index a16d7c5..41a5273 100644 (file)
@@ -281,7 +281,7 @@ saying that we are looking for a fixed point for `h`:

h LENGTH <~~> LENGTH

h LENGTH <~~> LENGTH

-Replacing `h` with its definition, we have
+Replacing `h` with its definition, we have:

(\xs. (empty? xs) 0 (succ (LENGTH (tail xs)))) <~~> LENGTH

(\xs. (empty? xs) 0 (succ (LENGTH (tail xs)))) <~~> LENGTH

@@ -289,10 +289,21 @@ If we can find a value for `LENGTH` that satisfies this constraint, we'll
have a function we can use to compute the length of an arbitrary list.
All we have to do is find a fixed point for `h`.

have a function we can use to compute the length of an arbitrary list.
All we have to do is find a fixed point for `h`.

-The strategy we will present will turn out to be a general way of
+Let's reinforce this. The left-hand side has the form:
+
+    (\body. Φ[...body...]) LENGTH
+
+which beta-reduces to:
+
+    Φ[...LENGTH...]
+
+where that whole formula is convertible with the term `LENGTH` itself. In other words, the term `Φ[...LENGTH...]` contains (a term that convertible with) itself --- despite being only finitely long. (If it had to contain a term *syntactically identical to* itself, this could not be achieved.)
+
+The key to achieving all this is finding a fixed point for `h`. The strategy we will present will turn out to be a general way of
finding a fixed point for any lambda term.

finding a fixed point for any lambda term.

+<a id=deriving-y></a>
## Deriving Y, a fixed point combinator ##

How shall we begin?  Well, we need to find an argument to supply to
## Deriving Y, a fixed point combinator ##

How shall we begin?  Well, we need to find an argument to supply to
@@ -303,7 +314,7 @@ work, but examining the way in which it fails will lead to a solution.

h h <~~> \xs. (empty? xs) 0 (succ (h (tail xs)))

h h <~~> \xs. (empty? xs) 0 (succ (h (tail xs)))

-The problem is that in the subexpression `h (tail list)`, we've
+The problem is that in the subexpression `h (tail xs)`, we've
applied `h` to a list, but `h` expects as its first argument the
length function.

applied `h` to a list, but `h` expects as its first argument the
length function.

@@ -318,7 +329,7 @@ to discuss generalizations of this strategy.)

Shifting to `H` is the key creative step.  Instead of applying `u` to a list, as happened
when we self-applied `h`, `H` applies its argument `u` first to *itself*: `u u`.

Shifting to `H` is the key creative step.  Instead of applying `u` to a list, as happened
when we self-applied `h`, `H` applies its argument `u` first to *itself*: `u u`.
-After `u` gets an argument, the *result* is ready to apply to a list, so we've solved the problem noted above with `h (tail list)`.
+After `u` gets an argument, the *result* is ready to apply to a list, so we've solved the problem noted above with `h (tail xs)`.
We're not done yet, of course; we don't yet know what argument `u` to give
to `H` that will behave in the desired way.

We're not done yet, of course; we don't yet know what argument `u` to give
to `H` that will behave in the desired way.

@@ -562,7 +573,7 @@ returns itself (a copy of `sink`); if the argument is boolean false
sink true true false <~~> I
sink true true true false <~~> I

sink true true false <~~> I
sink true true true false <~~> I

-Evidently, then, `sink true <~~> sink`. So we want `sink` to be the fixed point
+To get this behavior, we want `sink` to be the fixed point
of `\sink. \b. b sink I`. That is, `sink ≡ Y (\sb.bsI)`:

1. sink false
of `\sink. \b. b sink I`. That is, `sink ≡ Y (\sb.bsI)`:

1. sink false