index 078bec2..fe12655 100644 (file)
@@ -104,60 +104,77 @@ Natural Transformation
----------------------
So categories include elements and morphisms. Functors consist of mappings from the elements and morphisms of one category to those of another (or the same) category. **Natural transformations** are a third level of mappings, from one functor to another.

-Where `G` and `H` are functors from category <b>C</b> to category <b>D</b>, a natural transformation &eta; between `G` and `H` is a family of morphisms &eta;[C1]:G(C1)&rarr;H(C1)` in <b>D</b> for each element `C1` of <b>C</b>. That is, &eta;[C1]` has as source `C1`'s image under `G` in <b>D</b>, and as target `C1`'s image under `H` in <b>D</b>. The morphisms in this family must also satisfy the constraint:
+Where `G` and `H` are functors from category <b>C</b> to category <b>D</b>, a natural transformation &eta; between `G` and `H` is a family of morphisms <code>&eta;[C1]:G(C1)&rarr;H(C1)</code> in <b>D</b> for each element `C1` of <b>C</b>. That is, <code>&eta;[C1]</code> has as source `C1`'s image under `G` in <b>D</b>, and as target `C1`'s image under `H` in <b>D</b>. The morphisms in this family must also satisfy the constraint:

-       for every morphism f:C1&rarr;C2 in <b>C</b>: &eta;[C2] &#8728; G(f) = H(f) &#8728; &eta;[C1]
+<pre>
+       for every morphism f:C1&rarr;C2 in <b>C</b>:
+       &eta;[C2] &#8728; G(f) = H(f) &#8728; &eta;[C1]
+</pre>

-That is, the morphism via `G(f)` from `G(C1)` to `G(C2)`, and then via &eta;[C2]` to `H(C2)`, is identical to the morphism from `G(C1)` via &eta;[C1]` to `H(C1)`, and then via `H(f)` from `H(C1)` to `H(C2)`.
+That is, the morphism via `G(f)` from `G(C1)` to `G(C2)`, and then via <code>&eta;[C2]</code> to `H(C2)`, is identical to the morphism from `G(C1)` via <code>&eta;[C1]</code> to `H(C1)`, and then via `H(f)` from `H(C1)` to `H(C2)`.

How natural transformations compose:

Consider four categories <b>B</b>, <b>C</b>, <b>D</b>, and <b>E</b>. Let `F` be a functor from <b>B</b> to <b>C</b>; `G`, `H`, and `J` be functors from <b>C</b> to <b>D</b>; and `K` and `L` be functors from <b>D</b> to <b>E</b>. Let &eta; be a natural transformation from `G` to `H`; &phi; be a natural transformation from `H` to `J`; and &psi; be a natural transformation from `K` to `L`. Pictorally:

+<pre>
- <b>B</b> -+ +--- <b>C</b> --+ +---- <b>D</b> -----+ +-- <b>E</b> --
| |        | |            | |
-        F: -----&rarr; G: -----&rarr;     K: -----&rarr;
-                | |        | |  | &eta;     | |  | &psi;
+        F: ------> G: ------>     K: ------>
+                | |        | |  | &eta;       | |  | &psi;
| |        | |  v         | |  v
-                | |    H: -----&rarr;     L: -----&rarr;
-                | |        | |  | &phi;     | |
+                | |    H: ------>     L: ------>
+                | |        | |  | &phi;       | |
| |        | |  v         | |
-                | |    J: -----&rarr;         | |
+                | |    J: ------>         | |
-----+ +--------+ +------------+ +-------
+</pre>

-Then `(&eta; F)` is a natural transformation from the (composite) functor `GF` to the composite functor `HF`, such that where `b1` is an element of category <b>B</b>, `(&eta; F)[b1] = &eta;[F(b1)]`---that is, the morphism in <b>D</b> that &eta; assigns to the element `F(b1)` of <b>C</b>.
+Then <code>(&eta; F)</code> is a natural transformation from the (composite) functor `GF` to the composite functor `HF`, such that where `B1` is an element of category <b>B</b>, <code>(&eta; F)[B1] = &eta;[F(B1)]</code>---that is, the morphism in <b>D</b> that <code>&eta;</code> assigns to the element `F(B1)` of <b>C</b>.

-And `(K &eta;)` is a natural transformation from the (composite) functor `KG` to the (composite) functor `KH`, such that where `C1` is an element of category <b>C</b>, `(K &eta;)[C1] = K(&eta;[C1])`---that is, the morphism in <b>E</b> that `K` assigns to the morphism &eta;[C1]` of <b>D</b>.
+And <code>(K &eta;)</code> is a natural transformation from the (composite) functor `KG` to the (composite) functor `KH`, such that where `C1` is an element of category <b>C</b>, <code>(K &eta;)[C1] = K(&eta;[C1])</code>---that is, the morphism in <b>E</b> that `K` assigns to the morphism <code>&eta;[C1]</code> of <b>D</b>.

-`(&phi; -v- &eta;)` is a natural transformation from `G` to `J`; this is known as a "vertical composition". We will rely later on this, where `f:C1&rarr;C2`:
+<code>(&phi; -v- &eta;)</code> is a natural transformation from `G` to `J`; this is known as a "vertical composition". We will rely later on this, where <code>f:C1&rarr;C2</code>:

+<pre>
&phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1] = &phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1]
+</pre>

-by naturalness of &phi;, is:
+by naturalness of <code>&phi;</code>, is:

+<pre>
&phi;[C2] &#8728; H(f) &#8728; &eta;[C1] = J(f) &#8728; &phi;[C1] &#8728; &eta;[C1]
+</pre>

-by naturalness of &eta;, is:
+by naturalness of <code>&eta;</code>, is:

+<pre>
&phi;[C2] &#8728; &eta;[C2] &#8728; G(f) = J(f) &#8728; &phi;[C1] &#8728; &eta;[C1]
+</pre>

-Hence, we can define `(&phi; -v- &eta;)[x]` as: &phi;[x] &#8728; &eta;[x]` and rely on it to satisfy the constraints for a natural transformation from `G` to `J`:
+Hence, we can define <code>(&phi; -v- &eta;)[\_]</code> as: <code>&phi;[\_] &#8728; &eta;[\_]</code> and rely on it to satisfy the constraints for a natural transformation from `G` to `J`:

+<pre>
(&phi; -v- &eta;)[C2] &#8728; G(f) = J(f) &#8728; (&phi; -v- &eta;)[C1]
+</pre>

An observation we'll rely on later: given the definitions of vertical composition and of how natural transformations compose with functors, it follows that:

+<pre>
((&phi; -v- &eta;) F) = ((&phi; F) -v- (&eta; F))
+</pre>

I'll assert without proving that vertical composition is associative and has an identity, which we'll call "the identity transformation."

-`(&psi; -h- &eta;)` is natural transformation from the (composite) functor `KG` to the (composite) functor `LH`; this is known as a "horizontal composition." It's trickier to define, but we won't be using it here. For reference:
+<code>(&psi; -h- &eta;)</code> is natural transformation from the (composite) functor `KG` to the (composite) functor `LH`; this is known as a "horizontal composition." It's trickier to define, but we won't be using it here. For reference:

+<pre>
(&phi; -h- &eta;)[C1]  =  L(&eta;[C1]) &#8728; &psi;[G(C1)]
-                                          =  &psi;[H(C1)] &#8728; K(&eta;[C1])
+                                  =  &psi;[H(C1)] &#8728; K(&eta;[C1])
+</pre>

Horizontal composition is also associative, and has the same identity as vertical composition.

@@ -169,7 +186,7 @@ In earlier days, these were also called "triples."

A **monad** is a structure consisting of an (endo)functor `M` from some category <b>C</b> to itself, along with some natural transformations, which we'll specify in a moment.

-Let `T` be a set of natural transformations `p`, each being between some (variable) functor `P` and another functor which is the composite `MP'` of `M` and a (variable) functor `P'`. That is, for each element `C1` in <b>C</b>, `p` assigns `C1` a morphism from element `P(C1)` to element `MP'(C1)`, satisfying the constraints detailed in the previous section. For different members of `T`, the relevant functors may differ; that is, `p` is a transformation from functor `P` to `MP'`, `q` is a transformation from functor `Q` to `MQ'`, and none of `P`, `P'`, `Q`, `Q'` need be the same.
+Let `T` be a set of natural transformations <code>&phi;</code>, each being between some (variable) functor `F` and another functor which is the composite `MF'` of `M` and a (variable) functor `F'`. That is, for each element `C1` in <b>C</b>, <code>&phi;</code> assigns `C1` a morphism from element `F(C1)` to element `MF'(C1)`, satisfying the constraints detailed in the previous section. For different members of `T`, the relevant functors may differ; that is, <code>&phi;</code> is a transformation from functor `F` to `MF'`, <code>&gamma;</code> is a transformation from functor `G` to `MG'`, and none of `F`, `F'`, `G`, `G'` need be the same.

One of the members of `T` will be designated the "unit" transformation for `M`, and it will be a transformation from the identity functor `1C` for <b>C</b> to `M(1C)`. So it will assign to `C1` a morphism from `C1` to `M(C1)`.

@@ -177,50 +194,61 @@ We also need to designate for `M` a "join" transformation, which is a natural tr

These two natural transformations have to satisfy some constraints ("the monad laws") which are most easily stated if we can introduce a defined notion.

-Let `p` and `q` be members of `T`, that is they are natural transformations from `P` to `MP'` and from `Q` to `MQ'`, respectively. Let them be such that `P' = Q`. Now `(M q)` will also be a natural transformation, formed by composing the functor `M` with the natural transformation `q`. Similarly, `(join Q')` will be a natural transformation, formed by composing the natural transformation `join` with the functor `Q'`; it will transform the functor `MMQ'` to the functor `MQ'`. Now take the vertical composition of the three natural transformations `(join Q')`, `(M q)`, and `p`, and abbreviate it as follows:
+Let <code>&phi;</code> and <code>&gamma;</code> be members of `T`, that is they are natural transformations from `F` to `MF'` and from `G` to `MG'`, respectively. Let them be such that `F' = G`. Now <code>(M &gamma;)</code> will also be a natural transformation, formed by composing the functor `M` with the natural transformation <code>&gamma;</code>. Similarly, `(join G')` will be a natural transformation, formed by composing the natural transformation `join` with the functor `G'`; it will transform the functor `MMG'` to the functor `MG'`. Now take the vertical composition of the three natural transformations `(join G')`, <code>(M &gamma;)</code>, and <code>&phi;</code>, and abbreviate it as follows:

-       q <=< p  =def.  ((join Q') -v- (M q) -v- p)
+<pre>
+       &gamma; <=< &phi;  =def.  ((join G') -v- (M &gamma;) -v- &phi;)
+</pre>

Since composition is associative I don't specify the order of composition on the rhs.

-In other words, `<=<` is a binary operator that takes us from two members `p` and `q` of `T` to a composite natural transformation. (In functional programming, at least, this is called the "Kleisli composition operator". Sometimes its written `p >=> q` where that's the same as `q <=< p`.)
+In other words, `<=<` is a binary operator that takes us from two members <code>&phi;</code> and <code>&gamma;</code> of `T` to a composite natural transformation. (In functional programming, at least, this is called the "Kleisli composition operator". Sometimes it's written <code>&phi; >=> &gamma;</code> where that's the same as <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code>.)

-`p` is a transformation from `P` to `MP'` which = `MQ`; `(M q)` is a transformation from `MQ` to `MMQ'`; and `(join Q')` is a transformation from `MMQ'` to `MQ'`. So the composite `q <=< p` will be a transformation from `P` to `MQ'`, and so also eligible to be a member of `T`.
+<code>&phi;</code> is a transformation from `F` to `MF'`, where the latter = `MG`; <code>(M &gamma;)</code> is a transformation from `MG` to `MMG'`; and `(join G')` is a transformation from `MMG'` to `MG'`. So the composite <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> will be a transformation from `F` to `MG'`, and so also eligible to be a member of `T`.

Now we can specify the "monad laws" governing a monad as follows:

(T, <=<, unit) constitute a monoid

-That's it. (Well, perhaps we're cheating a bit, because `q <=< p` isn't fully defined on `T`, but only when `P` is a functor to `MP'` and `Q` is a functor from `P'`. But wherever `<=<` is defined, the monoid laws are satisfied:
+That's it. Well, there may be a wrinkle here. I don't know whether the definition of a monoid requires the operation to be defined for every pair in its set. In the present case, <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> isn't fully defined on `T`, but only when <code>&phi;</code> is a transformation to some `MF'` and <code>&gamma;</code> is a transformation from `F'`. But wherever `<=<` is defined, the monoid laws are satisfied:
+
+<pre>
+           (i) &gamma; <=< &phi; is also in T
+
+          (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)

-       (i) q <=< p is also in T
-       (ii) (r <=< q) <=< p  =  r <=< (q <=< p)
-       (iii.1) unit <=< p  =  p                 (here p has to be a natural transformation to M(1C))
-       (iii.2)                p  =  p <=< unit  (here p has to be a natural transformation from 1C)
+       (iii.1) unit <=< &phi;  =  &phi;                 (here &phi; has to be a natural transformation to M(1C))

-If `p` is a natural transformation from `P` to `M(1C)` and `q` is `(p Q')`, that is, a natural transformation from `PQ` to `MQ`, then we can extend (iii.1) as follows:
+       (iii.2)                &phi;  =  &phi; <=< unit  (here &phi; has to be a natural transformation from 1C)
+</pre>
+
+If <code>&phi;</code> is a natural transformation from `F` to `M(1C)` and <code>&gamma;</code> is <code>(&phi; G')</code>, that is, a natural transformation from `FG` to `MG`, then we can extend (iii.1) as follows:

-       q = (p Q')
-         = ((unit <=< p) Q')
-         = ((join -v- (M unit) -v- p) Q')
-         = (join Q') -v- ((M unit) Q') -v- (p Q')
-         = (join Q') -v- (M (unit Q')) -v- q
+<pre>
+       &gamma; = (&phi; G')
+         = ((unit <=< &phi;) G')
+         = ((join -v- (M unit) -v- &phi;) G')
+         = (join G') -v- ((M unit) G') -v- (&phi; G')
+         = (join G') -v- (M (unit G')) -v- &gamma;
??
-         = (unit Q') <=< q
+         = (unit G') <=< &gamma;
+</pre>

-where as we said `q` is a natural transformation from some `PQ'` to `MQ'`.
+where as we said <code>&gamma;</code> is a natural transformation from some `FG'` to `MG'`.

-Similarly, if `p` is a natural transformation from `1C` to `MP'`, and `q` is `(p Q)`, that is, a natural transformation from `Q` to `MP'Q`, then we can extend (iii.2) as follows:
+Similarly, if <code>&phi;</code> is a natural transformation from `1C` to `MF'`, and <code>&gamma;</code> is <code>(&phi; G)</code>, that is, a natural transformation from `G` to `MF'G`, then we can extend (iii.2) as follows:

-       q = (p Q)
-         = ((p <=< unit) Q)
-         = (((join P') -v- (M p) -v- unit) Q)
-         = ((join P'Q) -v- ((M p) Q) -v- (unit Q))
-         = ((join P'Q) -v- (M (p Q)) -v- (unit Q))
+<pre>
+       &gamma; = (&phi; G)
+         = ((&phi; <=< unit) G)
+         = (((join F') -v- (M &phi;) -v- unit) G)
+         = ((join F'G) -v- ((M &phi;) G) -v- (unit G))
+         = ((join F'G) -v- (M (&phi; G)) -v- (unit G))
??
-         = q <=< (unit Q)
+         = &gamma; <=< (unit G)
+</pre>

-where as we said `q` is a natural transformation from `Q` to some `MP'Q`.
+where as we said <code>&gamma;</code> is a natural transformation from `G` to some `MF'G`.

@@ -229,85 +257,124 @@ The standard category-theory presentation of the monad laws
-----------------------------------------------------------
In category theory, the monad laws are usually stated in terms of `unit` and `join` instead of `unit` and `<=<`.

-(*
+<!--
P2. every element C1 of a category <b>C</b> has an identity morphism 1<sub>C1</sub> such that for every morphism f:C1&rarr;C2 in <b>C</b>: 1<sub>C2</sub> &#8728; f = f = f &#8728; 1<sub>C1</sub>.
P3. functors "preserve identity", that is for every element C1 in F's source category: F(1<sub>C1</sub>) = 1<sub>F(C1)</sub>.
-*)
+-->

Let's remind ourselves of some principles:
-       * composition of morphisms, functors, and natural compositions is associative
-       * functors "distribute over composition", that is for any morphisms f and g in F's source category: F(g &#8728; f) = F(g) &#8728; F(f)
-       * if &eta; is a natural transformation from F to G, then for every f:C1&rarr;C2 in F and G's source category <b>C</b>: &eta;[C2] &#8728; F(f) = G(f) &#8728; &eta;[C1].

+*      composition of morphisms, functors, and natural compositions is associative
+
+*      functors "distribute over composition", that is for any morphisms `f` and `g` in `F`'s source category: <code>F(g &#8728; f) = F(g) &#8728; F(f)</code>
+
+*      if <code>&eta;</code> is a natural transformation from `F` to `G`, then for every <code>f:C1&rarr;C2</code> in `F` and `G`'s source category <b>C</b>: <code>&eta;[C2] &#8728; F(f) = G(f) &#8728; &eta;[C1]</code>.

Let's use the definitions of naturalness, and of composition of natural transformations, to establish two lemmas.

-Recall that join is a natural transformation from the (composite) functor MM to M. So for elements C1 in <b>C</b>, join[C1] will be a morphism from MM(C1) to M(C1). And for any morphism f:a&rarr;b in <b>C</b>:
+Recall that join is a natural transformation from the (composite) functor `MM` to `M`. So for elements `C1` in <b>C</b>, `join[C1]` will be a morphism from `MM(C1)` to `M(C1)`. And for any morphism <code>f:C1&rarr;C2</code> in <b>C</b>:

-       (1) join[b] &#8728; MM(f)  =  M(f) &#8728; join[a]
+<pre>
+       (1) join[C2] &#8728; MM(f)  =  M(f) &#8728; join[C1]
+</pre>

-Next, consider the composite transformation ((join MQ') -v- (MM q)).
-       q is a transformation from Q to MQ', and assigns elements C1 in <b>C</b> a morphism q*: Q(C1) &rarr; MQ'(C1). (MM q) is a transformation that instead assigns C1 the morphism MM(q*).
-       (join MQ') is a transformation from MMMQ' to MMQ' that assigns C1 the morphism join[MQ'(C1)].
-       Composing them:
-       (2) ((join MQ') -v- (MM q)) assigns to C1 the morphism join[MQ'(C1)] &#8728; MM(q*).
+Next, consider the composite transformation <code>((join MG') -v- (MM &gamma;))</code>.

-Next, consider the composite transformation ((M q) -v- (join Q)).
-       (3) This assigns to C1 the morphism M(q*) &#8728; join[Q(C1)].
+*      <code>&gamma;</code> is a transformation from `G` to `MG'`, and assigns elements `C1` in <b>C</b> a morphism <code>&gamma;\*: G(C1) &rarr; MG'(C1)</code>. <code>(MM &gamma;)</code> is a transformation that instead assigns `C1` the morphism <code>MM(&gamma;\*)</code>.

-So for every element C1 of <b>C</b>:
-       ((join MQ') -v- (MM q))[C1], by (2) is:
-       join[MQ'(C1)] &#8728; MM(q*), which by (1), with f=q*: Q(C1)&rarr;MQ'(C1) is:
-       M(q*) &#8728; join[Q(C1)], which by 3 is:
-       ((M q) -v- (join Q))[C1]
+*      `(join MG')` is a transformation from `MMMG'` to `MMG'` that assigns `C1` the morphism `join[MG'(C1)]`.
+
+Composing them:

-So our (lemma 1) is: ((join MQ') -v- (MM q))  =  ((M q) -v- (join Q)), where q is a transformation from Q to MQ'.
+<pre>
+       (2) <code>((join MG') -v- (MM &gamma;))</code> assigns to `C1` the morphism <code>join[MG'(C1)] &#8728; MM(&gamma;*)</code>.
+</pre>
+
+Next, consider the composite transformation <code>((M &gamma;) -v- (join G))</code>.

+<pre>
+       (3) This assigns to C1 the morphism M(&gamma;*) &#8728; join[G(C1)].
+</pre>
+
+So for every element `C1` of <b>C</b>:
+
+<pre>
+       ((join MG') -v- (MM &gamma;))[C1], by (2) is:
+       join[MG'(C1)] &#8728; MM(&gamma;*), which by (1), with f=&gamma;*: G(C1)&rarr;MG'(C1) is:
+       M(&gamma;*) &#8728; join[G(C1)], which by 3 is:
+       ((M &gamma;) -v- (join G))[C1]
+</pre>

-Next recall that unit is a natural transformation from 1C to M. So for elements C1 in <b>C</b>, unit[C1] will be a morphism from C1 to M(C1). And for any morphism f:a&rarr;b in <b>C</b>:
+So our **(lemma 1)** is:
+
+<pre>
+       ((join MG') -v- (MM &gamma;))  =  ((M &gamma;) -v- (join G)), where &gamma; is a transformation from G to MG'.
+</pre>
+
+
+Next recall that unit is a natural transformation from `1C` to `M`. So for elements `C1` in <b>C</b>, `unit[C1]` will be a morphism from `C1` to `M(C1)`. And for any morphism <code>f:a&rarr;b</code> in <b>C</b>:
+
+<pre>
(4) unit[b] &#8728; f = M(f) &#8728; unit[a]
+</pre>

-Next consider the composite transformation ((M q) -v- (unit Q)). (5) This assigns to C1 the morphism M(q*) &#8728; unit[Q(C1)].
+Next consider the composite transformation <code>((M &gamma;) -v- (unit G))</code>:

-Next consider the composite transformation ((unit MQ') -v- q). (6) This assigns to C1 the morphism unit[MQ'(C1)] &#8728; q*.
+<pre>
+       (5) This assigns to C1 the morphism M(&gamma;*) &#8728; unit[G(C1)].
+</pre>
+
+Next consider the composite transformation <code>((unit MG') -v- &gamma;)</code>.
+
+<pre>
+       (6) This assigns to C1 the morphism unit[MG'(C1)] &#8728; &gamma;*.
+</pre>

So for every element C1 of <b>C</b>:
-       ((M q) -v- (unit Q))[C1], by (5) =
-       M(q*) &#8728; unit[Q(C1)], which by (4), with f=q*: Q(C1)&rarr;MQ'(C1) is:
-       unit[MQ'(C1)] &#8728; q*, which by (6) =
-       ((unit MQ') -v- q)[C1]

-So our lemma (2) is: (((M q) -v- (unit Q))  =  ((unit MQ') -v- q)), where q is a transformation from Q to MQ'.
+<pre>
+       ((M &gamma;) -v- (unit G))[C1], by (5) =
+       M(&gamma;*) &#8728; unit[G(C1)], which by (4), with f=&gamma;*: G(C1)&rarr;MG'(C1) is:
+       unit[MG'(C1)] &#8728; &gamma;*, which by (6) =
+       ((unit MG') -v- &gamma;)[C1]
+</pre>
+
+So our **(lemma 2)** is:
+
+<pre>
+       (((M &gamma;) -v- (unit G))  =  ((unit MG') -v- &gamma;)), where &gamma; is a transformation from G to MG'.
+</pre>

-Finally, we substitute ((join Q') -v- (M q) -v- p) for q <=< p in the monad laws. For simplicity, I'll omit the "-v-".
+Finally, we substitute <code>((join G') -v- (M &gamma;) -v- &phi;)</code> for <code>&gamma; &lt;=&lt; &phi;</code> in the monad laws. For simplicity, I'll omit the "-v-".

-       for all p,q,r in T, where p is a transformation from P to MP', q is a transformation from Q to MQ', R is a transformation from R to MR', and P'=Q and Q'=R:
+<pre>
+       for all &phi;,&gamma;,&rho; in T, where &phi; is a transformation from F to MF', &gamma; is a transformation from G to MG', R is a transformation from R to MR', and F'=G and G'=R:

-       (i) q <=< p etc are also in T
+       (i) &gamma; <=< &phi; etc are also in T
==>
-       (i') ((join Q') (M q) p) etc are also in T
+       (i') ((join G') (M &gamma;) &phi;) etc are also in T

-       (ii) (r <=< q) <=< p  =  r <=< (q <=< p)
+       (ii) (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi;  =  &rho; <=< (&gamma; <=< &phi;)
==>
-                (r <=< q) is a transformation from Q to MR', so:
-                       (r <=< q) <=< p becomes: (join R') (M (r <=< q)) p
-                                                       which is: (join R') (M ((join R') (M r) q)) p
+                (&rho; <=< &gamma;) is a transformation from G to MR', so:
+                       (&rho; <=< &gamma;) <=< &phi; becomes: (join R') (M (&rho; <=< &gamma;)) &phi;
+                                                       which is: (join R') (M ((join R') (M &rho;) &gamma;)) &phi;
substituting in (ii), and helping ourselves to associativity on the rhs, we get:

-            ((join R') (M ((join R') (M r) q)) p) = ((join R') (M r) (join Q') (M q) p)
+            ((join R') (M ((join R') (M &rho;) &gamma;)) &phi;) = ((join R') (M &rho;) (join G') (M &gamma;) &phi;)
---------------------
which by the distributivity of functors over composition, and helping ourselves to associativity on the lhs, yields:
------------------------
-            ((join R') (M join R') (MM r) (M q) p) = ((join R') (M r) (join Q') (M q) p)
+            ((join R') (M join R') (MM &rho;) (M &gamma;) &phi;) = ((join R') (M &rho;) (join G') (M &gamma;) &phi;)
---------------
-                       which by lemma 1, with r a transformation from Q' to MR', yields:
+                       which by lemma 1, with &rho; a transformation from G' to MR', yields:
-----------------
-            ((join R') (M join R') (MM r) (M q) p) = ((join R') (join MR') (MM r) (M q) p)
+            ((join R') (M join R') (MM &rho;) (M &gamma;) &phi;) = ((join R') (join MR') (MM &rho;) (M &gamma;) &phi;)

-                       which will be true for all r,q,p just in case:
+                       which will be true for all &rho;,&gamma;,&phi; just in case:

((join R') (M join R')) = ((join R') (join MR')), for any R'.

@@ -316,54 +383,57 @@ Finally, we substitute ((join Q') -v- (M q) -v- p) for q <=< p in the monad laws
(ii') (join (M join)) = (join (join M))

-       (iii.1) (unit P') <=< p  =  p
+       (iii.1) (unit F') <=< &phi;  =  &phi;
==>
-                       (unit P') is a transformation from P' to MP', so:
-                               (unit P') <=< p becomes: (join P') (M unit P') p
-                                                  which is: (join P') (M unit P') p
+                       (unit F') is a transformation from F' to MF', so:
+                               (unit F') <=< &phi; becomes: (join F') (M unit F') &phi;
+                                                  which is: (join F') (M unit F') &phi;
substituting in (iii.1), we get:
-                       ((join P') (M unit P') p) = p
+                       ((join F') (M unit F') &phi;) = &phi;

-                       which will be true for all p just in case:
+                       which will be true for all &phi; just in case:

-                ((join P') (M unit P')) = the identity transformation, for any P'
+                ((join F') (M unit F')) = the identity transformation, for any F'

which will in turn be true just in case:

(iii.1') (join (M unit) = the identity transformation

-       (iii.2) p  =  p <=< (unit P)
+       (iii.2) &phi;  =  &phi; <=< (unit F)
==>
-                       p is a transformation from P to MP', so:
-                               unit <=< p becomes: (join P') (M p) unit
+                       &phi; is a transformation from F to MF', so:
+                               unit <=< &phi; becomes: (join F') (M &phi;) unit
substituting in (iii.2), we get:
-                       p = ((join P') (M p) (unit P))
+                       &phi; = ((join F') (M &phi;) (unit F))
--------------
which by lemma (2), yields:
------------
-                       p = ((join P') ((unit MP') p)
+                       &phi; = ((join F') ((unit MF') &phi;)

-                               which will be true for all p just in case:
+                               which will be true for all &phi; just in case:

-               ((join P') (unit MP')) = the identity transformation, for any P'
+               ((join F') (unit MF')) = the identity transformation, for any F'

which will in turn be true just in case:

(iii.2') (join (unit M)) = the identity transformation
+</pre>

Collecting the results, our monad laws turn out in this format to be:

-       when p a transformation from P to MP', q a transformation from P' to MQ', r a transformation from Q' to MR' all in T:
+</pre>
+       when &phi; a transformation from F to MF', &gamma; a transformation from F' to MG', &rho; a transformation from G' to MR' all in T:

-       (i') ((join Q') (M q) p) etc also in T
+       (i') ((join G') (M &gamma;) &phi;) etc also in T

(ii') (join (M join)) = (join (join M))

(iii.1') (join (M unit)) = the identity transformation

(iii.2')(join (unit M)) = the identity transformation
+</pre>

@@ -389,14 +459,14 @@ The composite morphisms said here to be identical are morphisms from the type C1

In functional programming, instead of working with natural transformations we work with "monadic values" and polymorphic functions "into the monad" in question.

-For an example of the latter, let p be a function that takes arguments of some (schematic, polymorphic) type C1 and yields results of some (schematic, polymorphic) type M(C2). An example with M being the list monad, and C2 being the tuple type schema int * C1:
+For an example of the latter, let &phi; be a function that takes arguments of some (schematic, polymorphic) type C1 and yields results of some (schematic, polymorphic) type M(C2). An example with M being the list monad, and C2 being the tuple type schema int * C1:

-       let p = fun c &rarr; [(1,c), (2,c)]
+       let &phi; = fun c &rarr; [(1,c), (2,c)]

-p is polymorphic: when you apply it to the int 0 you get a result of type "list of int * int": [(1,0), (2,0)]. When you apply it to the char 'e' you get a result of type "list of int * char": [(1,'e'), (2,'e')].
+&phi; is polymorphic: when you apply it to the int 0 you get a result of type "list of int * int": [(1,0), (2,0)]. When you apply it to the char 'e' you get a result of type "list of int * char": [(1,'e'), (2,'e')].

-However, to keep things simple, we'll work instead with functions whose type is settled. So instead of the polymorphic p, we'll work with (p : C1 &rarr; M(int * C1)). This only accepts arguments of type C1. For generality, I'll talk of functions with the type (p : C1 &rarr; M(C1')), where we assume that C1' is a function of C1.
+However, to keep things simple, we'll work instead with functions whose type is settled. So instead of the polymorphic &phi;, we'll work with (&phi; : C1 &rarr; M(int * C1)). This only accepts arguments of type C1. For generality, I'll talk of functions with the type (&phi; : C1 &rarr; M(C1')), where we assume that C1' is a function of C1.

-A "monadic value" is any member of a type M(C1), for any type C1. For example, a list is a monadic value for the list monad. We can think of these monadic values as the result of applying some function (p : C1 &rarr; M(C1')) to an argument of type C1.
+A "monadic value" is any member of a type M(C1), for any type C1. For example, a list is a monadic value for the list monad. We can think of these monadic values as the result of applying some function (&phi; : C1 &rarr; M(C1')) to an argument of type C1.