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raw | inline | side by side
manip trees: more explanation
[lambda.git] / manipulating_trees_with_monads.mdwn
diff --git a/manipulating_trees_with_monads.mdwn b/manipulating_trees_with_monads.mdwn
index de8fc5f..61d2964 100644 (file)
--- a/manipulating_trees_with_monads.mdwn
+++ b/manipulating_trees_with_monads.mdwn
@@ -44,18 +44,18 @@ We'll be using trees where the nodes are integers, e.g.,
 
 Our first task will be to replace each leaf with its double:
 
 
 Our first task will be to replace each leaf with its double:
 
-       let rec treemap (newleaf : 'a -> 'b) (t : 'a tree) : 'b tree =
+       let rec tree_map (leaf_modifier : 'a -> 'b) (t : 'a tree) : 'b tree =
          match t with
          match t with
-           | Leaf x -> Leaf (newleaf x)
-           | Node (l, r) -> Node (treemap newleaf l,
-                                  treemap newleaf r);;
+           | Leaf i -> Leaf (leaf_modifier i)
+           | Node (l, r) -> Node (tree_map leaf_modifier l,
+                                  tree_map leaf_modifier r);;
 
 
-`treemap` takes a function that transforms old leaves into new leaves,
+`tree_map` takes a function that transforms old leaves into new leaves,
 and maps that function over all the leaves in the tree, leaving the
 structure of the tree unchanged.  For instance:
 
        let double i = i + i;;
 and maps that function over all the leaves in the tree, leaving the
 structure of the tree unchanged.  For instance:
 
        let double i = i + i;;
-       treemap double t1;;
+       tree_map double t1;;
        - : int tree =
        Node (Node (Leaf 4, Leaf 6), Node (Leaf 10, Node (Leaf 14, Leaf 22)))
        
        - : int tree =
        Node (Node (Leaf 4, Leaf 6), Node (Leaf 10, Node (Leaf 14, Leaf 22)))
        
@@ -70,28 +70,29 @@ structure of the tree unchanged.  For instance:
                |    |
                14   22
 
                |    |
                14   22
 
-We could have built the doubling operation right into the `treemap`
-code.  However, because what to do to each leaf is a parameter, we can
+We could have built the doubling operation right into the `tree_map`
+code.  However, because we've left what to do to each leaf as a parameter, we can
 decide to do something else to the leaves without needing to rewrite
 decide to do something else to the leaves without needing to rewrite
-`treemap`.  For instance, we can easily square each leaf instead by
+`tree_map`.  For instance, we can easily square each leaf instead by
 supplying the appropriate `int -> int` operation in place of `double`:
 
 supplying the appropriate `int -> int` operation in place of `double`:
 
-       let square x = x * x;;
-       treemap square t1;;
+       let square i = i * i;;
+       tree_map square t1;;
        - : int tree =ppp
        Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))
 
        - : int tree =ppp
        Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))
 
-Note that what `treemap` does is take some global, contextual
+Note that what `tree_map` does is take some unchanging contextual
 information---what to do to each leaf---and supplies that information
 information---what to do to each leaf---and supplies that information
-to each subpart of the computation.  In other words, `treemap` has the
+to each subpart of the computation.  In other words, `tree_map` has the
 behavior of a reader monad.  Let's make that explicit.
 
 behavior of a reader monad.  Let's make that explicit.
 
-In general, we're on a journey of making our treemap function more and
+In general, we're on a journey of making our `tree_map` function more and
 more flexible.  So the next step---combining the tree transformer with
 more flexible.  So the next step---combining the tree transformer with
-a reader monad---is to have the treemap function return a (monadized)
+a reader monad---is to have the `tree_map` function return a (monadized)
 tree that is ready to accept any `int -> int` function and produce the
 updated tree.
 
 tree that is ready to accept any `int -> int` function and produce the
 updated tree.
 
+\tree (. (. (f 2) (f 3)) (. (f 5) (. (f 7) (f 11))))
 
        \f      .
           _____|____
 
        \f      .
           _____|____
@@ -107,82 +108,111 @@ updated tree.
 That is, we want to transform the ordinary tree `t1` (of type `int
 tree`) into a reader object of type `(int -> int) -> int tree`: something
 that, when you apply it to an `int -> int` function `f` returns an `int
 That is, we want to transform the ordinary tree `t1` (of type `int
 tree`) into a reader object of type `(int -> int) -> int tree`: something
 that, when you apply it to an `int -> int` function `f` returns an `int
-tree` in which each leaf `x` has been replaced with `f x`.
+tree` in which each leaf `i` has been replaced with `f i`.
 
 With previous readers, we always knew which kind of environment to
 expect: either an assignment function (the original calculator
 simulation), a world (the intensionality monad), an integer (the
 
 With previous readers, we always knew which kind of environment to
 expect: either an assignment function (the original calculator
 simulation), a world (the intensionality monad), an integer (the
-Jacobson-inspired link monad), etc.  In this situation, it will be
-enough for now to expect that our reader will expect a function of
-type `int -> int`.
+Jacobson-inspired link monad), etc.  In the present case, we expect that our "environment" will be some function of type `int -> int`. "Looking up" some `int` in the environment will return us the `int` that comes out the other side of that function.
 
        type 'a reader = (int -> int) -> 'a;;  (* mnemonic: e for environment *)
        let reader_unit (a : 'a) : 'a reader = fun _ -> a;;
        let reader_bind (u: 'a reader) (f : 'a -> 'b reader) : 'b reader = fun e -> f (u e) e;;
 
 
        type 'a reader = (int -> int) -> 'a;;  (* mnemonic: e for environment *)
        let reader_unit (a : 'a) : 'a reader = fun _ -> a;;
        let reader_bind (u: 'a reader) (f : 'a -> 'b reader) : 'b reader = fun e -> f (u e) e;;
 
-It's easy to figure out how to turn an `int` into an `int reader`:
+It would be a simple matter to turn an *integer* into an `int reader`:
 
 
-       let int2int_reader : 'a -> 'b reader = fun (a : 'a) -> fun (op : 'a -> 'b) -> op a;;
-       int2int_reader 2 (fun i -> i + i);;
+       let int_readerize : int -> int reader = fun (a : int) -> fun (modifier : int -> int) -> modifier a;;
+       int_readerize 2 (fun i -> i + i);;
        - : int = 4
 
        - : int = 4
 
-But what do we do when the integers are scattered over the leaves of a
-tree?  A binary tree is not the kind of thing that we can apply a
+But how do we do the analagous transformation when our `int`s are scattered over the leaves of a tree? How do we turn an `int tree` into a reader?
+A tree is not the kind of thing that we can apply a
 function of type `int -> int` to.
 
 function of type `int -> int` to.
 
-       let rec treemonadizer (f : 'a -> 'b reader) (t : 'a tree) : 'b tree reader =
+But we can do this:
+
+       let rec tree_monadize (f : 'a -> 'b reader) (t : 'a tree) : 'b tree reader =
            match t with
            match t with
-           | Leaf x -> reader_bind (f x) (fun x' -> reader_unit (Leaf x'))
-           | Node (l, r) -> reader_bind (treemonadizer f l) (fun x ->
-                              reader_bind (treemonadizer f r) (fun y ->
+           | Leaf i -> reader_bind (f i) (fun i' -> reader_unit (Leaf i'))
+           | Node (l, r) -> reader_bind (tree_monadize f l) (fun x ->
+                              reader_bind (tree_monadize f r) (fun y ->
                                 reader_unit (Node (x, y))));;
 
 This function says: give me a function `f` that knows how to turn
                                 reader_unit (Node (x, y))));;
 
 This function says: give me a function `f` that knows how to turn
-something of type `'a` into an `'b reader`, and I'll show you how to
-turn an `'a tree` into an `'a tree reader`.  In more fanciful terms,
-the `treemonadizer` function builds plumbing that connects all of the
-leaves of a tree into one connected monadic network; it threads the
-`'b reader` monad through the leaves.
+something of type `'a` into an `'b reader`---this is a function of the same type that you could bind an `'a reader` to---and I'll show you how to
+turn an `'a tree` into an `'b tree reader`.  That is, if you show me how to do this:
+
+                     ------------
+         1     --->  |    1     |
+                     ------------
+
+then I'll give you back the ability to do this:
+
+                     ____________
+         .           |    .     |
+       __|___  --->  |  __|___  |
+       |    |        |  |    |  |
+       1    2        |  1    2  |
+                     ------------
+
+And how will that boxed tree behave? Whatever actions you perform on it will be transmitted down to corresponding operations on its leaves. For instance, our `int reader` expects an `int -> int` environment. If supplying environment `e` to our `int reader` doubles the contained `int`:
+
+                     ------------
+         1     --->  |    1     |  applied to e  ~~>  2
+                     ------------
 
 
-       # treemonadizer int2int_reader t1 (fun i -> i + i);;
+Then we can expect that supplying it to our `int tree reader` will double all the leaves:
+
+                     ____________
+         .           |    .     |                      .
+       __|___  --->  |  __|___  | applied to e  ~~>  __|___
+       |    |        |  |    |  |                    |    |
+       1    2        |  1    2  |                    2    4
+                     ------------
+
+In more fanciful terms, the `tree_monadize` function builds plumbing that connects all of the leaves of a tree into one connected monadic network; it threads the
+`'b reader` monad through the original tree's leaves.
+
+       # tree_monadize int_readerize t1 double;;
        - : int tree =
        Node (Node (Leaf 4, Leaf 6), Node (Leaf 10, Node (Leaf 14, Leaf 22)))
 
 Here, our environment is the doubling function (`fun i -> i + i`).  If
        - : int tree =
        Node (Node (Leaf 4, Leaf 6), Node (Leaf 10, Node (Leaf 14, Leaf 22)))
 
 Here, our environment is the doubling function (`fun i -> i + i`).  If
-we apply the very same `int tree reader` (namely, `treemonadizer
-int2int_reader t1`) to a different `int -> int` function---say, the
+we apply the very same `int tree reader` (namely, `tree_monadize
+int_readerize t1`) to a different `int -> int` function---say, the
 squaring function, `fun i -> i * i`---we get an entirely different
 result:
 
 squaring function, `fun i -> i * i`---we get an entirely different
 result:
 
-       # treemonadizer int2int_reader t1 (fun i -> i * i);;
+       # tree_monadize int_readerize t1 square;;
        - : int tree =
        Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))
 
        - : int tree =
        Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))
 
-Now that we have a tree transformer that accepts a reader monad as a
+Now that we have a tree transformer that accepts a *reader* monad as a
 parameter, we can see what it would take to swap in a different monad.
 parameter, we can see what it would take to swap in a different monad.
-For instance, we can use a state monad to count the number of nodes in
+
+For instance, we can use a state monad to count the number of leaves in
 the tree.
 
        type 'a state = int -> 'a * int;;
 the tree.
 
        type 'a state = int -> 'a * int;;
-       let state_unit a = fun i -> (a, i);;
-       let state_bind u f = fun i -> let (a, i') = u i in f a (i' + 1);;
+       let state_unit a = fun s -> (a, s);;
+       let state_bind u f = fun s -> let (a, s') = u s in f a s';;
 
 
-Gratifyingly, we can use the `treemonadizer` function without any
+Gratifyingly, we can use the `tree_monadize` function without any
 modification whatsoever, except for replacing the (parametric) type
 `'b reader` with `'b state`, and substituting in the appropriate unit and bind:
 
 modification whatsoever, except for replacing the (parametric) type
 `'b reader` with `'b state`, and substituting in the appropriate unit and bind:
 
-       let rec treemonadizer (f : 'a -> 'b state) (t : 'a tree) : 'b tree state =
+       let rec tree_monadize (f : 'a -> 'b state) (t : 'a tree) : 'b tree state =
            match t with
            match t with
-           | Leaf x -> state_bind (f x) (fun x' -> state_unit (Leaf x'))
-           | Node (l, r) -> state_bind (treemonadizer f l) (fun x ->
-                              state_bind (treemonadizer f r) (fun y ->
+           | Leaf i -> state_bind (f i) (fun i' -> state_unit (Leaf i'))
+           | Node (l, r) -> state_bind (tree_monadize f l) (fun x ->
+                              state_bind (tree_monadize f r) (fun y ->
                                 state_unit (Node (x, y))));;
 
                                 state_unit (Node (x, y))));;
 
-Then we can count the number of nodes in the tree:
+Then we can count the number of leaves in the tree:
 
 
-       # treemonadizer state_unit t1 0;;
+       # tree_monadize (fun a -> fun s -> (a, s+1)) t1 0;;
        - : int tree * int =
        - : int tree * int =
-       (Node (Node (Leaf 2, Leaf 3), Node (Leaf 5, Node (Leaf 7, Leaf 11))), 13)
+       (Node (Node (Leaf 2, Leaf 3), Node (Leaf 5, Node (Leaf 7, Leaf 11))), 5)
        
            .
         ___|___
        
            .
         ___|___
@@ -195,22 +225,12 @@ Then we can count the number of nodes in the tree:
                |  |
                7  11
 
                |  |
                7  11
 
-Notice that we've counted each internal node twice---it's a good
-exercise to adjust the code to count each node once.
-
-<!--
-A tree with n leaves has 2n - 1 nodes.
-This function will currently return n*1 + (n-1)*2 = 3n - 2.
-To convert b = 3n - 2 into 2n - 1, we can use: let n = (b + 2)/3 in 2*n -1
-
-But I assume Chris means here, adjust the code so that no corrections of this sort have to be applied.
--->
-
+Why does this work? Because the operation `fun a -> fun s -> (a, s+1)` takes an `int` and wraps it in an `int state` monadic box that increments the state. When we give that same operations to our `tree_monadize` function, it then wraps an `int tree` in a box, one that does the same state-incrementing for each of its leaves.
 
 One more revealing example before getting down to business: replacing
 
 One more revealing example before getting down to business: replacing
-`state` everywhere in `treemonadizer` with `list` gives us
+`state` everywhere in `tree_monadize` with `list` gives us
 
 
-       # treemonadizer (fun x -> [ [x; square x] ]) t1;;
+       # tree_monadize (fun i -> [ [i; square i] ]) t1;;
        - : int list tree list =
        [Node
          (Node (Leaf [2; 4], Leaf [3; 9]),
        - : int list tree list =
        [Node
          (Node (Leaf [2; 4], Leaf [3; 9]),
@@ -218,64 +238,74 @@ One more revealing example before getting down to business: replacing
 
 Unlike the previous cases, instead of turning a tree into a function
 from some input to a result, this transformer replaces each `int` with
 
 Unlike the previous cases, instead of turning a tree into a function
 from some input to a result, this transformer replaces each `int` with
-a list of `int`'s.
+a list of `int`'s. We might also have done this with a Reader Monad, though then our environments would need to be of type `int -> int list`. Experiment with what happens if you supply the `tree_monadize` based on the List Monad an operation like `fun -> [ i; [2*i; 3*i] ]`. Use small trees for your experiment.
+
+
+<!--
+FIXME: We don't make it clear why the fun has to be int -> int list list, instead of int -> int list
+-->
+
 
 Now for the main point.  What if we wanted to convert a tree to a list
 of leaves?
 
        type ('a, 'r) continuation = ('a -> 'r) -> 'r;;
 
 Now for the main point.  What if we wanted to convert a tree to a list
 of leaves?
 
        type ('a, 'r) continuation = ('a -> 'r) -> 'r;;
-       let continuation_unit x c = c x;;
-       let continuation_bind u f c = u (fun a -> f a c);;
+       let continuation_unit a = fun k -> k a;;
+       let continuation_bind u f = fun k -> u (fun a -> f a k);;
        
        
-       let rec treemonadizer (f : 'a -> ('b, 'r) continuation) (t : 'a tree) : ('b tree, 'r) continuation =
+       let rec tree_monadize (f : 'a -> ('b, 'r) continuation) (t : 'a tree) : ('b tree, 'r) continuation =
            match t with
            match t with
-           | Leaf x -> continuation_bind (f x) (fun x' -> continuation_unit (Leaf x'))
-           | Node (l, r) -> continuation_bind (treemonadizer f l) (fun x ->
-                              continuation_bind (treemonadizer f r) (fun y ->
+           | Leaf i -> continuation_bind (f i) (fun i' -> continuation_unit (Leaf i'))
+           | Node (l, r) -> continuation_bind (tree_monadize f l) (fun x ->
+                              continuation_bind (tree_monadize f r) (fun y ->
                                 continuation_unit (Node (x, y))));;
 
 We use the continuation monad described above, and insert the
                                 continuation_unit (Node (x, y))));;
 
 We use the continuation monad described above, and insert the
-`continuation` type in the appropriate place in the `treemonadizer` code.
-We then compute:
+`continuation` type in the appropriate place in the `tree_monadize` code. Then if we give the `tree_monadize` function an operation that converts `int`s into continuations expecting `'b` arguments, it will give us back a way to turn `int tree`s into continuations that expect `'b tree` arguments. The effect of giving the continuation such an argument will be to distribute across the `'b tree`'s leaves effects that parallel the effects that the `'b`-expecting continuations would have on their `'b`s.
+
+So for example, we compute:
 
 
-       # treemonadizer (fun a c -> a :: (c a)) t1 (fun t -> []);;
+       # tree_monadize (fun a -> fun k -> a :: (k a)) t1 (fun t -> []);;
        - : int list = [2; 3; 5; 7; 11]
 
        - : int list = [2; 3; 5; 7; 11]
 
-We have found a way of collapsing a tree into a list of its leaves.
+We have found a way of collapsing a tree into a list of its leaves. Can you trace how this is working?
 
 The continuation monad is amazingly flexible; we can use it to
 simulate some of the computations performed above.  To see how, first
 
 The continuation monad is amazingly flexible; we can use it to
 simulate some of the computations performed above.  To see how, first
-note that an interestingly uninteresting thing happens if we use the
-continuation unit as our first argument to `treemonadizer`, and then
+note that an interestingly uninteresting thing happens if we use
+`continuation_unit` as our first argument to `tree_monadize`, and then
 apply the result to the identity function:
 
 apply the result to the identity function:
 
-       # treemonadizer continuation_unit t1 (fun x -> x);;
+       # tree_monadize continuation_unit t1 (fun i -> i);;
        - : int tree =
        Node (Node (Leaf 2, Leaf 3), Node (Leaf 5, Node (Leaf 7, Leaf 11)))
 
 That is, nothing happens.  But we can begin to substitute more
        - : int tree =
        Node (Node (Leaf 2, Leaf 3), Node (Leaf 5, Node (Leaf 7, Leaf 11)))
 
 That is, nothing happens.  But we can begin to substitute more
-interesting functions for the first argument of `treemonadizer`:
+interesting functions for the first argument of `tree_monadize`:
 
        (* Simulating the tree reader: distributing a operation over the leaves *)
 
        (* Simulating the tree reader: distributing a operation over the leaves *)
-       # treemonadizer (fun a c -> c (square a)) t1 (fun x -> x);;
+       # tree_monadize (fun a -> fun k -> k (square a)) t1 (fun i -> i);;
        - : int tree =
        Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))
 
        (* Simulating the int list tree list *)
        - : int tree =
        Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))
 
        (* Simulating the int list tree list *)
-       # treemonadizer (fun a c -> c [a; square a]) t1 (fun x -> x);;
+       # tree_monadize (fun a -> fun k -> k [a; square a]) t1 (fun i -> i);;
        - : int list tree =
        Node
         (Node (Leaf [2; 4], Leaf [3; 9]),
          Node (Leaf [5; 25], Node (Leaf [7; 49], Leaf [11; 121])))
 
        (* Counting leaves *)
        - : int list tree =
        Node
         (Node (Leaf [2; 4], Leaf [3; 9]),
          Node (Leaf [5; 25], Node (Leaf [7; 49], Leaf [11; 121])))
 
        (* Counting leaves *)
-       # treemonadizer (fun a c -> 1 + c a) t1 (fun x -> 0);;
+       # tree_monadize (fun a -> fun k -> 1 + k a) t1 (fun i -> 0);;
        - : int = 5
 
 We could simulate the tree state example too, but it would require
 generalizing the type of the continuation monad to
 
        - : int = 5
 
 We could simulate the tree state example too, but it would require
 generalizing the type of the continuation monad to
 
-       type ('a -> 'b -> 'c) continuation = ('a -> 'b) -> 'c;;
+       type ('a, 'b, 'c) continuation = ('a -> 'b) -> 'c;;
+
+If you want to see how to parameterize the definition of the `tree_monadize` function, so that you don't have to keep rewriting it for each new monad, see [this code](/code/tree_monadize.ml).
+
 
 The binary tree monad
 ---------------------
 
 The binary tree monad
 ---------------------
@@ -284,37 +314,37 @@ Of course, by now you may have realized that we have discovered a new
 monad, the binary tree monad:
 
        type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree) * ('a tree);;
 monad, the binary tree monad:
 
        type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree) * ('a tree);;
-       let tree_unit (x: 'a) = Leaf x;;
+       let tree_unit (a: 'a) = Leaf a;;
        let rec tree_bind (u : 'a tree) (f : 'a -> 'b tree) : 'b tree =
            match u with
        let rec tree_bind (u : 'a tree) (f : 'a -> 'b tree) : 'b tree =
            match u with
-           | Leaf x -> f x
+           | Leaf a -> f a
            | Node (l, r) -> Node ((tree_bind l f), (tree_bind r f));;
 
 For once, let's check the Monad laws.  The left identity law is easy:
 
            | Node (l, r) -> Node ((tree_bind l f), (tree_bind r f));;
 
 For once, let's check the Monad laws.  The left identity law is easy:
 
-    Left identity: bind (unit a) f = bind (Leaf a) f = fa
+    Left identity: bind (unit a) f = bind (Leaf a) f = f a
 
 To check the other two laws, we need to make the following
 observation: it is easy to prove based on `tree_bind` by a simple
 induction on the structure of the first argument that the tree
 resulting from `bind u f` is a tree with the same strucure as `u`,
 
 To check the other two laws, we need to make the following
 observation: it is easy to prove based on `tree_bind` by a simple
 induction on the structure of the first argument that the tree
 resulting from `bind u f` is a tree with the same strucure as `u`,
-except that each leaf `a` has been replaced with `fa`:
+except that each leaf `a` has been replaced with `f a`:
 
 
-\tree (. (fa1) (. (. (. (fa2)(fa3)) (fa4)) (fa5)))
+\tree (. (f a1) (. (. (. (f a2) (f a3)) (f a4)) (f a5)))
 
                        .                         .
                      __|__                     __|__
                      |   |                     |   |
 
                        .                         .
                      __|__                     __|__
                      |   |                     |   |
-                     a1  .                    fa1  .
+                     a1  .                   f a1  .
                         _|__                     __|__
                         |  |                     |   |
                         _|__                     __|__
                         |  |                     |   |
-                        .  a5                    .  fa5
+                        .  a5                    .  f a5
           bind         _|__       f   =        __|__
                        |  |                    |   |
           bind         _|__       f   =        __|__
                        |  |                    |   |
-                       .  a4                   .  fa4
+                       .  a4                   .  f a4
                      __|__                   __|___
                      |   |                   |    |
                      __|__                   __|___
                      |   |                   |    |
-                     a2  a3                 fa2  fa3
+                     a2  a3                f a2  f a3
 
 Given this equivalence, the right identity law
 
 
 Given this equivalence, the right identity law
 
@@ -326,31 +356,31 @@ falls out once we realize that
 
 As for the associative law,
 
 
 As for the associative law,
 
-       Associativity: bind (bind u f) g = bind u (\a. bind (fa) g)
+       Associativity: bind (bind u f) g = bind u (\a. bind (f a) g)
 
 we'll give an example that will show how an inductive proof would
 proceed.  Let `f a = Node (Leaf a, Leaf a)`.  Then
 
 
 we'll give an example that will show how an inductive proof would
 proceed.  Let `f a = Node (Leaf a, Leaf a)`.  Then
 
-\tree (. (. (. (. (a1)(a2)))))
-\tree (. (. (. (. (a1) (a1)) (. (a1) (a1)))  ))
+\tree (. (. (. (. (a1) (a2)))))
+\tree (. (. (. (. (a1) (a1)) (. (a1) (a1)))))
 
                                                   .
                                               ____|____
                  .               .            |       |
        bind    __|__   f  =    __|_    =      .       .
                |   |           |   |        __|__   __|__
 
                                                   .
                                               ____|____
                  .               .            |       |
        bind    __|__   f  =    __|_    =      .       .
                |   |           |   |        __|__   __|__
-               a1  a2         fa1 fa2       |   |   |   |
+               a1  a2        f a1 f a2      |   |   |   |
                                             a1  a1  a1  a1
 
 Now when we bind this tree to `g`, we get
 
                                             a1  a1  a1  a1
 
 Now when we bind this tree to `g`, we get
 
-                  .
-              ____|____
-              |       |
-              .       .
-            __|__   __|__
-            |   |   |   |
-           ga1 ga1 ga1 ga1
+                   .
+              _____|______
+              |          |
+              .          .
+            __|__      __|__
+            |   |      |   |
+          g a1 g a1  g a1 g a1
 
 At this point, it should be easy to convince yourself that
 using the recipe on the right hand side of the associative law will
 
 At this point, it should be easy to convince yourself that
 using the recipe on the right hand side of the associative law will
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