index 609443f..0d9e33d 100644 (file)
@@ -46,18 +46,18 @@ We'll be using trees where the nodes are integers, e.g.,

Our first task will be to replace each leaf with its double:

-       let rec tree_map (t : 'a tree) (leaf_modifier : 'a -> 'b): 'b tree =
+       let rec tree_map (leaf_modifier : 'a -> 'b) (t : 'a tree) : 'b tree =
match t with
| Leaf i -> Leaf (leaf_modifier i)
-           | Node (l, r) -> Node (tree_map l leaf_modifier,
-                                  tree_map r leaf_modifier);;
+           | Node (l, r) -> Node (tree_map leaf_modifier l,
+                                  tree_map leaf_modifier r);;

`tree_map` takes a tree and a function that transforms old leaves into
new leaves, and maps that function over all the leaves in the tree,
leaving the structure of the tree unchanged.  For instance:

let double i = i + i;;
-       tree_map t1 double;;
+       tree_map double t1;;
- : int tree =
Node (Node (Leaf 4, Leaf 6), Node (Leaf 10, Node (Leaf 14, Leaf 22)))

@@ -80,7 +80,7 @@ each leaf instead, by supplying the appropriate `int -> int` operation
in place of `double`:

let square i = i * i;;
-       tree_map t1 square;;
+       tree_map square t1;;
- : int tree =
Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))

@@ -140,7 +140,7 @@ It would be a simple matter to turn an *integer* into an `int reader`:
asker 2 (fun i -> i + i);;
- : int = 4

-This is a monadic box that waits for an an environment (here, the argument `modifier`) and returns what that environment maps `a` to.
+`asker a` is a monadic box that waits for an an environment (here, the argument `modifier`) and returns what that environment maps `a` to.

How do we do the analagous transformation when our `int`s are scattered over the leaves of a tree? How do we turn an `int tree` into a reader?
A tree is not the kind of thing that we can apply a
@@ -293,7 +293,7 @@ it through:
Later, we will talk more about controlling the order in which nodes are visited.

One more revealing example before getting down to business: replacing
-`state` everywhere in `tree_monadize` with `list` gives us
+`state` everywhere in `tree_monadize` with `list` lets us do:

# let decider i = if i = 2 then [20; 21] else [i];;
@@ -311,11 +311,11 @@ one for each choice of `int`s for its leaves.
Now for the main point.  What if we wanted to convert a tree to a list
of leaves?

-       type ('a, 'r) continuation = ('a -> 'r) -> 'r;;
+       type ('r,'a) continuation = ('a -> 'r) -> 'r;;
let continuation_unit a = fun k -> k a;;
let continuation_bind u f = fun k -> u (fun a -> f a k);;

-       let rec tree_monadize (f : 'a -> ('b, 'r) continuation) (t : 'a tree) : ('b tree, 'r) continuation =
+       let rec tree_monadize (f : 'a -> ('r,'b) continuation) (t : 'a tree) : ('r,'b tree) continuation =
match t with
| Leaf a -> continuation_bind (f a) (fun b -> continuation_unit (Leaf b))
| Node (l, r) -> continuation_bind (tree_monadize f l) (fun l' ->
@@ -368,7 +368,7 @@ interesting functions for the first argument of `tree_monadize`:
It's not immediately obvious to us how to simulate the List monadization of the tree using this technique.

We could simulate the tree annotating example by setting the relevant
-type to `('a, 'state -> 'result) continuation`.
+type to `(store -> 'result, 'a) continuation`.

Andre Filinsky has proposed that the continuation monad is
@@ -391,8 +391,8 @@ natural language meaning.

**Quantification and default quantifier scope construal**.

-We saw in the copy-string example and in the same-fringe example that
-local properties of a tree (whether a character is `S` or not, which
+We saw in the copy-string example ("abSd") and in the same-fringe example that
+local properties of a structure (whether a character is `'S'` or not, which
integer occurs at some leaf position) can control global properties of
the computation (whether the preceeding string is copied or not,
whether the computation halts or proceeds).  Local control of
@@ -415,13 +415,13 @@ the following:
| "someone" -> Node (Leaf "exists y", k "y")
| _ -> k s;;

-       let sentence1 = Node (Leaf "John",
+Then we can crudely approximate quantification as follows:
+
+       # let sentence1 = Node (Leaf "John",
Node (Node (Leaf "saw",
Leaf "everyone"),
Leaf "yesterday"));;

-Then we can crudely approximate quantification as follows:
-
# tree_monadize lex sentence1 (fun x -> x);;
- : string tree =
Node
@@ -450,17 +450,17 @@ inverse scope:
Node (Leaf "forall x", Node (Leaf "x", Node (Leaf "saw", Leaf "y"))))

There are many crucially important details about quantification that
-are being simplified here, and the continuation treatment here is not
+are being simplified here, and the continuation treatment used here is not
scalable for a number of reasons.  Nevertheless, it will serve to give
an idea of how continuations can provide insight into the behavior of
-quantifiers.
+quantifiers.

----------------------
+==============

-Of course, by now you may have realized that we have discovered a new
+Of course, by now you may have realized that we are working with a new
so are trees.  Here is the type constructor, unit, and bind:

type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree) * ('a tree);;
@@ -478,20 +478,20 @@ To check the other two laws, we need to make the following
observation: it is easy to prove based on `tree_bind` by a simple
induction on the structure of the first argument that the tree
resulting from `bind u f` is a tree with the same strucure as `u`,
-except that each leaf `a` has been replaced with `f a`:
+except that each leaf `a` has been replaced with the tree returned by `f a`:

.                         .
__|__                     __|__
-                     |   |                     |   |
+                     |   |                    /\   |
a1  .                   f a1  .
_|__                     __|__
-                        |  |                     |   |
+                        |  |                     |   /\
.  a5                    .  f a5
bind         _|__       f   =        __|__
-                       |  |                    |   |
+                       |  |                    |   /\
.  a4                   .  f a4
__|__                   __|___
-                     |   |                   |    |
+                     |   |                  /\    /\
a2  a3                f a2  f a3

Given this equivalence, the right identity law
@@ -529,7 +529,7 @@ Now when we bind this tree to `g`, we get

At this point, it should be easy to convince yourself that
using the recipe on the right hand side of the associative law will
-built the exact same final tree.
+build the exact same final tree.

So binary trees are a monad.

@@ -542,37 +542,5 @@ that is intended to represent non-deterministic computations as a tree.
What's this have to do with tree\_monadize?
--------------------------------------------

-So we've defined a Tree monad:
-
-       type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree) * ('a tree);;
-       let tree_unit (a: 'a) : 'a tree = Leaf a;;
-       let rec tree_bind (u : 'a tree) (f : 'a -> 'b tree) : 'b tree =
-           match u with
-           | Leaf a -> f a
-           | Node (l, r) -> Node (tree_bind l f, tree_bind r f);;
-
-What's this have to do with the `tree_monadize` functions we defined earlier?
-
-       let rec tree_monadize (t : 'a tree) (f : 'a -> 'b reader) : 'b tree reader =
-           match t with
-           | Leaf a -> reader_bind (f a) (fun b -> reader_unit (Leaf b))
-           | Node (l, r) -> reader_bind (tree_monadize l f) (fun l' ->
-
-... and so on for different monads?
-
-Well, notice that `tree\_monadizer` takes arguments whose types
-resemble that of a monadic `bind` function.  Here's a schematic bind