index 5a2a488..fab21e4 100644 (file)
@@ -123,76 +123,59 @@ and that "bool" is any boolean.  Then we can try the following:

[[Hint assignment 5 problem 3]]

------------
-
-Read the lecture notes for week 6, then write a
-function `lift'` that generalized the correspondence between + and
-`add'`: that is, `lift'` takes any two-place operation on integers
-and returns a version that takes arguments of type `int option`
-instead, returning a result of `int option`.  In other words,
-`lift'` will have type
-
-       (int -> int -> int) -> (int option) -> (int option) -> (int option)
-
-so that `lift' (+) (Some 3) (Some 4)` will evalute to `Some 7`.
-Don't worry about why you need to put `+` inside of parentheses.
-You should make use of `bind'` in your definition of `lift'`:
-
-       let bind' (x: int option) (f: int -> (int option)) =
-               match x with None -> None | Some n -> f n;;
-
-
-Booleans, Church numbers, and Church lists in OCaml
----------------------------------------------------
+Booleans, Church numerals, and v3 lists in OCaml
+------------------------------------------------

(These questions adapted from web materials by Umut Acar. See <http://www.mpi-sws.org/~umut/>.)

-The idea is to get booleans, Church numbers, "Church" lists, and
-binary trees working in OCaml.
+Let's think about the encodings of booleans, numerals and lists in System F, and get datastructures with the same explicit form working in OCaml. (The point... so we won't rely on OCaml's native booleans, integers, or lists.)

Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.

-       τ ::= α | τ1 → τ2 | ∀α. τ
-       e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λα. e | e [τ ]
+       types τ ::= c | 'a | τ1 → τ2 | ∀'a. τ
+       expressions e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λ'a. e | e [τ]
+
+The boolean type, and its two values, may be encoded as follows:
+
+       bool := ∀'a. 'a → 'a → 'a
+       true := Λ'a. λt:'a. λf :'a. t
+       false := Λ'a. λt:'a. λf :'a. f

-Recall that bool may be encoded as follows:
+It's used like this:

-       bool := ∀α. α → α → α
-       true := Λα. λt:α. λf :α. t
-       false := Λα. λt:α. λf :α. f
+       b [τ] e1 e2

-(where τ indicates the type of e1 and e2)
+where b is a boolean value, and τ is the shared type of e1 and e2.

-Note that each of the following terms, when applied to the
-appropriate arguments, return a result of type bool.
+**Exercise**. How should we implement the following terms. Note that the result of applying them to the appropriate arguments should also give us a term of type bool.

(a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
(b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
(c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.

+
The type nat (for "natural number") may be encoded as follows:

-       nat := ∀α. α → (α → α) → α
-       zero := Λα. λz:α. λs:α → α. z
-       succ := λn:nat. Λα. λz:α. λs:α → α. s (n [α] z s)
+       nat := ∀'a. 'a → ('a → 'a) → 'a
+       zero := Λ'a. λz:'a. λs:'a → 'a. z
+       succ := λn:nat. Λ'a. λz:'a. λs:'a → 'a. s (n ['a] z s)

-A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n times. In the polymorphic
-encoding above, the result of that iteration can be any type α, as long as you have a base element z : α and
-a function s : α → α.
+A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n
+times. In the polymorphic encoding above, the result of that iteration can be
+any type 'a, as long as you have a base element z : 'a and a function s : 'a → 'a.

**Excercise**: get booleans and Church numbers working in OCaml,
including OCaml versions of bool, true, false, zero, succ, add.

Consider the following list type:

-       type ’a list = Nil | Cons of ’a * ’a list
+       type 'a list = Nil | Cons of 'a * 'a list

We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:

-       τ list := ∀α. α → (τ → α → α) → α
-       nilτ := Λα. λn:α. λc:τ → α → α. n
-       makeListτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)
+       τ list := ∀'a. 'a → (τ → 'a → 'a) → 'a
+       nilτ := Λ'a. λn:'a. λc:τ → 'a → 'a. n
+       makeListτ := λh:τ. λt:τ list. Λ'a. λn:'a. λc:τ → 'a → 'a. c h (t ['a] n c)

As with nats, recursion is built into the datatype.

@@ -206,7 +189,7 @@ Test with simple lists.

Consider the following simple binary tree type:

-       type ’a tree = Leaf | Node of ’a tree * ’a * ’a tree
+       type 'a tree = Leaf | Node of 'a tree * 'a * 'a tree

**Excercise**
Write a function `sumLeaves` that computes the sum of all the
@@ -215,3 +198,23 @@ leaves in an int tree.
Write a function `inOrder` : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
may assume the above encoding of lists; deﬁne any auxiliary functions you need.

+-----------
+
+Read the lecture notes for week 6, then write a
+function `lift'` that generalized the correspondence between + and
+`add'`: that is, `lift'` takes any two-place operation on integers
+and returns a version that takes arguments of type `int option`
+instead, returning a result of `int option`.  In other words,
+`lift'` will have type
+
+       (int -> int -> int) -> (int option) -> (int option) -> (int option)
+
+so that `lift' (+) (Some 3) (Some 4)` will evalute to `Some 7`.
+Don't worry about why you need to put `+` inside of parentheses.
+You should make use of `bind'` in your definition of `lift'`:
+
+       let bind' (x: int option) (f: int -> (int option)) =
+               match x with None -> None | Some n -> f n;;
+
+