index d0897ef..0d9e33d 100644 (file)
@@ -3,24 +3,26 @@
------------------------------

-This topic develops an idea based on a detailed suggestion of Ken
-Shan's.  We'll build a series of functions that operate on trees,
-doing various things, including replacing leaves, counting nodes, and
-converting a tree to a list of leaves.  The end result will be an
-application for continuations.
-
-From an engineering standpoint, we'll build a tree transformer that
+This topic develops an idea based on a suggestion of Ken Shan's.
+We'll build a series of functions that operate on trees, doing various
+with a State monad, copying the tree with a List monad, and converting
+a tree into a list of leaves with a Continuation monad.  It will turn
+out that the continuation monad can simulate the behavior of each of
+
+From an engineering standpoint, we'll build a tree machine that
deals in monads.  We can modify the behavior of the system by swapping
a layer of funtionality without disturbing the underlying system, for
-of intensionality to an extensional grammar, but we have not yet seen
+of intensionality to an extensional grammar. But we have not yet seen
the utility of replacing one monad with other.

First, we'll be needing a lot of trees for the remainder of the
course.  Here again is a type constructor for leaf-labeled, binary trees:

-    type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree * 'a tree)
+    type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree * 'a tree);;

[How would you adjust the type constructor to allow for labels on the
internal nodes?]
@@ -30,7 +32,7 @@ We'll be using trees where the nodes are integers, e.g.,

let t1 = Node (Node (Leaf 2, Leaf 3),
Node (Leaf 5, Node (Leaf 7,
-                                             Leaf 11)))
+                                           Leaf 11)))
.
___|___
|     |
@@ -44,18 +46,18 @@ We'll be using trees where the nodes are integers, e.g.,

Our first task will be to replace each leaf with its double:

-       let rec treemap (newleaf : 'a -> 'b) (t : 'a tree) : 'b tree =
+       let rec tree_map (leaf_modifier : 'a -> 'b) (t : 'a tree) : 'b tree =
match t with
-           | Leaf i -> Leaf (newleaf i)
-           | Node (l, r) -> Node (treemap newleaf l,
-                                  treemap newleaf r);;
+           | Leaf i -> Leaf (leaf_modifier i)
+           | Node (l, r) -> Node (tree_map leaf_modifier l,
+                                  tree_map leaf_modifier r);;

-`treemap` takes a function that transforms old leaves into new leaves,
-and maps that function over all the leaves in the tree, leaving the
-structure of the tree unchanged.  For instance:
+`tree_map` takes a tree and a function that transforms old leaves into
+new leaves, and maps that function over all the leaves in the tree,
+leaving the structure of the tree unchanged.  For instance:

let double i = i + i;;
-       treemap double t1;;
+       tree_map double t1;;
- : int tree =
Node (Node (Leaf 4, Leaf 6), Node (Leaf 10, Node (Leaf 14, Leaf 22)))

@@ -70,231 +72,403 @@ structure of the tree unchanged.  For instance:
|    |
14   22

-We could have built the doubling operation right into the `treemap`
-code.  However, because what to do to each leaf is a parameter, we can
-decide to do something else to the leaves without needing to rewrite
-`treemap`.  For instance, we can easily square each leaf instead by
-supplying the appropriate `int -> int` operation in place of `double`:
+We could have built the doubling operation right into the `tree_map`
+code.  However, because we've made what to do to each leaf a
+parameter, we can decide to do something else to the leaves without
+needing to rewrite `tree_map`.  For instance, we can easily square
+each leaf instead, by supplying the appropriate `int -> int` operation
+in place of `double`:

let square i = i * i;;
-       treemap square t1;;
-       - : int tree =ppp
+       tree_map square t1;;
+       - : int tree =
Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))

-Note that what `treemap` does is take some global, contextual
+Note that what `tree_map` does is take some unchanging contextual
information---what to do to each leaf---and supplies that information
-to each subpart of the computation.  In other words, `treemap` has the
+to each subpart of the computation.  In other words, `tree_map` has the

-In general, we're on a journey of making our treemap function more and
+In general, we're on a journey of making our `tree_map` function more and
more flexible.  So the next step---combining the tree transformer with
tree that is ready to accept any `int -> int` function and produce the
updated tree.

-\tree (. (. (f 2) (f 3)) (. (f 5) (. (f 7) (f 11))))
-
-       \f      .
-          _____|____
-          |        |
-          .        .
-        __|___   __|___
-        |    |   |    |
-       f 2  f 3  f 5  .
-                    __|___
-                    |    |
-                   f 7  f 11
+       fun e ->    .
+              _____|____
+              |        |
+              .        .
+            __|___   __|___
+            |    |   |    |
+           e 2  e 3  e 5  .
+                        __|___
+                        |    |
+                       e 7  e 11

That is, we want to transform the ordinary tree `t1` (of type `int
-tree`) into a reader object of type `(int -> int) -> int tree`: something
-that, when you apply it to an `int -> int` function `f` returns an `int
-tree` in which each leaf `i` has been replaced with `f i`.
-
-With previous readers, we always knew which kind of environment to
-expect: either an assignment function (the original calculator
-simulation), a world (the intensionality monad), an integer (the
-enough for now to expect that our reader will expect a function of
-type `int -> int`.
-
-       type 'a reader = (int -> int) -> 'a;;  (* mnemonic: e for environment *)
+tree`) into a reader monadic object of type `(int -> int) -> int
+tree`: something that, when you apply it to an `int -> int` function
+`e` returns an `int tree` in which each leaf `i` has been replaced
+with `e i`.
+
+[Application note: this kind of reader object could provide a model
+for Kaplan's characters.  It turns an ordinary tree into one that
+expects contextual information (here, the `e`) that can be
+used to compute the content of indexicals embedded arbitrarily deeply
+in the tree.]
+
+which kind of environment to expect: either an assignment function, as
+in the original calculator simulation; a world, as in the
+monad; etc.  In the present case, we expect that our "environment"
+will be some function of type `int -> int`. "Looking up" some `int` in
+the environment will return us the `int` that comes out the other side
+of that function.
+
+       type 'a reader = (int -> int) -> 'a;;
let reader_unit (a : 'a) : 'a reader = fun _ -> a;;
-       let reader_bind (u: 'a reader) (f : 'a -> 'b reader) : 'b reader = fun e -> f (u e) e;;
+         fun e -> f (u e) e;;

-It's easy to figure out how to turn an `int` into an `int reader`:
+It would be a simple matter to turn an *integer* into an `int reader`:

-       let int2int_reader : 'a -> 'b reader = fun (a : 'a) -> fun (op : 'a -> 'b) -> op a;;
-       int2int_reader 2 (fun i -> i + i);;
+         fun (a : int) ->
+           fun (modifier : int -> int) -> modifier a;;
+       asker 2 (fun i -> i + i);;
- : int = 4

-But what do we do when the integers are scattered over the leaves of a
-tree?  A binary tree is not the kind of thing that we can apply a
+`asker a` is a monadic box that waits for an an environment (here, the argument `modifier`) and returns what that environment maps `a` to.
+
+How do we do the analagous transformation when our `int`s are scattered over the leaves of a tree? How do we turn an `int tree` into a reader?
+A tree is not the kind of thing that we can apply a
function of type `int -> int` to.

-       let rec treemonadizer (f : 'a -> 'b reader) (t : 'a tree) : 'b tree reader =
+But we can do this:
+
+       let rec tree_monadize (f : 'a -> 'b reader) (t : 'a tree) : 'b tree reader =
match t with
-           | Leaf i -> reader_bind (f i) (fun i' -> reader_unit (Leaf i'))
-           | Node (l, r) -> reader_bind (treemonadizer f l) (fun x ->
+           | Leaf a -> reader_bind (f a) (fun b -> reader_unit (Leaf b))
+           | Node (l, r) -> reader_bind (tree_monadize f l) (fun l' ->

This function says: give me a function `f` that knows how to turn
-something of type `'a` into an `'b reader`, and I'll show you how to
-turn an `'a tree` into an `'a tree reader`.  In more fanciful terms,
-the `treemonadizer` function builds plumbing that connects all of the
-leaves of a tree into one connected monadic network; it threads the
+something of type `'a` into an `'b reader`---this is a function of the same type that you could bind an `'a reader` to, such as `asker` or `reader_unit`---and I'll show you how to
+turn an `'a tree` into an `'b tree reader`.  That is, if you show me how to do this:
+
+                     ------------
+         1     --->  |    1     |
+                     ------------
+
+then I'll give you back the ability to do this:
+
+                     ____________
+         .           |    .     |
+       __|___  --->  |  __|___  |
+       |    |        |  |    |  |
+       1    2        |  1    2  |
+                     ------------

+And how will that boxed tree behave? Whatever actions you perform on it will be transmitted down to corresponding operations on its leaves. For instance, our `int reader` expects an `int -> int` environment. If supplying environment `e` to our `int reader` doubles the contained `int`:
+
+                     ------------
+         1     --->  |    1     |  applied to e  ~~>  2
+                     ------------
+
+Then we can expect that supplying it to our `int tree reader` will double all the leaves:
+
+                     ____________
+         .           |    .     |                      .
+       __|___  --->  |  __|___  | applied to e  ~~>  __|___
+       |    |        |  |    |  |                    |    |
+       1    2        |  1    2  |                    2    4
+                     ------------
+
+In more fanciful terms, the `tree_monadize` function builds plumbing that connects all of the leaves of a tree into one connected monadic network; it threads the
+
- : int tree =
Node (Node (Leaf 4, Leaf 6), Node (Leaf 10, Node (Leaf 14, Leaf 22)))

Here, our environment is the doubling function (`fun i -> i + i`).  If
-int2int_reader t1`) to a different `int -> int` function---say, the
+asker t1`) to a different `int -> int` function---say, the
squaring function, `fun i -> i * i`---we get an entirely different
result:

- : int tree =
Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))

-Now that we have a tree transformer that accepts a reader monad as a
+Now that we have a tree transformer that accepts a *reader* monad as a
parameter, we can see what it would take to swap in a different monad.
-For instance, we can use a state monad to count the number of nodes in
+
+For instance, we can use a State monad to count the number of leaves in
the tree.

type 'a state = int -> 'a * int;;
let state_unit a = fun s -> (a, s);;
-       let state_bind_and_count u f = fun s -> let (a, s') = u s in f a (s' + 1);;
+       let state_bind u f = fun s -> let (a, s') = u s in f a s';;

-Gratifyingly, we can use the `treemonadizer` function without any
+Gratifyingly, we can use the `tree_monadize` function without any
modification whatsoever, except for replacing the (parametric) type
`'b reader` with `'b state`, and substituting in the appropriate unit and bind:

-       let rec treemonadizer (f : 'a -> 'b state) (t : 'a tree) : 'b tree state =
+       let rec tree_monadize (f : 'a -> 'b state) (t : 'a tree) : 'b tree state =
match t with
-           | Leaf i -> state_bind_and_count (f i) (fun i' -> state_unit (Leaf i'))
-           | Node (l, r) -> state_bind_and_count (treemonadizer f l) (fun x ->
-                              state_bind_and_count (treemonadizer f r) (fun y ->
-                                state_unit (Node (x, y))));;
+           | Leaf a -> state_bind (f a) (fun b -> state_unit (Leaf b))
+           | Node (l, r) -> state_bind (tree_monadize f l) (fun l' ->
+                              state_bind (tree_monadize f r) (fun r' ->
+                                state_unit (Node (l', r'))));;

-Then we can count the number of nodes in the tree:
+Then we can count the number of leaves in the tree:

-       # treemonadizer state_unit t1 0;;
+       # let incrementer = fun a ->
+           fun s -> (a, s+1);;
+
+       # tree_monadize incrementer t1 0;;
- : int tree * int =
-       (Node (Node (Leaf 2, Leaf 3), Node (Leaf 5, Node (Leaf 7, Leaf 11))), 13)
+       (Node (Node (Leaf 2, Leaf 3), Node (Leaf 5, Node (Leaf 7, Leaf 11))), 5)

-           .
-        ___|___
-        |     |
-        .     .
-       _|__  _|__
-       |  |  |  |
-       2  3  5  .
-               _|__
-               |  |
-               7  11
+               .
+            ___|___
+            |     |
+            .     .
+        (  _|__  _|__     ,   5 )
+           |  |  |  |
+           2  3  5  .
+                   _|__
+                   |  |
+                   7  11
+
+Note that the value returned is a pair consisting of a tree and an
+integer, 5, which represents the count of the leaves in the tree.
+
+Why does this work? Because the operation `incrementer`
+takes an argument `a` and wraps it in an State monadic box that
+increments the store and leaves behind a wrapped `a`. When we give that same operations to our
+`tree_monadize` function, it then wraps an `int tree` in a box, one
+that does the same store-incrementing for each of its leaves.
+
+We can use the state monad to annotate leaves with a number
+corresponding to that leave's ordinal position.  When we do so, we
+reveal the order in which the monadic tree forces evaluation:
+
+       # tree_monadize (fun a -> fun s -> ((a,s+1), s+1)) t1 0;;
+       - : int tree * int =
+         (Node
+           (Node (Leaf (2, 1), Leaf (3, 2)),
+            Node
+             (Leaf (5, 3),
+              Node (Leaf (7, 4), Leaf (11, 5)))),
+         5)

-Notice that we've counted each internal node twice---it's a good
-exercise to adjust the code to count each node once.
+The key thing to notice is that instead of just wrapping `a` in the
+monadic box, we wrap a pair of `a` and the current store.

-<!--
-A tree with n leaves has 2n - 1 nodes.
-This function will currently return n*1 + (n-1)*2 = 3n - 2.
-To convert b = 3n - 2 into 2n - 1, we can use: let n = (b + 2)/3 in 2*n -1
+Reversing the annotation order requires reversing the order of the `state_bind`
+operations.  It's not obvious that this will type correctly, so think
+it through:

-But I assume Chris means here, adjust the code so that no corrections of this sort have to be applied.
--->
+       let rec tree_monadize_rev (f : 'a -> 'b state) (t : 'a tree) : 'b tree state =
+         match t with
+           | Leaf a -> state_bind (f a) (fun b -> state_unit (Leaf b))
+           | Node (l, r) -> state_bind (tree_monadize f r) (fun r' ->     (* R first *)
+                              state_bind (tree_monadize f l) (fun l'->    (* Then L  *)
+                                state_unit (Node (l', r'))));;
+
+       # tree_monadize_rev (fun a -> fun s -> ((a,s+1), s+1)) t1 0;;
+       - : int tree * int =
+         (Node
+           (Node (Leaf (2, 5), Leaf (3, 4)),
+            Node
+             (Leaf (5, 3),
+              Node (Leaf (7, 2), Leaf (11, 1)))),
+         5)

+Later, we will talk more about controlling the order in which nodes are visited.

One more revealing example before getting down to business: replacing
-`state` everywhere in `treemonadizer` with `list` gives us
+`state` everywhere in `tree_monadize` with `list` lets us do:

-       # treemonadizer (fun i -> [ [i; square i] ]) t1;;
-       - : int list tree list =
-       [Node
-         (Node (Leaf [2; 4], Leaf [3; 9]),
-          Node (Leaf [5; 25], Node (Leaf [7; 49], Leaf [11; 121])))]
+       # let decider i = if i = 2 then [20; 21] else [i];;
+       - : int tree List_monad.m =
+       [
+         Node (Node (Leaf 20, Leaf 3), Node (Leaf 5, Node (Leaf 7, Leaf 11)));
+         Node (Node (Leaf 21, Leaf 3), Node (Leaf 5, Node (Leaf 7, Leaf 11)))
+       ]

-Unlike the previous cases, instead of turning a tree into a function
-from some input to a result, this transformer replaces each `int` with
-a list of `int`'s.
-
-<!--
-We don't make it clear why the fun has to be int -> int list list, instead of int -> int list
--->

+Unlike the previous cases, instead of turning a tree into a function
+from some input to a result, this monadized tree gives us back a list of trees,
+one for each choice of `int`s for its leaves.

Now for the main point.  What if we wanted to convert a tree to a list
of leaves?

-       type ('a, 'r) continuation = ('a -> 'r) -> 'r;;
+       type ('r,'a) continuation = ('a -> 'r) -> 'r;;
let continuation_unit a = fun k -> k a;;
let continuation_bind u f = fun k -> u (fun a -> f a k);;

-       let rec treemonadizer (f : 'a -> ('b, 'r) continuation) (t : 'a tree) : ('b tree, 'r) continuation =
+       let rec tree_monadize (f : 'a -> ('r,'b) continuation) (t : 'a tree) : ('r,'b tree) continuation =
match t with
-           | Leaf i -> continuation_bind (f i) (fun i' -> continuation_unit (Leaf i'))
-           | Node (l, r) -> continuation_bind (treemonadizer f l) (fun x ->
-                              continuation_bind (treemonadizer f r) (fun y ->
-                                continuation_unit (Node (x, y))));;
+           | Leaf a -> continuation_bind (f a) (fun b -> continuation_unit (Leaf b))
+           | Node (l, r) -> continuation_bind (tree_monadize f l) (fun l' ->
+                              continuation_bind (tree_monadize f r) (fun r' ->
+                                continuation_unit (Node (l', r'))));;
+
+We use the Continuation monad described above, and insert the
+`continuation` type in the appropriate place in the `tree_monadize` code. Then if we give the `tree_monadize` function an operation that converts `int`s into `'b`-wrapping Continuation monads, it will give us back a way to turn `int tree`s into corresponding `'b tree`-wrapping Continuation monads.

-We use the continuation monad described above, and insert the
-`continuation` type in the appropriate place in the `treemonadizer` code.
-We then compute:
+So for example, we compute:

-       # treemonadizer (fun a k -> a :: (k a)) t1 (fun t -> []);;
+       # tree_monadize (fun a k -> a :: k ()) t1 (fun _ -> []);;
- : int list = [2; 3; 5; 7; 11]

-We have found a way of collapsing a tree into a list of its leaves.
+We have found a way of collapsing a tree into a list of its
+leaves. Can you trace how this is working? Think first about what the
+operation `fun a k -> a :: k a` does when you apply it to a
+plain `int`, and the continuation `fun _ -> []`. Then given what we've
+a -> fun k -> a :: k a)` to do?

-The continuation monad is amazingly flexible; we can use it to
+Soon we'll return to the same-fringe problem.  Since the
+simple but inefficient way to solve it is to map each tree to a list
+of its leaves, this transformation is on the path to a more efficient
+solution.  We'll just have to figure out how to postpone computing the
+tail of the list until it's needed...
+
+The Continuation monad is amazingly flexible; we can use it to
simulate some of the computations performed above.  To see how, first
-note that an interestingly uninteresting thing happens if we use the
-continuation unit as our first argument to `treemonadizer`, and then
+note that an interestingly uninteresting thing happens if we use
+`continuation_unit` as our first argument to `tree_monadize`, and then
apply the result to the identity function:

-       # treemonadizer continuation_unit t1 (fun i -> i);;
+       # tree_monadize continuation_unit t1 (fun t -> t);;
- : int tree =
Node (Node (Leaf 2, Leaf 3), Node (Leaf 5, Node (Leaf 7, Leaf 11)))

That is, nothing happens.  But we can begin to substitute more
-interesting functions for the first argument of `treemonadizer`:
+interesting functions for the first argument of `tree_monadize`:

(* Simulating the tree reader: distributing a operation over the leaves *)
-       # treemonadizer (fun a k -> k (square a)) t1 (fun i -> i);;
+       # tree_monadize (fun a -> fun k -> k (square a)) t1 (fun t -> t);;
- : int tree =
Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))

-       (* Simulating the int list tree list *)
-       # treemonadizer (fun a k -> k [a; square a]) t1 (fun i -> i);;
-       - : int list tree =
-       Node
-        (Node (Leaf [2; 4], Leaf [3; 9]),
-         Node (Leaf [5; 25], Node (Leaf [7; 49], Leaf [11; 121])))
-
(* Counting leaves *)
-       # treemonadizer (fun a k -> 1 + k a) t1 (fun i -> 0);;
+       # tree_monadize (fun a -> fun k -> 1 + k a) t1 (fun t -> 0);;
- : int = 5

-We could simulate the tree state example too, but it would require
-generalizing the type of the continuation monad to
+It's not immediately obvious to us how to simulate the List monadization of the tree using this technique.
+
+We could simulate the tree annotating example by setting the relevant
+type to `(store -> 'result, 'a) continuation`.
+
+Andre Filinsky has proposed that the continuation monad is
+
+If you want to see how to parameterize the definition of the `tree_monadize` function, so that you don't have to keep rewriting it for each new monad, see [this code](/code/tree_monadize.ml).
+
+The idea of using continuations to characterize natural language meaning
+------------------------------------------------------------------------
+
+We might a philosopher or a linguist be interested in continuations,
+especially if efficiency of computation is usually not an issue?
+Well, the application of continuations to the same-fringe problem
+shows that continuations can manage order of evaluation in a
+well-controlled manner.  In a series of papers, one of us (Barker) and
+Ken Shan have argued that a number of phenomena in natural langauge
+semantics are sensitive to the order of evaluation.  We can't
+reproduce all of the intricate arguments here, but we can give a sense
+of how the analyses use continuations to achieve an analysis of
+natural language meaning.

-       type ('a, 'b, 'c) continuation = ('a -> 'b) -> 'c;;
+**Quantification and default quantifier scope construal**.

----------------------
+We saw in the copy-string example ("abSd") and in the same-fringe example that
+local properties of a structure (whether a character is `'S'` or not, which
+integer occurs at some leaf position) can control global properties of
+the computation (whether the preceeding string is copied or not,
+whether the computation halts or proceeds).  Local control of
+surrounding context is a reasonable description of in-situ
+quantification.

-Of course, by now you may have realized that we have discovered a new
+    (1) John saw everyone yesterday.
+
+This sentence means (roughly)
+
+    forall x . yesterday(saw x) john
+
+That is, the quantifier *everyone* contributes a variable in the
+direct object position, and a universal quantifier that takes scope
+over the whole sentence.  If we have a lexical meaning function like
+the following:
+
+       let lex (s:string) k = match s with
+         | "everyone" -> Node (Leaf "forall x", k "x")
+         | "someone" -> Node (Leaf "exists y", k "y")
+         | _ -> k s;;
+
+Then we can crudely approximate quantification as follows:
+
+       # let sentence1 = Node (Leaf "John",
+                                                 Node (Node (Leaf "saw",
+                                                                         Leaf "everyone"),
+                                                               Leaf "yesterday"));;
+
+       # tree_monadize lex sentence1 (fun x -> x);;
+       - : string tree =
+       Node
+        (Leaf "forall x",
+         Node (Leaf "John", Node (Node (Leaf "saw", Leaf "x"), Leaf "yesterday")))
+
+In order to see the effects of evaluation order,
+observe what happens when we combine two quantifiers in the same
+sentence:
+
+       # let sentence2 = Node (Leaf "everyone", Node (Leaf "saw", Leaf "someone"));;
+       # tree_monadize lex sentence2 (fun x -> x);;
+       - : string tree =
+       Node
+        (Leaf "forall x",
+         Node (Leaf "exists y", Node (Leaf "x", Node (Leaf "saw", Leaf "y"))))
+
+The universal takes scope over the existential.  If, however, we
+inverse scope:
+
+       # tree_monadize_rev lex sentence2 (fun x -> x);;
+       - : string tree =
+       Node
+        (Leaf "exists y",
+         Node (Leaf "forall x", Node (Leaf "x", Node (Leaf "saw", Leaf "y"))))
+
+There are many crucially important details about quantification that
+are being simplified here, and the continuation treatment used here is not
+scalable for a number of reasons.  Nevertheless, it will serve to give
+an idea of how continuations can provide insight into the behavior of
+quantifiers.
+
+
+==============
+
+Of course, by now you may have realized that we are working with a new
+so are trees.  Here is the type constructor, unit, and bind:

type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree) * ('a tree);;
-       let tree_unit (a: 'a) = Leaf a;;
+       let tree_unit (a: 'a) : 'a tree = Leaf a;;
let rec tree_bind (u : 'a tree) (f : 'a -> 'b tree) : 'b tree =
match u with
| Leaf a -> f a
-           | Node (l, r) -> Node ((tree_bind l f), (tree_bind r f));;
+           | Node (l, r) -> Node (tree_bind l f, tree_bind r f);;

For once, let's check the Monad laws.  The left identity law is easy:

@@ -304,22 +478,20 @@ To check the other two laws, we need to make the following
observation: it is easy to prove based on `tree_bind` by a simple
induction on the structure of the first argument that the tree
resulting from `bind u f` is a tree with the same strucure as `u`,
-except that each leaf `a` has been replaced with `f a`:
-
-\tree (. (f a1) (. (. (. (f a2) (f a3)) (f a4)) (f a5)))
+except that each leaf `a` has been replaced with the tree returned by `f a`:

.                         .
__|__                     __|__
-                     |   |                     |   |
+                     |   |                    /\   |
a1  .                   f a1  .
_|__                     __|__
-                        |  |                     |   |
+                        |  |                     |   /\
.  a5                    .  f a5
bind         _|__       f   =        __|__
-                       |  |                    |   |
+                       |  |                    |   /\
.  a4                   .  f a4
__|__                   __|___
-                     |   |                   |    |
+                     |   |                  /\    /\
a2  a3                f a2  f a3

Given this equivalence, the right identity law
@@ -332,14 +504,11 @@ falls out once we realize that

As for the associative law,

-       Associativity: bind (bind u f) g = bind u (\a. bind (fa) g)
+       Associativity: bind (bind u f) g = bind u (\a. bind (f a) g)

we'll give an example that will show how an inductive proof would
proceed.  Let `f a = Node (Leaf a, Leaf a)`.  Then

-\tree (. (. (. (. (a1) (a2)))))
-\tree (. (. (. (. (a1) (a1)) (. (a1) (a1)))))
-
.
____|____
.               .            |       |
@@ -360,7 +529,7 @@ Now when we bind this tree to `g`, we get

At this point, it should be easy to convince yourself that
using the recipe on the right hand side of the associative law will
-built the exact same final tree.
+build the exact same final tree.

So binary trees are a monad.

@@ -369,3 +538,9 @@ called a