index ba990d1..2ec15d6 100644 (file)
@@ -3,11 +3,13 @@
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-This topic develops an idea based on a detailed suggestion of Ken
-Shan's.  We'll build a series of functions that operate on trees,
-doing various things, including replacing leaves, counting nodes, and
-converting a tree to a list of leaves.  The end result will be an
-application for continuations.
+This topic develops an idea based on a suggestion of Ken Shan's.
+We'll build a series of functions that operate on trees, doing various
+with a State monad, replacing leaves with a List monad, and converting
+a tree into a list of leaves with a Continuation monad.  It will turn
+out that the continuation monad can simulate the behavior of each of

From an engineering standpoint, we'll build a tree transformer that
deals in monads.  We can modify the behavior of the system by swapping
@@ -20,7 +22,7 @@ the utility of replacing one monad with other.
First, we'll be needing a lot of trees for the remainder of the
course.  Here again is a type constructor for leaf-labeled, binary trees:

-    type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree * 'a tree)
+    type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree * 'a tree);;

[How would you adjust the type constructor to allow for labels on the
internal nodes?]
@@ -30,7 +32,7 @@ We'll be using trees where the nodes are integers, e.g.,

let t1 = Node (Node (Leaf 2, Leaf 3),
Node (Leaf 5, Node (Leaf 7,
-                                             Leaf 11)))
+                                           Leaf 11)))
.
___|___
|     |
@@ -71,14 +73,15 @@ structure of the tree unchanged.  For instance:
14   22

We could have built the doubling operation right into the `tree_map`
-code.  However, because we've left what to do to each leaf as a parameter, we can
-decide to do something else to the leaves without needing to rewrite
-`tree_map`.  For instance, we can easily square each leaf instead by
-supplying the appropriate `int -> int` operation in place of `double`:
+code.  However, because we've made what to do to each leaf a
+parameter, we can decide to do something else to the leaves without
+needing to rewrite `tree_map`.  For instance, we can easily square
+each leaf instead by supplying the appropriate `int -> int` operation
+in place of `double`:

let square i = i * i;;
tree_map square t1;;
-       - : int tree =ppp
+       - : int tree =
Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))

Note that what `tree_map` does is take some unchanging contextual
@@ -106,14 +109,25 @@ updated tree.
f 7  f 11

That is, we want to transform the ordinary tree `t1` (of type `int
-tree`) into a reader object of type `(int -> int) -> int tree`: something
-that, when you apply it to an `int -> int` function `f` returns an `int
-tree` in which each leaf `i` has been replaced with `f i`.
-
-With previous readers, we always knew which kind of environment to
-expect: either an assignment function (the original calculator
-simulation), a world (the intensionality monad), an integer (the
-Jacobson-inspired link monad), etc.  In the present case, we expect that our "environment" will be some function of type `int -> int`. "Looking up" some `int` in the environment will return us the `int` that comes out the other side of that function.
+tree`) into a reader monadic object of type `(int -> int) -> int
+tree`: something that, when you apply it to an `int -> int` function
+`f` returns an `int tree` in which each leaf `i` has been replaced
+with `f i`.
+
+[Application note: this kind of reader object could provide a model
+for Kaplan's characters.  It turns an ordinary tree into one that
+expects contextual information (here, the `&lambda; f`) that can be
+used to compute the content of indexicals embedded arbitrarily deeply
+in the tree.]
+
+which kind of environment to expect: either an assignment function, as
+in the original calculator simulation; a world, as in the
+monad; etc.  In the present case, we expect that our "environment"
+will be some function of type `int -> int`. "Looking up" some `int` in
+the environment will return us the `int` that comes out the other side
+of that function.

type 'a reader = (int -> int) -> 'a;;  (* mnemonic: e for environment *)
let reader_unit (a : 'a) : 'a reader = fun _ -> a;;
@@ -218,14 +232,52 @@ Then we can count the number of leaves in the tree:
___|___
|     |
.     .
-       _|__  _|__
+       _|__  _|__         , 5
|  |  |  |
2  3  5  .
_|__
|  |
7  11

-Why does this work? Because the operation `fun a -> fun s -> (a, s+1)` takes an `int` and wraps it in an `int state` monadic box that increments the state. When we give that same operations to our `tree_monadize` function, it then wraps an `int tree` in a box, one that does the same state-incrementing for each of its leaves.
+Note that the value returned is a pair consisting of a tree and an
+integer, 5, which represents the count of the leaves in the tree.
+
+Why does this work? Because the operation `fun a -> fun s -> (a, s+1)`
+takes an `int` and wraps it in an `int state` monadic box that
+increments the state. When we give that same operations to our
+`tree_monadize` function, it then wraps an `int tree` in a box, one
+that does the same state-incrementing for each of its leaves.
+
+We can use the state monad to replace leaves with a number
+corresponding to that leave's ordinal position.  When we do so, we
+reveal the order in which the monadic tree forces evaluation:
+
+        # tree_monadize (fun a -> fun s -> (s+1, s+1)) t1 0;;
+        - : int tree * int =
+        (Node (Node (Leaf 1, Leaf 2), Node (Leaf 3, Node (Leaf 4, Leaf 5))), 5)
+
+The key thing to notice is that instead of copying `a` into the
+monadic box, we throw away the `a` and put a copy of the state in
+
+Reversing the order requires reversing the order of the state_bind
+operations.  It's not obvious that this will type correctly, so think
+it through:
+
+       let rec tree_monadize_rev (f : 'a -> 'b state) (t : 'a tree) : 'b tree state =
+           match t with
+           | Leaf a -> state_bind (f a) (fun b -> state_unit (Leaf b))
+           | Node (l, r) -> state_bind (tree_monadize f r) (fun r' ->
+                              state_bind (tree_monadize f l) (fun l' ->
+                                state_unit (Node (l', r'))));;
+
+        # tree_monadize_rev (fun a -> fun s -> (s+1, s+1)) t1 0;;
+        - : int tree * int =
+        (Node (Node (Leaf 5, Leaf 4), Node (Leaf 3, Node (Leaf 2, Leaf 1))), 5)
+
+We will need below to depend on controlling the order in which nodes
+are visited when we use the continuation monad to solve the
+same-fringe problem.

One more revealing example before getting down to business: replacing
`state` everywhere in `tree_monadize` with `list` gives us
@@ -240,11 +292,11 @@ Unlike the previous cases, instead of turning a tree into a function
from some input to a result, this transformer replaces each `int` with
a list of `int`'s. We might also have done this with a Reader monad, though then our environments would need to be of type `int -> int list`. Experiment with what happens if you supply the `tree_monadize` based on the List monad an operation like `fun -> [ i; [2*i; 3*i] ]`. Use small trees for your experiment.

-
-<!--
-FIXME: We don't make it clear why the fun has to be int -> int list list, instead of int -> int list
--->
-
+[Why is the argument to `tree_monadize` `int -> int list list` instead
+of `int -> int list`?  Well, as usual, the List monad bind operation
+will erase the outer list box, so if we want to replace the leaves
+with lists, we have to nest the replacement lists inside a disposable
+box.]

Now for the main point.  What if we wanted to convert a tree to a list
of leaves?
@@ -306,12 +358,37 @@ generalizing the type of the Continuation monad to

If you want to see how to parameterize the definition of the `tree_monadize` function, so that you don't have to keep rewriting it for each new monad, see [this code](/code/tree_monadize.ml).

+Using continuations to solve the same fringe problem
+----------------------------------------------------
+
+We've seen two solutions to the same fringe problem so far.
+The simplest is to map each tree to a list of its leaves, then compare
+the lists.  But if the fringes differ in an early position, we've
+wasted our time visiting the rest of the tree.
+
+The second solution was to use tree zippers and mutable state to
+simulate coroutines.  We would unzip the first tree until we found the
+next leaf, then store the zipper structure in the mutable variable
+while we turned our attention to the other tree.  Because we stop as
+soon as we find the first mismatched leaf, this solution does not have
+the flaw just mentioned of the solution that maps both trees to a list
+of leaves before beginning comparison.
+
+Since zippers are just continuations reified, we expect that the
+solution in terms of zippers can be reworked using continuations, and
+this is indeed the case.  To make this work in the most convenient
+way, we need to use the fully general type for continuations just mentioned.
+
+tree_monadize (fun a k -> a, k a) t1 (fun t -> 0);;
+
+

---------------------

Of course, by now you may have realized that we have discovered a new
+so are trees.  Here is the type constructor, unit, and bind:

type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree) * ('a tree);;
let tree_unit (a: 'a) : 'a tree = Leaf a;;
@@ -417,113 +494,5 @@ What's this have to do with the `tree_monadize` functions we defined earlier?

... and so on for different monads?

-
-
-               env -> 'a;;
-       let unit (a : 'a) : 'a reader =
-               fun e -> a;;
-               fun e -> (fun v -> f v e) (u e);;
-
-We've just beta-expanded the familiar `f (u e) e` into `(fun v -> f v e) (u e)`, in order to factor out the parts where any Reader monad is being supplied as an argument to another function. Then if we want instead to add a Reader layer to some arbitrary other monad M, with its own M.unit and M.bind, here's how we do it:
-
-
-       (* We're not giving valid OCaml code, but rather something
-        * that's conceptually easier to digest.
-        * How you really need to write this in OCaml is more circuitous...
-        * see http://lambda.jimpryor.net/code/tree_monadize.ml for some details. *)
-
-       type ('a, M) readerT =
-               env -> 'a M;;
-       (* this is just an 'a M reader; but don't rely on that pattern to generalize *)
-
-       let unit (a : 'a) : ('a, M) readerT =
-               fun e -> M.unit a;;
-
-       let bind (u : ('a, M) readerT) (f : 'a -> ('b, M) readerT) : ('b, M) readerT =
-               fun e -> M.bind (u e) (fun v -> f v e);;
-
-Notice the key differences: where before we just returned `a`, now we instead return `M.unit a`. Where before we just supplied value `u e` of type `'a reader` as an argument to a function, now we instead `M.bind` the `'a reader` to that function. Notice also the differences in the types.
-
-
-       type 'a identity = 'a;;
-       let unit (a : 'a) : 'a = a;;
-       let bind (u : 'a) (f : 'a -> 'b) : 'b = f u;;
-
-
-The relations between the State monad and the StateT monadic transformer are parallel:
-
-
-       type 'a state =
-               store -> ('a * store);;
-
-       let unit (a : 'a) : 'a state =
-               fun s -> (a, s);;
-
-       let bind (u : 'a state) (f : 'a -> 'b state) : 'b state =
-               fun s -> (fun (a, s') -> f a s') (u s);;
-
-We've used `(fun (a, s') -> f a s') (u s)` instead of the more familiar `let (a, s') = u s in f a s'` in order to factor out the part where a value of type `'a state` is supplied as an argument to a function. Now StateT will be:
-
-
-       type ('a, M) stateT =
-               store -> ('a * store) M;;
-       (* notice this is not an 'a M state *)
-
-       let unit (a : 'a) : ('a, M) stateT =
-               fun s -> M.unit (a, s);;
-
-       let bind (u : ('a, M) stateT) (f : 'a -> ('b, M) stateT) : ('b, M) stateT =
-               fun s -> M.bind (u s) (fun (a, s') -> f a s');;
-
-Do you see the pattern? Where ordinarily we'd return an `'a` value, now we instead return an `'a M` value. Where ordinarily we'd supply a `'a state` value as an argument to a function, now we instead `M.bind` it to that function.
-
-Okay, now let's do the same thing for our Tree monad.
-
-
-       type 'a tree =
-               Leaf of 'a | Node of ('a tree) * ('a tree);;
-
-       let unit (a: 'a) : 'a tree =
-               Leaf a;;
-
-       let rec bind (u : 'a tree) (f : 'a -> 'b tree) : 'b tree =
-           match u with
-           | Leaf a -> f a;;
-           | Node (l, r) -> (fun l' r' -> Node (l', r')) (bind l f) (bind r f);;
-
-       (* NOTE THIS IS NOT YET WORKING --- STILL REFINING *)
-
-       type ('a, M) treeT =
-               'a tree M;;
-
-       let unit (a: 'a) : ('a, M) tree =
-               M.unit (Leaf a);;
-
-       let rec bind (u : ('a, M) tree) (f : 'a -> ('b, M) tree) : ('b, M) tree =
-           match u with
-           | Leaf a -> M.bind (f a) (fun b -> M.unit (Leaf b))
-           | Node (l, r) -> M.bind (bind l f) (fun l' ->
-                                                       M.bind (bind r f) (fun r' ->
-                                                               M.unit (Node (l', r'));;
-