arithmetic -> lambda_library
[lambda.git] / assignment3.mdwn
index 71960dc..6f4f3f6 100644 (file)
@@ -4,29 +4,138 @@ Assignment 3
 Once again, the lambda evaluator will make working through this
 assignment much faster and more secure.
 
-*Writing recursive functions on version 1 style lists*
+#Writing recursive functions on version 1 style lists#
 
-Recall that version 1 style lists are constructed like this:
+Recall that version 1 style lists are constructed like this (see
+[[lists and numbers]]):
 
 <pre>
+; booleans
 let true = \x y. x in
 let false = \x y. y in
+let and = \l r. l (r true false) false in
+
+; version 1 lists
 let makePair = \f s g. g f s in
-let nil = makePair true meh in
-let makeList = \h t. makePair false (makePair h t) in
-let mylist = makeList 1 (makeList 2 (makeList 3 nil)) in
 let fst = true in
 let snd = false in
+let nil = makePair true meh in
 let isNil = \x. x fst in
+let makeList = \h t. makePair false (makePair h t) in
 let head = \l. isNil l err (l snd fst) in
 let tail = \l. isNil l err (l snd snd) in
-let succ = \n s z. s (n s z) in
+
+; a list of numbers to experiment on
+let mylist = makeList 1 (makeList 2 (makeList 3 nil)) in
+
+; a fixed-point combinator for defining recursive functions 
 let Y = \f. (\h. f (h h)) (\h. f (h h)) in
+
+; church numerals
+let isZero = \n. n (\x. false) true in
+let succ = \n s z. s (n s z) in
+let mult = \m n s. m (n s) in
 let length = Y (\length l. isNil l 0 (succ (length (tail l)))) in
+let pred = \n. isZero n 0 (length (tail (n (\p. makeList meh p) nil)))
+in
+let leq = \m n. isZero(n pred m) in
+let eq = \m n. and (leq m n)(leq n m) in
 
-length mylist
+eq 2 2 yes no
 </pre>
 
+
 Then `length mylist` evaluates to 3.
 
-What does `head (tail (tail mylist))` evaluate to?
+1. What does `head (tail (tail mylist))` evaluate to?
+
+2. Using the `length` function as a model, and using the predecessor
+function, write a function that computes factorials.  (Recall that n!,
+the factorial of n, is n times the factorial of n-1.)
+
+Warning: my browser isn't able to compute factorials of numbers
+greater than 2 (it does't provide enough resources for the JavaScript
+interpreter; web pages are not supposed to be that computationally
+intensive).
+
+3. (Easy) Write a function `listLenEq` that returns true just in case
+two lists have the
+same length.  That is,
+
+     listLenEq mylist (makeList meh (makeList meh (makeList meh nil)))
+     ~~> true
+
+     listLenEq mylist (makeList meh (makeList meh nil))) ~~> false
+
+
+4. (Still easy) Now write the same function, but don't use the length
+function.
+
+5. In assignment 2, we discovered that version 3-type lists (the ones
+that
+work like Church numerals) made it much easier to define operations
+like `map` and `filter`.  But now that we have recursion in our
+toolbox,
+reasonable map and filter functions for version 1 lists are within our
+reach.  Give definitions for `map` and a `filter` for verson 1 type
+lists.
+
+#Computing with trees#
+
+Linguists analyze natural language expressions into trees.  
+We'll need trees in future weeks, and tree structures provide good
+opportunities for learning how to write recursive functions.
+Making use of the resources we have at the moment, we can approximate
+trees as follows: instead of words, we'll use Church numerals.
+Then a tree will be a (version 1 type) list in which each element is
+itself a tree.  For simplicity, we'll adopt the convention that 
+a tree of length 1 must contain a number as its only element.  
+Then we have the following representations:
+
+<pre>
+   (a)           (b)             (c)  
+    .
+   /|\            /\              /\
+  / | \          /\ 3            1 /\
+  1 2  3        1  2               2 3
+
+[[1];[2];[3]]  [[[1];[2]];[3]]   [[1];[[2];[3]]]
+</pre>
+
+Limitations of this scheme include the following: there is no easy way
+to label a constituent with a syntactic category (S or NP or VP,
+etc.), and there is no way to represent a tree in which a mother has a
+single daughter.
+
+When processing a tree, you can test for whether the tree contains
+only a numeral (in which case the tree is leaf node) by testing for
+whether the length of the list is less than or equal to 1.  This will
+be your base case for your recursive functions that operate on these
+trees.
+
+1.    Write a function that sums the number of leaves in a tree.
+
+Expected behavior:
+
+<pre>
+let t1 = (makeList 1 nil) in
+let t2 = (makeList 2 nil) in
+let t3 = (makeList 3 nil) in
+let t12 = (makeList t1 (makeList t2 nil)) in
+let t23 = (makeList t2 (makeList t3 nil)) in
+let ta = (makeList t1 t23) in
+let tb = (makeList t12 t3) in
+let tc = (makeList t1 (makeList t23 nil)) in
+
+sum-leaves t1 ~~> 1
+sum-leaves t2 ~~> 2
+sum-leaves t3 ~~> 3
+sum-leaves t12 ~~> 3
+sum-leaves t23 ~~> 5
+sum-leaves ta ~~> 6
+sum-leaves tb ~~> 6
+sum-leaves tc ~~> 6
+</pre>
+
+2.   Write a function that counts the number of leaves.
+