@@ -28,9 +28,9 @@ internal nodes?]
We'll be using trees where the nodes are integers, e.g.,

-       let t1 = Node ((Node ((Leaf 2), (Leaf 3))),
-                      (Node ((Leaf 5),(Node ((Leaf 7),
-                                             (Leaf 11))))))
+       let t1 = Node (Node (Leaf 2, Leaf 3),
+                      Node (Leaf 5, Node (Leaf 7,
+                                             Leaf 11)))
.
___|___
|     |
@@ -46,9 +46,9 @@ Our first task will be to replace each leaf with its double:

let rec treemap (newleaf : 'a -> 'b) (t : 'a tree) : 'b tree =
match t with
-           | Leaf x -> Leaf (newleaf x)
-           | Node (l, r) -> Node ((treemap newleaf l),
-                                  (treemap newleaf r));;
+           | Leaf i -> Leaf (newleaf i)
+           | Node (l, r) -> Node (treemap newleaf l,
+                                  treemap newleaf r);;

`treemap` takes a function that transforms old leaves into new leaves,
and maps that function over all the leaves in the tree, leaving the
@@ -76,7 +76,7 @@ decide to do something else to the leaves without needing to rewrite
`treemap`.  For instance, we can easily square each leaf instead by
supplying the appropriate `int -> int` operation in place of `double`:

-       let square x = x * x;;
+       let square i = i * i;;
treemap square t1;;
- : int tree =ppp
Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))
@@ -107,7 +107,7 @@ updated tree.
That is, we want to transform the ordinary tree `t1` (of type `int
tree`) into a reader object of type `(int -> int) -> int tree`: something
that, when you apply it to an `int -> int` function `f` returns an `int
-tree` in which each leaf `x` has been replaced with `f x`.
+tree` in which each leaf `i` has been replaced with `f i`.

With previous readers, we always knew which kind of environment to
expect: either an assignment function (the original calculator
@@ -122,7 +122,7 @@ type `int -> int`.

It's easy to figure out how to turn an `int` into an `int reader`:

-       let int2int_reader (x : 'a) : 'b reader = fun (op : 'a -> 'b) -> op x;;
+       let int2int_reader : 'a -> 'b reader = fun (a : 'a) -> fun (op : 'a -> 'b) -> op a;;
int2int_reader 2 (fun i -> i + i);;
- : int = 4

@@ -132,7 +132,7 @@ function of type `int -> int` to.

let rec treemonadizer (f : 'a -> 'b reader) (t : 'a tree) : 'b tree reader =
match t with
-           | Leaf x -> reader_bind (f x) (fun x' -> reader_unit (Leaf x'))
+           | Leaf i -> reader_bind (f i) (fun i' -> reader_unit (Leaf i'))
| Node (l, r) -> reader_bind (treemonadizer f l) (fun x ->
@@ -142,7 +142,7 @@ something of type `'a` into an `'b reader`, and I'll show you how to
turn an `'a tree` into an `'a tree reader`.  In more fanciful terms,
the `treemonadizer` function builds plumbing that connects all of the
leaves of a tree into one connected monadic network; it threads the

- : int tree =
@@ -158,24 +158,24 @@ result:
- : int tree =
Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))

-Now that we have a tree transformer that accepts a monad as a
+Now that we have a tree transformer that accepts a reader monad as a
parameter, we can see what it would take to swap in a different monad.
For instance, we can use a state monad to count the number of nodes in
the tree.

type 'a state = int -> 'a * int;;
-       let state_unit x i = (x, i+.5);;
-       let state_bind u f i = let (a, i') = u i in f a (i'+.5);;
+       let state_unit a = fun s -> (a, s);;
+       let state_bind_and_count u f = fun s -> let (a, s') = u s in f a (s' + 1);;

Gratifyingly, we can use the `treemonadizer` function without any
modification whatsoever, except for replacing the (parametric) type
+`'b reader` with `'b state`, and substituting in the appropriate unit and bind:

let rec treemonadizer (f : 'a -> 'b state) (t : 'a tree) : 'b tree state =
match t with
-           | Leaf x -> state_bind (f x) (fun x' -> state_unit (Leaf x'))
-           | Node (l, r) -> state_bind (treemonadizer f l) (fun x ->
-                              state_bind (treemonadizer f r) (fun y ->
+           | Leaf i -> state_bind_and_count (f i) (fun i' -> state_unit (Leaf i'))
+           | Node (l, r) -> state_bind_and_count (treemonadizer f l) (fun x ->
+                              state_bind_and_count (treemonadizer f r) (fun y ->
state_unit (Node (x, y))));;

Then we can count the number of nodes in the tree:
@@ -198,10 +198,19 @@ Then we can count the number of nodes in the tree:
Notice that we've counted each internal node twice---it's a good
exercise to adjust the code to count each node once.

+<!--
+A tree with n leaves has 2n - 1 nodes.
+This function will currently return n*1 + (n-1)*2 = 3n - 2.
+To convert b = 3n - 2 into 2n - 1, we can use: let n = (b + 2)/3 in 2*n -1
+
+But I assume Chris means here, adjust the code so that no corrections of this sort have to be applied.
+-->
+
+
One more revealing example before getting down to business: replacing
`state` everywhere in `treemonadizer` with `list` gives us

-       # treemonadizer (fun x -> [ [x; square x] ]) t1;;
+       # treemonadizer (fun i -> [ [i; square i] ]) t1;;
- : int list tree list =
[Node
(Node (Leaf [2; 4], Leaf [3; 9]),
@@ -211,16 +220,21 @@ Unlike the previous cases, instead of turning a tree into a function
from some input to a result, this transformer replaces each `int` with
a list of `int`'s.

+<!--
+We don't make it clear why the fun has to be int -> int list list, instead of int -> int list
+-->
+
+
Now for the main point.  What if we wanted to convert a tree to a list
of leaves?

type ('a, 'r) continuation = ('a -> 'r) -> 'r;;
-       let continuation_unit x c = c x;;
-       let continuation_bind u f c = u (fun a -> f a c);;
+       let continuation_unit a = fun k -> k a;;
+       let continuation_bind u f = fun k -> u (fun a -> f a k);;

let rec treemonadizer (f : 'a -> ('b, 'r) continuation) (t : 'a tree) : ('b tree, 'r) continuation =
match t with
-           | Leaf x -> continuation_bind (f x) (fun x' -> continuation_unit (Leaf x'))
+           | Leaf i -> continuation_bind (f i) (fun i' -> continuation_unit (Leaf i'))
| Node (l, r) -> continuation_bind (treemonadizer f l) (fun x ->
continuation_bind (treemonadizer f r) (fun y ->
continuation_unit (Node (x, y))));;
@@ -229,7 +243,7 @@ We use the continuation monad described above, and insert the
`continuation` type in the appropriate place in the `treemonadizer` code.
We then compute:

-       # treemonadizer (fun a c -> a :: (c a)) t1 (fun t -> []);;
+       # treemonadizer (fun a k -> a :: (k a)) t1 (fun t -> []);;
- : int list = [2; 3; 5; 7; 11]

We have found a way of collapsing a tree into a list of its leaves.
@@ -240,7 +254,7 @@ note that an interestingly uninteresting thing happens if we use the
continuation unit as our first argument to `treemonadizer`, and then
apply the result to the identity function:

-       # treemonadizer continuation_unit t1 (fun x -> x);;
+       # treemonadizer continuation_unit t1 (fun i -> i);;
- : int tree =
Node (Node (Leaf 2, Leaf 3), Node (Leaf 5, Node (Leaf 7, Leaf 11)))

@@ -248,19 +262,19 @@ That is, nothing happens.  But we can begin to substitute more
interesting functions for the first argument of `treemonadizer`:

(* Simulating the tree reader: distributing a operation over the leaves *)
-       # treemonadizer (fun a c -> c (square a)) t1 (fun x -> x);;
+       # treemonadizer (fun a c -> c (square a)) t1 (fun i -> i);;
- : int tree =
Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))

(* Simulating the int list tree list *)
-       # treemonadizer (fun a c -> c [a; square a]) t1 (fun x -> x);;
+       # treemonadizer (fun a c -> c [a; square a]) t1 (fun i -> i);;
- : int list tree =
Node
(Node (Leaf [2; 4], Leaf [3; 9]),
Node (Leaf [5; 25], Node (Leaf [7; 49], Leaf [11; 121])))

(* Counting leaves *)
-       # treemonadizer (fun a c -> 1 + c a) t1 (fun x -> 0);;
+       # treemonadizer (fun a c -> 1 + c a) t1 (fun i -> 0);;
- : int = 5

We could simulate the tree state example too, but it would require
@@ -275,10 +289,10 @@ Of course, by now you may have realized that we have discovered a new