index 4a4e06d..f402ec6 100644 (file)
Assignment 5

Assignment 5

-Types and OCAML
+Types and OCaml
---------------

---------------

-0. Recall that the S combinator is given by \x y z. x z (y z).
-   Give two different typings for this function in OCAML.
-   To get you started, here's one typing for K:
+0.     Recall that the S combinator is given by \x y z. x z (y z).
+       Give two different typings for this function in OCaml.
+       To get you started, here's one typing for K:

-    # let k (y:'a) (n:'b) = y;;
-    val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
-    # k 1 true;;
-    - : int = 1
+               # let k (y:'a) (n:'b) = y;;
+               val k : 'a -> 'b -> 'a = [fun]
+               # k 1 true;;
+               - : int = 1

-1. Which of the following expressions is well-typed in OCAML?
-   For those that are, give the type of the expression as a whole.
-   For those that are not, why not?
+1.     Which of the following expressions is well-typed in OCaml? For those that
+       are, give the type of the expression as a whole. For those that are not, why
+       not?

-    let rec f x = f x;;
+               let rec f x = f x;;

-    let rec f x = f f;;
+               let rec f x = f f;;

-    let rec f x = f x in f f;;
+               let rec f x = f x in f f;;

-    let rec f x = f x in f ();;
+               let rec f x = f x in f ();;

-    let rec f () = f f;;
+               let rec f () = f f;;

-    let rec f () = f ();;
+               let rec f () = f ();;

-    let rec f () = f () in f f;;
+               let rec f () = f () in f f;;

-    let rec f () = f () in f ();;
+               let rec f () = f () in f ();;

-2. Throughout this problem, assume that we have
+2.     Throughout this problem, assume that we have

-    let rec omega x = omega x;;
+               let rec blackhole x = blackhole x;;

-   All of the following are well-typed.
-   Which ones terminate?  What are the generalizations?
+       All of the following are well-typed.
+       Which ones terminate?  What are the generalizations?

-    omega;;
+               blackhole;;

-    omega ();;
+               blackhole ();;

-    fun () -> omega ();;
+               fun () -> blackhole ();;

-    (fun () -> omega ()) ();;
+               (fun () -> blackhole ()) ();;

-    if true then omega else omega;;
+               if true then blackhole else blackhole;;

-    if false then omega else omega;;
+               if false then blackhole else blackhole;;

-    if true then omega else omega ();;
+               if true then blackhole else blackhole ();;

-    if false then omega else omega ();;
+               if false then blackhole else blackhole ();;

-    if true then omega () else omega;;
+               if true then blackhole () else blackhole;;

-    if false then omega () else omega;;
+               if false then blackhole () else blackhole;;

-    if true then omega () else omega ();;
+               if true then blackhole () else blackhole ();;

-    if false then omega () else omega ();;
+               if false then blackhole () else blackhole ();;

-    let _ = omega in 2;;
+               let _ = blackhole in 2;;

-    let _ = omega () in 2;;
+               let _ = blackhole () in 2;;

-3. This problem is to begin thinking about controlling order of evaluation.
+3.     This problem is to begin thinking about controlling order of evaluation.
The following expression is an attempt to make explicit the
behavior of `if`-`then`-`else` explored in the previous question.
The following expression is an attempt to make explicit the
behavior of `if`-`then`-`else` explored in the previous question.
-The idea is to define an `if`-`then`-`else` expression using
-other expression types.  So assume that "yes" is any OCAML expression,
-and "no" is any other OCAML expression (of the same type as "yes"!),
+The idea is to define an `if`-`then`-`else` expression using
+other expression types.  So assume that "yes" is any OCaml expression,
+and "no" is any other OCaml expression (of the same type as "yes"!),
and that "bool" is any boolean.  Then we can try the following:
"if bool then yes else no" should be equivalent to

and that "bool" is any boolean.  Then we can try the following:
"if bool then yes else no" should be equivalent to

-    let b = bool in
-    let y = yes in
-    let n = no in
-    match b with true -> y | false -> n
+               let b = bool in
+               let y = yes in
+               let n = no in
+               match b with true -> y | false -> n

-This almost works.  For instance,
+       This almost works.  For instance,

-    if true then 1 else 2;;
+               if true then 1 else 2;;

-evaluates to 1, and
+       evaluates to 1, and

-    let b = true in let y = 1 in let n = 2 in
-    match b with true -> y | false -> n;;
+               let b = true in let y = 1 in let n = 2 in
+               match b with true -> y | false -> n;;

-also evaluates to 1.  Likewise,
+       also evaluates to 1.  Likewise,

-    if false then 1 else 2;;
+               if false then 1 else 2;;

-and
+       and

-    let b = false in let y = 1 in let n = 2 in
-    match b with true -> y | false -> n;;
+               let b = false in let y = 1 in let n = 2 in
+               match b with true -> y | false -> n;;

-both evaluate to 2.
+       both evaluate to 2.

-However,
+       However,

-    let rec omega x = omega x in
-    if true then omega else omega ();;
+               let rec blackhole x = blackhole x in
+               if true then blackhole else blackhole ();;

-terminates, but
+       terminates, but

-    let rec omega x = omega x in
-    let b = true in
-    let y = omega in
-    let n = omega () in
-    match b with true -> y | false -> n;;
+               let rec blackhole x = blackhole x in
+               let b = true in
+               let y = blackhole in
+               let n = blackhole () in
+               match b with true -> y | false -> n;;

-does not terminate.  Incidentally, `match bool with true -> yes |
-false -> no;;` works as desired, but your assignment is to solve it
-without using the magical evaluation order properties of either `if`
-or of `match`.  That is, you must keep the `let` statements, though
-you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.
+       does not terminate.  Incidentally, `match bool with true -> yes |
+       false -> no;;` works as desired, but your assignment is to solve it
+       without using the magical evaluation order properties of either `if`
+       or of `match`.  That is, you must keep the `let` statements, though
+       you're allowed to adjust what `b`, `y`, and `n` get assigned to.

-[[Hint assignment 5 problem 3]]
+       [[hints/assignment 5 hint 1]]

------------
+Booleans, Church numerals, and v3 lists in OCaml
+------------------------------------------------
+
+(These questions adapted from web materials by Umut Acar. See
+<http://www.mpi-sws.org/~umut/>.)
+
+Let's think about the encodings of booleans, numerals and lists in System F,
+and get data-structures with the same form working in OCaml. (Of course, OCaml
+has *native* versions of these datas-structures: its `true`, `1`, and `[1;2;3]`.
+But the point of our exercise requires that we ignore those.)
+
+Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.
+
+       types τ ::= c | 'a | τ1 → τ2 | ∀'a. τ
+       expressions e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λ'a. e | e [τ]
+
+The boolean type, and its two values, may be encoded as follows:
+
+       bool := ∀'a. 'a → 'a → 'a
+       true := Λ'a. λt:'a. λf :'a. t
+       false := Λ'a. λt:'a. λf :'a. f

-   Read the lecture notes for week 6, then write a
-   function `lift` that generalized the correspondence between + and
-   `add`: that is, `lift` takes any two-place operation on integers
-   and returns a version that takes arguments of type `int option`
-   instead, returning a result of `int option`.  In other words,
-   `lift` will have type
+It's used like this:

-     (int -> int -> int) -> (int option) -> (int option) -> (int option)
+       b [τ] e1 e2

-   so that `lift (+) (Some 3) (Some 4)` will evalute to `Some 7`.
-   Don't worry about why you need to put `+` inside of parentheses.
-   You should make use of `bind` in your definition of `lift`:
+where b is a boolean value, and τ is the shared type of e1 and e2.

-    let bind (x: int option) (f: int -> (int option)) =
-      match x with None -> None | Some n -> f n;;
+**Exercise**. How should we implement the following terms. Note that the result
+of applying them to the appropriate arguments should also give us a term of
+type bool.

+(a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
+(b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
+(c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.

-Booleans, Church numbers, and Church lists in OCAML
----------------------------------------------------

-These questions adapted from web materials written by some smart dude named Acar.
-The idea is to get booleans, Church numbers, "Church" lists, and
-binary trees working in OCAML.
+The type nat (for "natural number") may be encoded as follows:

-   Recall from class System F, or the polymorphic λ-calculus.
+       nat := ∀'a. 'a → ('a → 'a) → 'a
+       zero := Λ'a. λz:'a. λs:'a → 'a. z
+       succ := λn:nat. Λ'a. λz:'a. λs:'a → 'a. s (n ['a] z s)

-    τ ::= α | τ1 → τ2 | ∀α. τ
-    e ::= x | λx:τ. e | e1 e2 | Λα. e | e [τ ]
+A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n
+times. In the polymorphic encoding above, the result of that iteration can be
+any type 'a, as long as you have a base element z : 'a and a function s : 'a → 'a.

-   Recall that bool may be encoded as follows:
+**Exercise**: get booleans and Church numbers working in OCaml,
+including OCaml versions of bool, true, false, zero, iszero, succ, and pred.
+It's especially useful to do a version of pred, starting with one
+of the (untyped) versions available in the lambda library
+accessible from the main wiki page.  The point of the excercise
+is to do these things on your own, so avoid using the built-in
+OCaml booleans and integers.

-    bool := ∀α. α → α → α
-    true := Λα. λt:α. λf :α. t
-    false := Λα. λt:α. λf :α. f
+Consider the following list type:

-   (where τ indicates the type of e1 and e2)
+       type 'a list = Nil | Cons of 'a * 'a list

-   Note that each of the following terms, when applied to the
-   appropriate arguments, return a result of type bool.
+We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:

-    (a) the term not that takes an argument of type bool and computes its negation;
-    (b) the term and that takes two arguments of type bool and computes their conjunction;
-    (c) the term or that takes two arguments of type bool and computes their disjunction.
+       τ list := ∀'a. 'a → (τ → 'a → 'a) → 'a
+       nil τ := Λ'a. λn:'a. λc:τ → 'a → 'a. n
+       make_list τ := λh:τ. λt:τ list. Λ'a. λn:'a. λc:τ → 'a → 'a. c h (t ['a] n c)

-   The type nat (for "natural number") may be encoded as follows:
+More generally, the polymorphic list type is:

-    nat := ∀α. α → (α → α) → α
-    zero := Λα. λz:α. λs:α → α. z
-    succ := λn:nat. Λα. λz:α. λs:α → α. s (n [α] z s)
+       list := ∀'b. ∀'a. 'a → ('b → 'a → 'a) → 'a

-   A nat n is deﬁned by what it can do, which is to compute a function iterated n times. In the polymorphic
-   encoding above, the result of that iteration can be any type α, as long as you have a base element z : α and
-   a function s : α → α.
+As with nats, recursion is built into the datatype.

-   **Excercise**: get booleans and Church numbers working in OCAML,
-     including OCAML versions of bool, true, false, zero, succ, add.
+We can write functions like map:

-   Consider the following list type:
+       map : (σ → τ ) → σ list → τ list

-    type ’a list = Nil | Cons of ’a * ’a list
+<!--
+               = λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nil τ (λx:σ. λy:τ list. make_list τ (f x) y
+-->

-   We can encode τ lists, lists of elements of type τ as follows:
+**Excercise** convert this function to OCaml. We've given you the type; you
+only need to give the term.

-    τ list := ∀α. α → (τ → α → α) → α
-    nilτ := Λα. λn:α. λc:τ → α → α. n
-    makeListτ := λh:τ. λt:τ list. Λα. λn:α. λc:τ → α → α. c h (t [α] n c)
+Also give us the type and definition for a `head` function. Think about what
+value to give back if the argument is the empty list.  Ultimately, we might
+want to make use of our `'a option` technique, but for this assignment, just
+pick a strategy, no matter how clunky.

-   As with nats, recursion is built into the datatype.
+Be sure to test your proposals with simple lists. (You'll have to `make_list`
+the lists yourself; don't expect OCaml to magically translate between its
+native lists and the ones you buil.d)

-   We can write functions like map:

-    map : (σ → τ ) → σ list → τ list
-      := λf :σ → τ. λl:σ list. l [τ list] nilτ (λx:σ. λy:τ list. consτ (f x) y
+<!--
+Consider the following simple binary tree type:
+
+       type 'a tree = Leaf | Node of 'a tree * 'a * 'a tree
+
+**Excercise**
+Write a function `sum_leaves` that computes the sum of all the leaves in an int
+tree.
+
+Write a function `in_order` : τ tree → τ list that computes the in-order
+traversal of a binary tree. You may assume the above encoding of lists; deﬁne
+any auxiliary functions you need.
+-->
+
+
+-----------
+
+Read the material on dividing by zero/towards monads from <strike>the end of lecture
+notes for week 6</strike> the start of lecture notes for week 7, then write a function `lift'` that generalized the
+correspondence between + and `add'`: that is, `lift'` takes any two-place
+operation on integers and returns a version that takes arguments of type `int
+option` instead, returning a result of `int option`.  In other words, `lift'`
+will have type:

-   **Excercise** convert this function to OCAML.  Also write an `append` function.
-   Test with simple lists.
+       (int -> int -> int) -> (int option) -> (int option) -> (int option)

-   Consider the following simple binary tree type:
+so that `lift' (+) (Some 3) (Some 4)` will evalute to `Some 7`.
+Don't worry about why you need to put `+` inside of parentheses.
+You should make use of `bind'` in your definition of `lift'`:

-    type ’a tree = Leaf | Node of ’a tree * ’a * ’a tree
+       let bind' (u: int option) (f: int -> (int option)) =
+               match u with None -> None | Some x -> f x;;

-   **Excercise**
-   Write a function `sumLeaves` that computes the sum of all the
-   leaves in an int tree.

-   Write a function `inOrder` : τ tree → τ list that computes the in-order traversal of a binary tree. You
-   may assume the above encoding of lists; deﬁne any auxiliary functions you need.