ ⇧T ¢ xs ¢ ⇧f, by 3
+== ⇧((○) (\$id)) ¢ ⇧(○) ¢ ⇧T ¢ xs ¢ ⇧f, by 2
+== ⇧((○) (\$id) (○)) ¢ ⇧T ¢ xs ¢ ⇧f, by 2
+== ⇧id ¢ ⇧T ¢ xs ¢ ⇧f, by definitions of ○ and \$
+== ⇧T ¢ xs ¢ ⇧f, by 1
+== ⇧(\$f) ¢ (⇧T ¢ xs), by 4
+== ⇧(○) ¢ ⇧(\$f) ¢ ⇧T ¢ xs, by 3
+== ⇧((○) (\$f)) ¢ ⇧T ¢ xs, by 2
+== ⇧((○) (\$f) T) ¢ xs, by 2
+== ⇧f ¢ xs, by definitions of ○ and \$ and T == flip (\$)
-->

*   ***Monad*** (or "Composables") A MapNable box type is a *Monad* if there
-       is in addition an associative `mcomp` having `mid` as its left and
+       is in addition an associative `mcomp` having `` as its left and
right identity. That is, the following Monad Laws must hold:

mcomp (mcomp j k) l (that is, (j <=< k) <=< l) == mcomp j (mcomp k l)
-        mcomp mid k (that is, mid <=< k) == k
-        mcomp k mid (that is, k <=< mid) == k
+        mcomp mid k (that is,  <=< k) == k
+        mcomp k mid (that is, k <=< ) == k

You could just as well express the Monad laws using `>=>`:

l >=> (k >=> j) == (l >=> k) >=> j
-        k >=> mid == k
-        mid >=> k == k
+        k >=>  == k
+         >=> k == k

-    If you have any of `mcomp`, `mpmoc`, `mbind`, or `join`, you can use them to define the others. Also, with these functions you can define `m\$` and `map2` from *MapNables*. So with Monads, all you really need to get the whole system of functions are a definition of `mid`, on the one hand, and one of `mcomp`, `mbind`, or `join`, on the other.
+    If you studied algebra, you'll remember that a mon*oid* is a universe with some associative operation that has an identity. For example, the natural numbers form a monoid with multiplication as the operation and `1` as the identity, or with addition as the operation and `0` as the identity. Strings form a monoid with concatenation as the operation and the empty string as the identity. (This example shows that the operation need not be commutative.) Monads are a kind of generalization of this notion, and that's why they're named as they are. The key difference is that for monads, the values being operated on need not be of the same type. They *can* be, if they're all Kleisli arrows of a single type <code>P -> <u>P</u></code>. But they needn't be. Their types only need to "cohere" in the sense that the output type of the one arrow is a boxing of the input type of the next.

-    In practice, you will often work with `>>=`. In the Haskell manuals, they express the Monad Laws using `>>=` instead of the composition operators. This looks similar, but doesn't have the same symmetry:
+    In the Haskell manuals, they express the Monad Laws using `>>=` instead of the composition operators `>=>` or `<=<`. This looks similar, but doesn't have the same symmetry:

u >>= (\a -> k a >>= j) == (u >>= k) >>= j
-        u >>= mid == u
-        mid a >>= k == k a
+        u >>= ⇧ == u
+        ⇧a >>= k == k a
+
+    (Also, Haskell calls `⇧` `return` or `pure`, but we've stuck to our terminology in this context.) Some authors try to make the first of those Laws look more symmetrical by writing it as:

-     Also, Haskell calls `mid` `return` or `pure`, but we've stuck to our terminology in this context.
+        (A >>= \a -> B) >>= \b -> C == A >>= (\a -> B >>= \b -> C)

-    > <small>In Category Theory discussion, the Monad Laws are instead expressed in terms of `join` (which they call `μ`) and `mid` (which they call `η`). These are assumed to be "natural transformations" for their box type, which means that they satisfy these equations with that box type's `map`:
-    > <pre>map f ○ mid == mid ○ f<br>map f ○ join == join ○ map (map f)</pre>
+    If you have any of `mcomp`, `mpmoc`, `mbind`, or `join`, you can use them to define the others. Also, with these functions you can define `¢` and `map2` from *MapNables*. So with Monads, all you really need to get the whole system of functions are a definition of `⇧`, on the one hand, and one of `mcomp`, `mbind`, or `join`, on the other.
+
+
+    > <small>In Category Theory discussion, the Monad Laws are instead expressed in terms of `join` (which they call `μ`) and `⇧` (which they call `η`). These are assumed to be "natural transformations" for their box type, which means that they satisfy these equations with that box type's `map`:
+    > <pre>map f ○ ⇧ == ⇧ ○ f<br>map f ○ join == join ○ map (map f)</pre>
> The Monad Laws then take the form:
-    > <pre>join ○ (map join) == join ○ join<br>join ○ mid == id == join ○ map mid</pre>
-    > The first of these says that if you have a triply-boxed type, and you first merge the inner two boxes (with `map join`), and then merge the resulting box with the outermost box, that's the same as if you had first merged the outer two boxes, and then merged the resulting box with the innermost box. The second law says that if you take a box type and wrap a second box around it (with `mid`) and then merge them, that's the same as if you had done nothing, or if you had instead wrapped a second box around each element of the original (with `map mid`, leaving the original box on the outside), and then merged them.<p>
+    > <pre>join ○ (map join) == join ○ join<br>join ○ ⇧ == id == join ○ map ⇧</pre>
+    > The first of these says that if you have a triply-boxed type, and you first merge the inner two boxes (with `map join`), and then merge the resulting box with the outermost box, that's the same as if you had first merged the outer two boxes, and then merged the resulting box with the innermost box. The second law says that if you take a box type and wrap a second box around it (with `⇧`) and then merge them, that's the same as if you had done nothing, or if you had instead wrapped a second box around each element of the original (with `map ⇧`, leaving the original box on the outside), and then merged them.<p>
> The Category Theorist would state these Laws like this, where `M` is the endofunctor that takes us from type `α` to type <code><u>α</u></code>:
-    > <pre>μ ○ M(μ) == μ ○ μ<br>μ ○ η == id == μ ○ M(η)</pre></small>
+    > <pre>μ ○ M(μ) == μ ○ μ<br>μ ○ η == id == μ ○ M(η)</pre>
> A word of advice: if you're doing any work in this conceptual neighborhood and need a Greek letter, don't use μ. In addition to the preceding usage, there's also a use in recursion theory (for the minimization operator), in type theory (as a fixed point operator for types), and in the λμ-calculus, which is a formal system that deals with _continuations_, which we will focus on later in the course. So μ already exhibits more ambiguity than it can handle.

+There isn't any single `⇧` function, or single `mbind` function, and so on. For each new box type, this has to be worked out in a useful way. And as we hinted, in many cases the choice of box *type* still leaves some latitude about how they should be defined. We commonly talk about "the List Monad" to mean a combination of the choice of `α list` for the box type and particular definitions for the various functions listed above. There's also "the ZipList MapNable/Applicative" which combines that same box type with other choices for (some of) the functions. Many of these packages also define special-purpose operations that only make sense for that system, but not for other Monads or Mappables.

As hinted in last week's homework and explained in class, the operations available in a Mappable system exactly preserve the "structure" of the boxed type they're operating on, and moreover are only sensitive to what content is in the corresponding original position. If you say `map f [1,2,3]`, then what ends up in the first position of the result depends only on how `f` and `1` combine.

@@ -239,7 +244,7 @@ With `map`, you can supply an `f` such that `map f [3,2,0,1] == [[3,3,3],[2,2],[
For Monads (Composables), on the other hand, you can perform more radical transformations of that sort. For example, `join (map (\x. dup x x) [3,2,0,1])` would give us `[3,3,3,2,2,1]` (for a suitable definition of `dup`).

<!--
-Some global transformations that we work with in semantics, like Veltman's test functions, can't directly be expressed in terms of the  primitive Monad operations? For example, there's no `j` such that `xs >>= j == mzero` if `xs` anywhere contains the value `1`.
+Some global transformations that we work with in semantics, like Veltman's test functions, can't directly be expressed in terms of the general Monad operations. For example, there's no `j` such that `xs >>= j == mzero` if `xs` anywhere contains the value `1`. That would instead be defined as a special-purpose operation, specific to some restricted class of Monads.
-->

@@ -266,22 +271,22 @@ j >=> k ≡= \a. (j a >>= k)
u >>= k == (id >=> k) u; or ((\(). u) >=> k) ()
u >>= k == join (map k u)
join w == w >>= id
-map2 f xs ys == xs >>= (\x. ys >>= (\y. mid (f x y)))
-map2 f xs ys == (map f xs) m\$ ys, using m\$ as an infix operator
-fs m\$ xs == fs >>= (\f. map f xs)
-m\$ == map2 id
-map f xs == mid f m\$ xs
-map f u == u >>= mid ○ f
+map2 f xs ys == xs >>= (\x. ys >>= (\y. (f x y)))
+map2 f xs ys == (map f xs) ¢ ys, using ¢ as an infix operator
+fs ¢ xs == fs >>= (\f. map f xs)
+¢ == map2 id
+map f xs == ⇧f ¢ xs
+map f u == u >>=  ○ f
</pre>

Here are some other monadic notion that you may sometimes encounter:

-* <code>mzero</code> is a value of type <code><u>α</u></code> that is exemplified by `Nothing` for the box type `Maybe α` and by `[]` for the box type `List α`. It has the behavior that `anything m\$ mzero == mzero == mzero m\$ anything == mzero >>= anything`. In Haskell, this notion is called `Control.Applicative.empty` or `Control.Monad.mzero`.
+* <code>mzero</code> is a value of type <code><u>α</u></code> that is exemplified by `Nothing` for the box type `Maybe α` and by `[]` for the box type `List α`. It has the behavior that `anything ¢ mzero == mzero == mzero ¢ anything == mzero >>= anything`. In Haskell, this notion is called `Control.Applicative.empty` or `Control.Monad.mzero`.

-* Haskell has a notion `>>` definable as `\u v. map (const id) u m\$ v`, or as `\u v. u >>= const v`. This is often useful, and `u >> v` won't in general be identical to just `v`. For example, using the box type `List α`, `[1,2,3] >> [4,5] == [4,5,4,5,4,5]`. But in the special case of `mzero`, it is a consequence of what we said above that `anything >> mzero == mzero`. Haskell also calls `>>` `Control.Applicative.*>`.
+* Haskell has a notion `>>` definable as `\u v. map (const id) u ¢ v`, or as `\u v. u >>= const v`. This is often useful, and `u >> v` won't in general be identical to just `v`. For example, using the box type `List α`, `[1,2,3] >> [4,5] == [4,5,4,5,4,5]`. But in the special case of `mzero`, it is a consequence of what we said above that `anything >> mzero == mzero`. Haskell also calls `>>` `Control.Applicative.*>`.

-* Haskell has a correlative notion `Control.Applicative.<*`, definable as `\u v. map const u m\$ v`. For example, `[1,2,3] <* [4,5] == [1,1,2,2,3,3]`. You might expect Haskell to call `<*` `<<`, but they don't. They used to use `<<` for `flip (>>)` instead, but now they seem not to use `<<` anymore.
+* Haskell has a correlative notion `Control.Applicative.<*`, definable as `\u v. map const u ¢ v`. For example, `[1,2,3] <* [4,5] == [1,1,2,2,3,3]`. <!-- You might expect Haskell to call `<*` `<<`, but they don't. I thought they used to use `<<` for `flip (>>)` instead, but now I can't confirm that this was ever the case. -->

* <code>mapconst</code> is definable as `map ○ const`. For example `mapconst 4 [1,2,3] == [4,4,4]`. Haskell calls `mapconst` `<\$` in `Data.Functor` and `Control.Applicative`. They also use `\$>` for `flip mapconst`, and `Control.Monad.void` for `mapconst ()`.

@@ -295,8 +300,8 @@ then a boxed `α` is ... a `bool`. That is, <code><u>α</u> == α</code>.
In terms of the box analogy, the Identity box type is a completely invisible box. With the following
definitions:

-    mid ≡ \p. p, that is, our familiar combinator I
-    mcomp ≡ \f g x. f (g x), that is, ordinary function composition (○) (aka the B combinator)
+    mid (* or ⇧ *) ≡ \p. p, that is, our familiar combinator I
+    mcomp (* or <=< *) ≡ \f g x. f (g x), that is, ordinary function composition (○) (aka the B combinator)

Identity is a monad.  Here is a demonstration that the laws hold:

@@ -321,6 +326,10 @@ Identity is a monad.  Here is a demonstration that the laws hold:

The Identity monad is favored by mimes.

+
+
+
+
To take a slightly less trivial (and even more useful) example,
consider the box type `α list`, with the following operations:

@@ -346,213 +355,115 @@ For example:

`j 7` produced `[49, 14]`, which after being fed through `k` gave us `[49, 50, 14, 15]`.

-Contrast that to `m\$` (`mapply`), which operates not on two *box-producing functions*, but instead on two *boxed type values*, one containing functions to be applied to the values in the other box, via some predefined scheme. Thus:
+Contrast that to `¢` (`mapply`), which operates not on two *box-producing functions*, but instead on two *boxed type values*, one containing functions to be applied to the values in the other box, via some predefined scheme. Thus:

let js = [(\a->a*a),(\a->a+a)] in
let xs = [7, 5] in
mapply js xs ==> [49, 25, 14, 10]

+These implementations of `<=<` and `¢` for lists use the "crossing" strategy for pairing up multiple lists, as opposed to the "zipping" strategy. Nothing forces that choice; you could also define `¢` using the "zipping" strategy instead. (But then you wouldn't be able to build a corresponding Monad; see below.) Haskell talks of the List Monad in the first case, and the ZipList Applicative in the second case.

-The question came up in class of when box types might fail to be Mappable, or Mappables might fail to be MapNables, or MapNables might fail to be Monads.
-
-For the first failure, we noted that it's easy to define a `map` operation for the box type `R -> α`, for a fixed type `R`. You `map` a function of type `P -> Q` over a value of the boxed type <code><u>P</u></code>, that is a value of type `R -> P`, by just returning a function that takes some `R` as input, first supplies it to your `R -> P` value, and then supplies the result to your `map`ped function of type `P -> Q`. (We will be working with this Mappable extensively; in fact it's not just a Mappable but more specifically a Monad.)
-
-But if on the other hand, your box type is `α -> R`, you'll find that there is no way to define a `map` operation that takes arbitrary functions of type `P -> Q` and values of the boxed type <code><u>P</u></code>, that is `P -> R`, and returns values of the boxed type <code><u>Q</u></code>.
-
-For the second failure, that is cases of Mappables that are not MapNables, we cited box types like `(R, α)`, for arbitrary fixed types `R`. The `map` operation for these is defined by `map f (r,a) = (r, f a)`. For certain choices of `R` these can be MapNables too. The easiest case is when `R` is the type of `()`. But when we look at the MapNable Laws, we'll see that they impose constraints we cannot satisfy for *every* choice of the fixed type `R`. Here's why. We'll need to define `mid a = (r0, a)` for some specific `r0` of type `R`. The choice can't depend on the value of `a`, because `mid` needs to work for `a`s of _any_ type. Then the MapNable Laws will entail:
-
-    1. (r0,id) m\$ (r,x) == (r,x)
-    2. (r0,f x) == (r0,f) m\$ (r0,x)
-    3. (r0,(○)) m\$ (r'',f) m\$ (r',g) m\$ (r,x) == (r'',f) m\$ ((r',g) m\$ (r,x))
-    4. (r'',f) m\$ (r0,x) == (r0,(\$x)) m\$ (r'',f)
-    5. (r0,f) m\$ (r,x) == (r,(\$x)) m\$ (r0,f)
+Sticking with the "crossing" strategy, here's how to motivate our implementation of `<=<`. Recall that we have on the one hand, an operation `filter` for lists, that applies a predicate to each element of the list, and returns a list containing only those elements which satisfied the predicate. But the elements it does retain, it retains unaltered. On the other hand, we have the operation `map` for lists, that is capable of _changing_ the list elements in the result. But it doesn't have the power to throw list elements away; elements in the source map one-to-one to elements in the result. In many cases, we want something in between `filter` and `map`. We want to be able to ignore or discard some list elements, and possibly also to change the list elements we keep. One way of doing this is to have a function `optmap`, defined like this:

-Now we are not going to be able to write a `m\$` function that inspects the second element of its left-hand operand to check if it's the `id` function; the identity of functions is not decidable. So the only way to satisfy Law 1 will be to have the first element of the result (`r`) be taken from the first element of the right-hand operand in _all_ the cases when the first element of the left-hand operand is `r0`. But then that means that the result of the lhs of Law 5 will also have a first element of `r`; so, turning now to the rhs of Law 5, we see that `m\$` must use the first element of its _left_-hand operand (here again `r`) at least in those cases when the first element of its right-hand operand is `r0`. If our `R` type has a natural *monoid* structure, we could just let `r0` be the monoid's identity, and have `m\$` combine other `R`s using the monoid's operation. Alternatively, if the `R` type is one that we can safely apply the predicate `(r0==)` to, then we could define `m\$` something like this:
+    let rec optmap (f : α -> β option) (xs : α list) : β list =
+      match xs with
+      | [] -> []
+      | x' :: xs' ->
+          (match f x' with
+          | None -> optmap f xs'
+          | Some b -> b :: optmap f xs')

-    let (m\$) (r1,f) (r2,x) = ((if r0==r1 then r2 else if r0==r2 then r1 else ...), ...)
+Then we retain only those `α`s for which `f` returns `Some b`; when `f` returns `None`, we just leave out any corresponding element in the result.

-But for some types neither of these will be the case. For function types, as we already mentioned, `==` is not decidable. If the functions have suitable types, they do form a monoid with `○` as the operation and `id` as the identity; but many function types won't be such that arbitrary functions of that type are composable. So when `R` is the type of functions from `int`s to `bool`s, for example, we won't have any way to write a `m\$` that satisfies the constraints stated above.
+That can be helpful, but it only enables us to have _zero or one_ elements in the result corresponding to a given element in the source list. What if we sometimes want more? Well, here is a more general approach:

-For the third failure, that is examples of MapNables that aren't Monads, we'll just state that lists where the `map2` operation is taken to be zipping rather than taking the Cartesian product (what in Haskell are called `ZipList`s), these are claimed to exemplify that failure. But we aren't now in a position to demonstrate that to you.
+    let rec catmap (k : α -> β list) (xs : α list) : β list =
+      match xs with
+      | [] -> []
+      | x' :: xs' -> List.append (k x') (catmap k xs')

+Now we can have as many elements in the result for a given `α` as `k` cares to return. Another way to write `catmap k xs` is as (Haskell) `concat (map k xs)` or (OCaml) `List.flatten (List.map k xs)`. And this is just the definition of `mbind` or `>>=` for the List Monad. The definition of `mcomp` or `<=<`, that we gave above, differs only in that it's the way to compose two functions `j` and `k`, that you'd want to `catmap`, rather than the way to `catmap` one of those functions over a value that's already a list.

-## Safe division ##
+This example is a good intuitive basis for thinking about the notions of `mbind` and `mcomp` more generally. Thus `mbind` for the option/Maybe type takes an option value, applies `k` to its element (if there is one), and returns the resulting option value. `mbind` for a tree with `α`-labeled leaves would apply `k` to each of the leaves, and return a tree containing arbitrarily large subtrees in place of all its former leaves, depending on what `k` returned.

-As we discussed in class, there are clear patterns shared between lists and option types and trees, so perhaps you can see why people want to figure out the general structures. But it probably isn't obvious yet why it would be useful to do so. To a large extent, this will only emerge over the next few classes. But we'll begin to demonstrate the usefulness of these patterns by talking through a simple example, that uses the monadic functions of the Option/Maybe box type.
-
-Integer division presupposes that its second argument
-(the divisor) is not zero, upon pain of presupposition failure.
-Here's what my OCaml interpreter says:
-
-    # 12/0;;
-    Exception: Division_by_zero.
+<pre>
+[3, 2, 0, 1]  >>=<sub>α list</sub>    (\a -> dup a a)  ==>  [3, 3, 3, 2, 2, 1]
+
+      Some a  >>=<sub>α option</sub>  (\a -> Some 0) ==> Some 0
+      None    >>=<sub>α option</sub>  (\a -> Some 0) ==> None
+      Some a  >>=<sub>α option</sub>  (\a -> None  ) ==> None
+
+                                                         .
+                                                        / \
+    .                                                  /   \
+   / \                                  .             .     \
+  .   3       >>=<sub>(α,unit) tree</sub>  (\a ->  / \  )  ==>   / \     .
+ / \                                  a   a         /   \   / \
+1   2                                              .     . 3   3
+                                                  / \   / \
+                                                 1   1 2   2
+</pre>

-Say we want to explicitly allow for the possibility that
-division will return something other than a number.
-To do that, we'll use OCaml's `option` type, which works like this:

-    # type 'a option = None | Some of 'a;;
-    # None;;
-    - : 'a option = None
-    # Some 3;;
-    - : int option = Some 3
+Though as we warned before, only some of the Monads we'll be working with are naturally thought of "containers"; so in other cases the similarity of their `mbind` operations to what we have here will be more abstract.

-So if a division is normal, we return some number, but if the divisor is
-zero, we return `None`. As a mnemonic aid, we'll prepend a `safe_` to the start of our new divide function.

-<pre>
-let safe_div (x:int) (y:int) =
-  match y with
-    | 0 -> None
-    | _ -> Some (x / y);;
-
-(*
-val safe_div : int -> int -> int option = fun
-# safe_div 12 2;;
-- : int option = Some 6
-# safe_div 12 0;;
-- : int option = None
-# safe_div (safe_div 12 2) 3;;
-            ~~~~~~~~~~~~~
-Error: This expression has type int option
-       but an expression was expected of type int
-*)
-</pre>
+The question came up in class of **when box types might fail to be Mappable, or Mappables might fail to be MapNables, or MapNables might fail to be Monads**.

-This starts off well: dividing `12` by `2`, no problem; dividing `12` by `0`,
-just the behavior we were hoping for. But we want to be able to use
-the output of the safe-division function as input for further division
-operations. So we have to jack up the types of the inputs:
+For the first failure, we noted that it's easy to define a `map` operation for the box type `R -> α`, for a fixed type `R`. You `map` a function of type `P -> Q` over a value of the boxed type <code><u>P</u></code>, that is a value of type `R -> P`, by just returning a function that takes some `R` as input, first supplies it to your `R -> P` value, and then supplies the result to your `map`ped function of type `P -> Q`. (We will be working with this Mappable extensively; in fact it's not just a Mappable but more specifically a Monad.)

-<pre>
-let safe_div2 (u:int option) (v:int option) =
-  match u with
-  | None -> None
-  | Some x ->
-      (match v with
-      | Some 0 -> None
-      | Some y -> Some (x / y));;
-
-(*
-val safe_div2 : int option -> int option -> int option = <fun>
-# safe_div2 (Some 12) (Some 2);;
-- : int option = Some 6
-# safe_div2 (Some 12) (Some 0);;
-- : int option = None
-# safe_div2 (safe_div2 (Some 12) (Some 0)) (Some 3);;
-- : int option = None
-*)
-</pre>
+But if on the other hand, your box type is `α -> R`, you'll find that there is no way to define a `map` operation that takes arbitrary functions of type `P -> Q` and values of the boxed type <code><u>P</u></code>, that is `P -> R`, and returns values of the boxed type <code><u>Q</u></code>.

-Calling the function now involves some extra verbosity, but it gives us what we need: now we can try to divide by anything we
-want, without fear that we're going to trigger system errors.
+For the second failure, that is cases of Mappables that are not MapNables, we cited box types like `(R, α)`, for arbitrary fixed types `R`. The `map` operation for these is defined by `map f (r,a) = (r, f a)`. For certain choices of `R` these can be MapNables too. The easiest case is when `R` is the type of `()`. But when we look at the MapNable Laws, we'll see that they impose constraints we cannot satisfy for *every* choice of the fixed type `R`. Here's why. We'll need to define `⇧a = (r0, a)` for some specific `r0` of type `R`. The choice can't depend on the value of `a`, because `⇧` needs to work for `a`s of _any_ type. Then the MapNable Laws will entail:

-I prefer to line up the `match` alternatives by using OCaml's
-built-in tuple type:
+    1. (r0,id) ¢ (r,x) == (r,x)
+    2. (r0,f x) == (r0,f) ¢ (r0,x)
+    3. (r0,(○)) ¢ (r'',f) ¢ (r',g) ¢ (r,x) == (r'',f) ¢ ((r',g) ¢ (r,x))
+    4. (r'',f) ¢ (r0,x) == (r0,(\$x)) ¢ (r'',f)
+    5. (r0,f) ¢ (r,x) == (r,(\$x)) ¢ (r0,f)

-<pre>
-let safe_div2 (u:int option) (v:int option) =
-  match (u, v) with
-  | (None, _) -> None
-  | (_, None) -> None
-  | (_, Some 0) -> None
-  | (Some x, Some y) -> Some (x / y);;
-</pre>
+Now we are not going to be able to write a `¢` function that inspects the second element of its left-hand operand to check if it's the `id` function; the identity of functions is not decidable. So the only way to satisfy Law 1 will be to have the first element of the result (`r`) be taken from the first element of the right-hand operand in _all_ the cases when the first element of the left-hand operand is `r0`. But then that means that the result of the lhs of Law 5 will also have a first element of `r`; so, turning now to the rhs of Law 5, we see that `¢` must use the first element of its _left_-hand operand (here again `r`) at least in those cases when the first element of its right-hand operand is `r0`. If our `R` type has a natural *monoid* structure, we could just let `r0` be the monoid's identity, and have `¢` combine other `R`s using the monoid's operation. Alternatively, if the `R` type is one that we can safely apply the predicate `(r0==)` to, then we could define `¢` something like this:

-So far so good. But what if we want to combine division with
-other arithmetic operations? We need to make those other operations
-aware of the possibility that one of their arguments has already triggered a
-presupposition failure:
+    let (¢) (r1,f) (r2,x) = ((if r0==r1 then r2 else if r0==r2 then r1 else ...), ...)

-<pre>
-let safe_add (u:int option) (v:int option) =
-  match (u, v) with
-    | (None, _) -> None
-    | (_, None) -> None
-    | (Some x, Some y) -> Some (x + y);;
-
-(*
-val safe_add : int option -> int option -> int option = <fun>
-# safe_add (Some 12) (Some 4);;
-- : int option = Some 16
-# safe_add (safe_div (Some 12) (Some 0)) (Some 4);;
-- : int option = None
-*)
-</pre>
+But for some types neither of these will be the case. For function types, as we already mentioned, `==` is not decidable. If the functions have suitable types, they do form a monoid with `○` as the operation and `id` as the identity; but many function types won't be such that arbitrary functions of that type are composable. So when `R` is the type of functions from `int`s to `bool`s, for example, we won't have any way to write a `¢` that satisfies the constraints stated above.

-This works, but is somewhat disappointing: the `safe_add` operation
-doesn't trigger any presupposition of its own, so it is a shame that
-it needs to be adjusted because someone else might make trouble.
+For the third failure, that is examples of MapNables that aren't Monads, we'll just state that lists where the `map2` operation is taken to be zipping rather than taking the Cartesian product (what in Haskell are called `ZipList`s), these are claimed to exemplify that failure. But we aren't now in a position to demonstrate that to you.

-But we can automate the adjustment, using the monadic machinery we introduced above.
-As we said, there needs to be different `>>=`, `map2` and so on operations for each
-monad or box type we're working with.
-symbol and it will calculate from the context of the surrounding type constraints what
-monad you must have meant. In OCaml, the monadic operators are not pre-defined, but we will
-give you a library that has definitions for all the standard monads, as in Haskell.
-For now, though, we will define our `>>=` and `map2` operations by hand:

-<pre>
-let (>>=) (u : 'a option) (j : 'a -> 'b option) : 'b option =
-  match u with
-    | None -> None
-    | Some x -> j x;;

-let map2 (f : 'a -> 'b -> 'c) (u : 'a option) (v : 'b option) : 'c option =
-  u >>= (fun x -> v >>= (fun y -> Some (f x y)));;
+As we mentioned above, the notions of Monads have their origin in Category Theory, where they are mostly specified in terms of (what we call) `⇧` and `join`. For advanced study, here are some further links on the relation between monads as we're working with them and monads as they appear in Category Theory:
+(http://en.wikipedia.org/wiki/Outline_of_category_theory)

-let safe_add3 = map2 (+);;    (* that was easy *)

-let safe_div3 (u: int option) (v: int option) =
-  u >>= (fun x -> v >>= (fun y -> if 0 = y then None else Some (x / y)));;
-</pre>
+Here are some papers that introduced Monads into functional programming:

-Haskell has an even more user-friendly notation for defining `safe_div3`, namely:
+*      Eugenio Moggi, Notions of Computation and Monads: Information and Computation 93 (1) 1991. This paper is available online, but would be very difficult reading for members of this seminar, so we won't link to it. <!-- http://www.disi.unige.it/person/MoggiE/ftp/ic91.pdf --> However, the next two papers should be accessible.

-    safe_div3 :: Maybe Int -> Maybe Int -> Maybe Int
-    safe_div3 u v = do {x <- u;
-                        y <- v;
-                        if 0 == y then Nothing else Just (x `div` y)}
+invited talk, *19'th Symposium on Principles of Programming Languages*, ACM Press, Albuquerque, January 1992.
+<!--   This paper explores the use monads to structure functional programs. No prior knowledge of monads or category theory is required.
+       Monads increase the ease with which programs may be modified. They can mimic the effect of impure features such as exceptions, state, and continuations; and also provide effects not easily achieved with such features. The types of a program reflect which effects occur.
+       The first section is an extended example of the use of monads. A simple interpreter is modified to support various extra features: error messages, state, output, and non-deterministic choice. The second section describes the relation between monads and continuation-passing style. The third section sketches how monads are used in a compiler for Haskell that is written in Haskell. -->

-Let's see our new functions in action:
+in M. Broy, editor, *Marktoberdorf Summer School on Program Design
+Calculi*, Springer Verlag, NATO ASI Series F: Computer and systems
+sciences, Volume 118, August 1992. Also in J. Jeuring and E. Meijer,
+editors, *Advanced Functional Programming*, Springer Verlag,
+LNCS 925, 1995. Some errata fixed August 2001.
+<!--    The use of monads to structure functional programs is described. Monads provide a convenient framework for simulating effects found in other languages, such as global state, exception handling, output, or non-determinism. Three case studies are looked at in detail: how monads ease the modification of a simple evaluator; how monads act as the basis of a datatype of arrays subject to in-place update; and how monads can be used to build parsers. -->

-<pre>
-(*
-# safe_div3 (safe_div3 (Some 12) (Some 2)) (Some 3);;
-- : int option = Some 2
-#  safe_div3 (safe_div3 (Some 12) (Some 0)) (Some 3);;
-- : int option = None
-# safe_add3 (safe_div3 (Some 12) (Some 0)) (Some 3);;
-- : int option = None
-*)
-</pre>

-Compare the new definitions of `safe_add3` and `safe_div3` closely: the definition
-for `safe_add3` shows what it looks like to equip an ordinary operation to
-survive in dangerous presupposition-filled world. Note that the new
-definition of `safe_add3` does not need to test whether its arguments are
-`None` values or real numbers---those details are hidden inside of the
-`bind` function.
-
-Note also that our definition of `safe_div3` recovers some of the simplicity of
-the original `safe_div`, without the complexity introduced by `safe_div2`. We now
-add exactly what extra is needed to track the no-division-by-zero presupposition. Here, too, we don't
-need to keep track of what other presuppositions may have already failed
-for whatever reason on our inputs.
-
-(Linguistics note: Dividing by zero is supposed to feel like a kind of
-presupposition failure. If we wanted to adapt this approach to
-building a simple account of presupposition projection, we would have
-to do several things. First, we would have to make use of the
-polymorphism of the `option` type. In the arithmetic example, we only
-made use of `int option`s, but when we're composing natural language
-expression meanings, we'll need to use types like `N option`, `Det option`,
-`VP option`, and so on. But that works automatically, because we can use
-any type for the `'a` in `'a option`. Ultimately, we'd want to have a
-theory of accommodation, and a theory of the situations in which
-material within the sentence can satisfy presuppositions for other
-material that otherwise would trigger a presupposition violation; but,
-not surprisingly, these refinements will require some more
-sophisticated techniques than the super-simple Option/Maybe monad.)