index cd89a13..9b7ec2c 100644 (file)
@@ -12,46 +12,132 @@ can use.

#Comparing lists for equality#

#Comparing lists for equality#

+
<OL start=2>
<OL start=2>
-<LI>blah
+<LI>Suppose you have two lists of integers, left and right. You want to
+determine whether those lists are equal: that is, whether they have all the
+same members in the same order. (Equality for the lists we're working with is
+*extensional*, or parasitic on the equality of their members, and the list
+structure. Later in the course we'll see lists which aren't extensional in this
+way.)
+
+How would you implement such a list comparison?
+
+(See [[hints/Assignment 4 hint 2]] if you need some hints.)
</OL>
</OL>
-<!--
-let list_equal =
-    \left right. left
-                ; here's our f
-                (\hd sofar.
-                    ; deconstruct our sofar-pair
-                    sofar (\might_be_equal right_tail.
-                        ; our new sofar
-                        make_pair
-                        (and (and might_be_equal (not (isempty right_tail))) (eq? hd (head right_tail)))
-                        (tail right_tail)
-                    ))
-                ; here's our z
-                ; we pass along the fold a pair
-                ; (might_for_all_i_know_still_be_equal?, tail_of_reversed_right)
-                ; when left is empty, the lists are equal if right is empty
-                (make_pair
-                    true ; for all we know so far, they might still be equal
-                    (reverse right)
-                )
-                ; when fold is finished, check sofar-pair
-                (\might_be_equal right_tail. and might_be_equal (isempty right_tail))
--->

-#Mutually-recursive functions#
+
+#Enumerating the fringe of a leaf-labeled tree#
+

<OL start=3>

<OL start=3>
-<LI>blah
+<LI>Write an implementation of leaf-labeled trees. You can do something v3-like, or use the Y combinator, as you prefer.
+
+You'll need an operation make_leaf that turns a label into a new leaf. You'll
+need an operation make_node that takes two subtrees (perhaps leaves, perhaps
+other nodes) and joins them into a new tree. You'll need an operation isleaf
+that tells you whether a given tree is a leaf. And an operation extract_label
+that tells you what value is associated with a given leaf. And an operation
+extract_left that tells you what the left subtree is of a tree that isn't a
+leaf. (Presumably, extract_right will work similarly.)
+
+<LI>The **fringe** of a leaf-labeled tree is the list of values at its leaves,
+ordered from left to right. For example, the fringe of this tree:
+
+               .
+          / \
+         .   3
+        / \
+       1   2
+
+is [1;2;3]. And that is also the fringe of this tree:
+
+               .
+          / \
+         1   .
+            / \
+        2   3
+
+The two trees are different, but they have the same fringe. We're going to
+return later in the term to the problem of determining when two trees have the
+same fringe. For now, one straightforward way to determine this would be:
+enumerate the fringe of the first tree. That gives you a list. Enumerate the
+fringe of the second tree. That also gives you a list. Then compare the two
+lists to see if they're equal.
+
+Write the fringe-enumeration function. It should work on the
+implementation of trees you designed in the previous step.
+
+Then combine this with the list comparison function you wrote for question 2,
+to yield a same-fringe detector. (To use your list comparison function, you'll
+have to make sure you only use Church numerals as the labels of your leaves,
+though nothing enforces this self-discipline.)
</OL>

</OL>

-#Enumerating the fringe of a leaf-labeled tree#

-[[Implementing trees]]
+#Mutually-recursive functions#
+
+<OL start=5>
+<LI>(Challenging.) One way to define the function even is to have it hand off
+part of the work to another function odd:
+
+       let even = \x. iszero x
+                                       ; if x == 0 then result is
+                                       true
+                                       ; else result turns on whether x's pred is odd
+                                       (odd (pred x))
+
+At the same tme, though, it's natural to define odd in such a way that it
+hands off part of the work to even:
+
+       let odd = \x. iszero x
+                                       ; if x == 0 then result is
+                                       false
+                                       ; else result turns on whether x's pred is even
+                                       (even (pred x))
+
+Such a definition of even and odd is called **mutually recursive**. If you
+trace through the evaluation of some sample numerical arguments, you can see
+that eventually we'll always reach a base step. So the recursion should be
+perfectly well-grounded:
+
+       even 3
+       ~~> iszero 3 true (odd (pred 3))
+       ~~> odd 2
+       ~~> iszero 2 false (even (pred 2))
+       ~~> even 1
+       ~~> iszero 1 true (odd (pred 1))
+       ~~> odd 0
+       ~~> iszero 0 false (even (pred 0))
+       ~~> false
+
+But we don't yet know how to implement this kind of recursion in the lambda
+calculus.
+
+The fixed point operators we've been working with so far worked like this:
+
+       let X = Y T in
+       X <~~> T X
+
+Suppose we had a pair of fixed point operators, Y1 and Y2, that operated on
+a *pair* of functions T1 and T2, as follows:
+
+       let X1 = Y1 T1 T2 in
+       let X2 = Y2 T1 T2 in
+       X1 <~~> T1 X1 X2 and
+       X2 <~~> T2 X1 X2
+
+If we gave you such a Y1 and Y2, how would you implement the above
+definitions of even and odd?
+
+
+<LI>(More challenging.) Using our derivation of Y from the [Week3
+notes](/week3/#index4h2) as a model, construct a pair Y1 and Y2 that behave
+in the way described.

+(See [[hints/Assignment 4 hint 3]] if you need some hints.)

-<OL start=4>
-<LI>blah
</OL>

</OL>