index 46ca442..591fd31 100644 (file)
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-*      How shall we handle \[[&exist;x]]. As we said, GS&V really tell us how to interpret \[[&exist;xPx]], but what they say about this breaks naturally into two pieces, such that we can represent the update of `s` with \[[&exist;xPx]] as:
+*      How shall we handle \[[&exist;x]]. As we said, GS&V really tell us how to interpret \[[&exist;xPx]], but what they say about this breaks naturally into two pieces, such that we can represent the update of our starting set `u` with \[[&exist;xPx]] as:

-       <pre><code>s >>= \[[&exist;x]] >>= \[[Px]]
+       <pre><code>u >>=<sub>set</sub> \[[&exist;x]] >>=<sub>set</sub> \[[Px]]
</code></pre>

What does \[[&exist;x]] need to be here? Here's what they say, on the top of p. 13:

>       The referent system of the remaining possibilities will be extended with a new peg, which is associated with `x`. And for each old possibility `i` in `s`, there will be just as many extensions `i[x/d]` in the new state `s'` and there are entities `d` which in the possible world of `i` have the property P.

-       Deferring the "property P" part, this says:
+       Deferring the "property P" part, this corresponds to:

-       <pre><code>s updated with \[[&exist;x]] &equiv;
-               s >>= (fun (r, h) -> List.map (fun d -> newpeg_and_bind 'x' d) domain)
+       <pre><code>u updated with \[[&exist;x]] &equiv;
+               let extend_one = fun one_dpm ->
+                       fun truth_value ->
+                               if truth_value = false
+                               then empty_set
+                               else List.map (fun d -> new_peg_and_assign 'x' d) domain
+               in bind_set u extend_one
</code></pre>
+
+       where `new_peg_and_assign` is the operation we defined in [hint 3](/hints/assignment_7_hint_3):
+
+               let new_peg_and_assign (var_to_bind : char) (d : entity) =
+                       fun ((r, h) : assignment * store) ->
+                               (* first we calculate an unused index *)
+                               let newindex = List.length h
+                               (* next we store d at h[newindex], which is at the very end of h *)
+                               (* the following line achieves that in a simple but inefficient way *)
+                               in let h' = List.append h [d]
+                               (* next we assign 'x' to location newindex *)
+                               in let r' = fun v ->
+                                       if v = var_to_bind then newindex else r v
+                               (* the reason for returning true as an initial element should now be apparent *)
+                               in (true, r',h')

-       That is, for each pair `(r, h)` in `s`, we collect the result of extending `(r, h)` by allocating a new peg for entity `d`, for each `d` in our whole domain of entities (here designated `domain`), and binding the variable `x` to the index of that peg.
+       What's going on here? For each `bool dpm` in `u` that wraps a `true`, we collect `dpm`s that are the result of extending their input `(r, h)` by allocating a new peg for entity `d`, for each `d` in our whole domain of entities, and binding the variable `x` to the index of that peg. For `bool dpm`s in `u` that wrap `false`, we just discard them. We could if we wanted instead return `unit_set (unit_dpm false)`.

-       A later step can then filter out all the possibilities in which the entity `d` we did that with doesn't have property P.
+       A later step can then filter out all the `dpm`s according to which the
+entity `d` we did that with doesn't have property P.

-       So if we just call the function `(fun (r, h) -> ...)` above \[[&exist;x]], then `s` updated with \[[&exist;x]] updated with \[[Px]] is just:
+       So if we just call the function `extend_one` defined above \[[&exist;x]], then `u` updated with \[[&exist;x]] updated with \[[Px]] is just:

-       <pre><code>s >>= \[[&exist;x]] >>= \[[Px]]
+       <pre><code>u >>= \[[&exist;x]] >>= \[[Px]]
</code></pre>

or, being explicit about which "bind" operation we're representing here with `>>=`, that is:

-       <pre><code>bind_set (bind_set s \[[&exist;x]]) \[[Px]]
+       <pre><code>bind_set (bind_set u \[[&exist;x]]) \[[Px]]
</code></pre>

-*      In def 3.1 on p. 14, GS&V define `s` updated with \[[not &phi;]] as:
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-       >       { i &elem; s | i does not subsist in s[&phi;] }
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-       where `i` *subsists* in <code>s[&phi;]</code> if there are any `i'` that *extend* `i` in <code>s[&phi;]</code>.
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-       Here's how we can represent that:
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-               <pre><code>bind_set s (fun (r, h) ->
-                       let u = unit_set (r, h)
-                       in let descendents = u >>= \[[&phi;]]
-                       in if descendents = empty_set then u else empty_set
-               </code></pre>
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+*      Can you figure out how to handle \[[not &phi;]] on your own? If not, here are some [more hints](/hints/assignment_7_hint_6).