index 05787ca..ea8f251 100644 (file)
-Reduction
----------
+1.  Define a function `zero?` that expects a single number as an argument, and returns `'true` if that number is `0`, else returns `'false`. Your solution should have a form something like this:

-Find "normal forms" for the following---that is, reduce them until no more reductions are possible. We'll write <code>&lambda;x</code> as `\x`.
+        let
+          zero? match lambda x. FILL_IN_THIS_PART
+        in zero?

-1. `(\x \y. y x) z`
-2. `(\x (x x)) z`
-3. `(\x (\x x)) z`
-4. `(\x (\z x)) z`
-5. `(\x (x (\y y))) (\z (z z))`
-6. `(\x (x x)) (\x (x x))`
-7. `(\x (x x x)) (\x (x x x))`
+    You can use the `if...then...else` construction if you like, but it will make it easier to generalize to later problems if you use the `case EXPRESSION of PATTERN1 then RESULT1; PATTERN2 then RESULT2; ... end` construction instead.

+2.  Define a function `empty?` that expects a sequence of values as an argument (doesn't matter what type of values), and returns `'true` if that sequence is the empty sequence `[]`, else returns `'false`. Here your solution should have a form something like this:

-Booleans
---------
+        let
+          empty? match lambda xs. case xs of
+                                     FILL_IN_THIS_PART
+                                  end
+        in empty?

-Recall our definitions of true and false.
+3.  Define a function `tail` that expects a sequence of values as an argument (doesn't matter what type of values), and returns that sequence with the first element (if any) stripped away. (Applying `tail` to the empty sequence `[]` can just give us back the empty sequence.)

->   `true` defined to be `\t \f. t`
->   `false` defined to be `\t \f. f`
+4.  Define a function `drop` that expects two arguments, in the form (*number*, *sequence*), and works like this:

-In Racket, these can be defined like this:
+        drop (0, [10, 20, 30])  # evaluates to [10, 20, 30]
+        drop (1, [10, 20, 30])  # evaluates to [20, 30]
+        drop (2, [10, 20, 30])  # evaluates to 
+        drop (3, [10, 20, 30])  # evaluates to []
+        drop (4, [10, 20, 30])  # evaluates to []

-       (define true (lambda (t) (lambda (f) t)))
-       (define false (lambda (t) (lambda (f) f)))
+    Your solution should have a form something like this:

-<OL start=8>
-<LI>Define a `neg` operator that negates `true` and `false`.
+        letrec
+          drop match lambda (n, xs). FILL_IN_THIS_PART
+        in drop

-Expected behavior:
+    What is the relation between `tail` and `drop`?

-    (((neg true) 10) 20)
+5.  Define a function `take` that expects two arguments, in the same form as `drop`, but works like this instead:

-evaluates to 20, and
+        take (0, [10, 20, 30])  # evaluates to []
+        take (1, [10, 20, 30])  # evaluates to 
+        take (2, [10, 20, 30])  # evaluates to [10, 20]
+        take (3, [10, 20, 30])  # evaluates to [10, 20, 30]
+        take (4, [10, 20, 30])  # evaluates to [10, 20, 30]

-    (((neg false) 10) 20)
+6.  Define a function `split` that expects two arguments, in the same form as `drop` and `take`, but this time evaluates to a pair of results. It works like this:

-evaluates to 10.
+        split (0, [10, 20, 30])  # evaluates to ([], [10, 20, 30])
+        split (1, [10, 20, 30])  # evaluates to (, [20, 30])
+        split (2, [10, 20, 30])  # evaluates to ([10, 20], )
+        split (3, [10, 20, 30])  # evaluates to ([10, 20, 30], [])
+        split (4, [10, 20, 30])  # evaluates to ([10, 20, 30], [])

-<LI>Define an `and` operator.
+    Here's a way to answer this problem making use of your answers to previous questions:

-<LI>Define an `xor` operator.
+        letrec
+          drop match ... ; # as in problem 4
+          take match ... ; # as in problem 5
+          split match lambda (n, xs). let
+                                        ys = take (n, xs);
+                                        zs = drop (n, xs)
+                                      in (ys, zs)
+        in split

-If you haven't seen this term before, here's a truth table:
+    However, we want you to instead write this function from scratch.

-    true xor true = false
-    true xor false = true
-    false xor true = true
-    false xor false = false
+7.  Write a function `filter` that expects two arguments. The second argument will be a sequence `xs` with elements of some type *t*, for example numbers. The first argument will be a function `p` that itself expects arguments of type *t* and returns `'true` or `'false`. What `filter` should return is a sequence that contains exactly those members of `xs` for which `p` returned `'true`. For example, helping ourself to a function `odd?` that works as you'd expect:

+        filter (odd?, [11, 12, 13, 14])  # evaluates to [11, 13]
+        filter (odd?, )              # evaluates to 
+        filter (odd?, [12, 14])          # evaluates to []

-<LI>Inspired by our definition of boolean values, propose a data structure
-capable of representing one of the two values `black` or `white`.
-If we have
-one of those values, call it a "black-or-white value", we should be able to
-write:
+8.  Write a function `partition` that expects two arguments, in the same form as `filter`, but this time evaluates to a pair of results. It works like this:

-       the-value if-black if-white
+        partition (odd?, [11, 12, 13, 14])  # evaluates to ([11, 13], [12, 14])
+        partition (odd?, )              # evaluates to (, [])
+        partition (odd?, [12, 14])          # evaluates to ([], [12, 14])

-(where `if-black` and `if-white` are anything), and get back one of `if-black` or
-`if-white`, depending on which of the black-or-white values we started with. Give
-a definition for each of `black` and `white`. (Do it in both lambda calculus
-and also in Racket.)
+9.  Write a function `double` that expects one argument which is a sequence of numbers, and returns a sequence of the same length with the corresponding elements each being twice the value of the original element. For example:

-<LI>Now propose a data structure capable of representing one of the three values
-`red` `green` or `blue`, based on the same model. (Do it in both lambda
-calculus and also in Racket.)
-</OL>
+        double [10, 20, 30]  # evaluates to [20, 40, 60]
+        double []            # evaluates to []

+10.  Write a function `map` that generalizes `double`. This function expects a pair of arguments, the second being a sequence `xs` with elements of some type *t*, for example numbers. The first argument will be a function `f` that itself expects arguments of type *t* and returns some type *t'* of result. What `map` should return is a sequence of the results, in the same order as the corresponding original elements. The result should be that we could say:

+        letrec
+          map match lambda (f, xs). FILL_IN_THIS_PART;
+          double match lambda xs. map ((lambda x. 2*x), xs)
+        in ...

-Pairs
------
+11. Write a function `map2` that generalizes `map`. This function expects a triple of arguments: the first being a function `f` as for `map`, and the second and third being two sequences. In this case `f` is a function that expects *two* arguments, one from the first of the sequences and the other from the corresponding position in the other sequence. The result should behave like this:

-Recall our definitions of ordered pairs.
+        map2 ((lambda (x,y). 10*x + y), [1, 2, 3], [4, 5, 6])  # evaluates to [14, 25, 36]

->   the pair (x,y) is defined as `\f. f x y`

-To extract the first element of a pair p, you write:
+###Extra credit problems###

-       p (\fst \snd. fst)
+*   In class I mentioned a function `&&` which occupied the position *between* its arguments, rather than coming before them (this is called an "infix" function). The way that it works is that `[1, 2, 3] && [4, 5]` evaluates to `[1, 2, 3, 4, 5]`. Define this function, making use of `letrec` and the simpler infix operation `&`.

-Here are some definitions in Racket:
+*   Write a function `unmap2` that is something like the inverse of `map2`. This function expects two arguments, the second being a sequence of elements of some type *t*. The first is a function `g` that expects a single argument of type *t* and returns a *pair* of results, rather than just one result. We want to collate these results, the first into one list, and the second into a different list. Then `unmap2` should return those two lists. Thus if:

-       (define make-pair (lambda (fst) (lambda (snd) (lambda (f) ((f fst) snd)))))
-       (define get-first (lambda (fst) (lambda (snd) fst)))
-       (define get-second (lambda (fst) (lambda (snd) snd)))
+        g z1  # evaluates to [x1, y1]
+        g z2  # evaluates to [x2, y2]
+        g z3  # evaluates to [x3, y3]

-Now we can write:
+    Then `unmap2 (g, [z1, z2, z3])` should evaluate to `([x1, x2, x3], [y1, y2, y3])`.

-       (define p ((make-pair 10) 20))
-       (p get-first)   ; will evaluate to 10
-       (p get-second)  ; will evaluate to 20
+*   Write a function `takewhile` that expects a `p` argument like `filter`, and also a sequence. The result should behave like this:

-If you're bothered by having the pair to the left and the function that
-operates on it come second, think about why it's being done this way: the pair
-is a package that takes a function for operating on its elements as an
-argument, and returns the result of operating on its elemens with that
-function. In other words, the pair is also a function.  (Of course, in the
-untyped lambda calculus, absolutely *everything* is a function: functors,
-arguments, abstracts, redexes, values---everything.)
+        takewhile ((lambda x. x < 10), [1, 2, 20, 4, 40]) # evaluates to [1, 2]

-If you like, you can disguise what's going on like this:
+    Note that we stop "taking" once we reach `20`, even though there are still later elements in the list that are less than `10`.

-       (define lifted-get-first (lambda (p) (p get-first)))
-       (define lifted-get-second (lambda (p) (p get-second)))
+*   Write a function `dropwhile` that expects a `p` argument like `filter`, and also a sequence. The result should behave like this:

-Now you can write:
+        dropwhile ((lambda x. x < 10), [1, 2, 20, 4, 40]) # evaluates to [20, 4, 40]

-       (lifted-get-first p)
+    Note that we stop "dropping" once we reach `20`, even though there are still later elements in the list that are less than `10`.

-
-       (p get-first)
-
-However, the latter is still what's going on under the hood.
-
-
-<OL start=13>
-<LI>Define a `swap` function that reverses the elements of a pair.
-
-Expected behavior:
-
-       (define p ((make-pair 10) 20))
-       ((p swap) get-first) ; evaluates to 20
-       ((p swap) get-second) ; evaluates to 10
-
-Write out the definition of swap in Racket.
-
-
-<LI>Define a `dup` function that duplicates its argument to form a pair
-whose elements are the same.
-Expected behavior:
-
-       ((dup 10) get-first) ; evaluates to 10
-       ((dup 10) get-second) ; evaluates to 10
-
-<LI>Define a `sixteen` function that makes
-sixteen copies of its argument (and stores them in a data structure of
-your choice).
-
-<LI>Inspired by our definition of ordered pairs, propose a data structure capable of representing ordered triples. That is,
-
-       (((make-triple M) N) P)
-
-should return an object that behaves in a reasonable way to serve as a triple. In addition to defining the `make-triple` function, you have to show how to extract elements of your triple. Write a `get-first-of-triple` function, that does for triples what `get-first` does for pairs. Also write `get-second-of-triple` and `get-third-of-triple` functions.
-
-<LI>Write a function `second-plus-third` that when given to your triple, returns the result of adding the second and third members of the triple.
-
-You can help yourself to the following definition:
-
-       (define add (lambda (x) (lambda (y) (+ x y))))
-
-<!-- Write a function that reverses the order of the elements in a list. [Only attempt this problem if you're feeling frisky, it's super hard unless you have lots of experience programming.]  -->
-
-</OL>
+*   Write a function `reverse` that returns the reverse of a sequence. Thus, `reverse [1, 2, 3, 4]` should evaluate to `[4, 3, 2, 1]`.