1 Today we're going to encounter continuations.  We're going to come at
2 them from three different directions, and each time we're going to end
3 up at the same place: a particular monad, which we'll call the
4 continuation monad.
6 The three approches are:
8 [[!toc]]
10 Rethinking the list monad
11 -------------------------
13 To construct a monad, the key element is to settle on a type
14 constructor, and the monad naturally follows from that.  I'll remind
15 you of some examples of how monads follow from the type constructor in
16 a moment.  This will involve some review of familair material, but
17 it's worth doing for two reasons: it will set up a pattern for the new
18 discussion further below, and it will tie together some previously
19 unconnected elements of the course (more specifically, version 3 lists
20 and monads).
22 For instance, take the **Reader Monad**.  Once we decide that the type
23 constructor is
25     type 'a reader = fun e:env -> 'a
27 then we can deduce the unit and the bind:
29     runit x:'a -> 'a reader = fun (e:env) -> x
31 Since the type of an `'a reader` is `fun e:env -> 'a` (by definition),
32 the type of the `runit` function is `'a -> e:env -> 'a`, which is a
33 specific case of the type of the *K* combinator.  So it makes sense
34 that *K* is the unit for the reader monad.
36 Since the type of the `bind` operator is required to be
38     r_bind:('a reader) -> ('a -> 'b reader) -> ('b reader)
40 We can deduce the correct `bind` function as follows:
42     r_bind (u:'a reader) (f:'a -> 'b reader):('b reader) =
44 We have to open up the `u` box and get out the `'a` object in order to
45 feed it to `f`.  Since `u` is a function from environments to
46 objects of type `'a`, we'll have
48          .... f (u e) ...
50 This subexpression types to `'b reader`, which is good.  The only
51 problem is that we don't have an `e`, so we have to abstract over that
52 variable:
54          fun e -> f (u e) ...
56 This types to `env -> 'b reader`, but we want to end up with `env ->
57 'b`.  The easiest way to turn a 'b reader into a 'b is to apply it to
58 an environment.  So we end up as follows:
60     r_bind (u:'a reader) (f:'a -> 'b reader):('b reader) = f (u e) e
62 And we're done.
64 The **State Monad** is similar.  We somehow intuit that we want to use
65 the following type constructor:
67     type 'a state = 'store -> ('a, 'store)
69 So our unit is naturally
71     let s_unit (x:'a):('a state) = fun (s:'store) -> (x, s)
73 And we deduce the bind in a way similar to the reasoning given above.
74 First, we need to apply `f` to the contents of the `u` box:
76     let s_bind (u:'a state) (f:'a -> ('b state)):('b state) =
78 But unlocking the `u` box is a little more complicated.  As before, we
79 need to posit a state `s` that we can apply `u` to.  Once we do so,
80 however, we won't have an `'a`, we'll have a pair whose first element
81 is an `'a`.  So we have to unpack the pair:
83         ... let (a, s') = u s in ... (f a) ...
85 Abstracting over the `s` and adjusting the types gives the result:
87     let s_bind (u:'a state) (f:'a -> ('b state)):('b state) =
88       fun (s:state) -> let (a, s') = u s in f a s'
90 The **Option Monad** doesn't follow the same pattern so closely, so we
91 won't pause to explore it here, though conceptually its unit and bind
92 follow just as naturally from its type constructor.
94 Our other familiar monad is the **List Monad**, which we were told
95 looks like this:
97     type 'a list = ['a];;
98     l_unit (x:'a) = [x];;
99     l_bind u f = List.concat (List.map f u);;
101 Recall that `List.map` take a function and a list and returns the
102 result to applying the function to the elements of the list:
104     List.map (fun i -> [i;i+1]) [1;2] ~~> [[1; 2]; [2; 3]]
106 and List.concat takes a list of lists and erases the embdded list
107 boundaries:
109     List.concat [[1; 2]; [2; 3]] ~~> [1; 2; 2; 3]
111 And sure enough,
113     l_bind [1;2] (fun i -> [i, i+1]) ~~> [1; 2; 2; 3]
115 But where is the reasoning that led us to this unit and bind?
116 And what is the type `['a]`?  Magic.
118 So let's take a *completely useless digressing* and see if we can
119 gain some insight into the details of the List monad.  Let's choose
120 type constructor that we can peer into, using some of the technology
121 we built up so laboriously during the first half of the course.  I'm
122 going to use type 3 lists, partly because I know they'll give the
123 result I want, but also because they're my favorite.  These were the
124 lists that made lists look like Church numerals with extra bits
125 embdded in them:
127     empty list:                fun f z -> z
128     list with one element:     fun f z -> f 1 z
129     list with two elements:    fun f z -> f 2 (f 1 z)
130     list with three elements:  fun f z -> f 3 (f 2 (f 1 z))
132 and so on.  To save time, we'll let the Ocaml interpreter infer the
133 principle types of these functions (rather than deducing what the
134 types should be):
136 <pre>
137 # fun f z -> z;;
138 - : 'a -> 'b -> 'b = <fun>
139 # fun f z -> f 1 z;;
140 - : (int -> 'a -> 'b) -> 'a -> 'b = <fun>
141 # fun f z -> f 2 (f 1 z);;
142 - : (int -> 'a -> 'a) -> 'a -> 'a = <fun>
143 # fun f z -> f 3 (f 2 (f 1 z))
144 - : (int -> 'a -> 'a) -> 'a -> 'a = <fun>
145 </pre>
147 Finally, we're getting consistent principle types, so we can stop.
148 These types should remind you of the simply-typed lambda calculus
149 types for Church numerals (`(o -> o) -> o -> o`) with one extra bit
150 thrown in (in this case, and int).
152 So here's our type constructor for our hand-rolled lists:
154     type 'a list' = (int -> 'a -> 'a) -> 'a -> 'a
156 Generalizing to lists that contain any kind of element (not just
157 ints), we have
159     type ('a, 'b) list' = ('a -> 'b -> 'b) -> 'b -> 'b
161 So an `('a, 'b) list'` is a list containing elements of type `'a`,
162 where `'b` is the type of some part of the plumbing.  This is more
163 general than an ordinary Ocaml list, but we'll see how to map them
164 into Ocaml lists soon.  We don't need to grasp the role of the `'b`'s
165 in order to proceed to build a monad:
167     l'_unit (x:'a):(('a, 'b) list) = fun x -> fun f z -> f x z
169 No problem.  Arriving at bind is a little more complicated, but
170 exactly the same principles apply, you just have to be careful and
171 systematic about it.
173     l'_bind (u:('a,'b) list') (f:'a -> ('c, 'd) list'): ('c, 'd) list'  = ...
175 Unfortunately, we'll need to spell out the types:
177     l'_bind (u: ('a -> 'b -> 'b) -> 'b -> 'b)
178             (f: 'a -> ('c -> 'd -> 'd) -> 'd -> 'd)
179             : ('c -> 'd -> 'd) -> 'd -> 'd = ...
181 It's a rookie mistake to quail before complicated types.  You should
182 be no more intimiated by complex types than by a linguistic tree with
183 deeply embedded branches: complex structure created by repeated
184 application of simple rules.
186 As usual, we need to unpack the `u` box.  Examine the type of `u`.
187 This time, `u` will only deliver up its contents if we give `u` as an
188 argument a function expecting an `'a`.  Once that argument is applied
189 to an object of type `'a`, we'll have what we need.  Thus:
191       .... u (fun (x:'a) -> ... (f a) ... ) ...
193 In order for `u` to have the kind of argument it needs, we have to
194 adjust `(f a)` (which has type `('c -> 'd -> 'd) -> 'd -> 'd`) in
195 order to deliver something of type `'b -> 'b`.  The easiest way is to
196 alias `'d` to `'b`, and provide `(f a)` with an argument of type `'c
197 -> 'b -> 'b`.  Thus:
199     l'_bind (u: ('a -> 'b -> 'b) -> 'b -> 'b)
200             (f: 'a -> ('c -> 'b -> 'b) -> 'b -> 'b)
201             : ('c -> 'b -> 'b) -> 'b -> 'b =
202       .... u (fun (x:'a) -> f a k) ...
204 [Excercise: can you arrive at a fully general bind for this type
205 constructor, one that does not collapse `'d`'s with `'b`'s?]
207 As usual, we have to abstract over `k`, but this time, no further
208 adjustments are needed:
210     l'_bind (u: ('a -> 'b -> 'b) -> 'b -> 'b)
211             (f: 'a -> ('c -> 'b -> 'b) -> 'b -> 'b)
212             : ('c -> 'b -> 'b) -> 'b -> 'b =
213       fun (k:'c -> 'b -> 'b) -> u (fun (x:'a) -> f a k)
215 You should carefully check to make sure that this term is consistent
216 with the typing.
218 Our theory is that this monad should be capable of exactly
219 replicating the behavior of the standard List monad.  Let's test:
222     l_bind [1;2] (fun i -> [i, i+1]) ~~> [1; 2; 2; 3]
224     l'_bind (fun f z -> f 1 (f 2 z))
225             (fun i -> fun f z -> f i (f (i+1) z)) ~~> <fun>
227 Sigh.  Ocaml won't show us our own list.  So we have to choose an `f`
228 and a `z` that will turn our hand-crafted lists into standard Ocaml
229 lists, so that they will print out.
231 <pre>
232 # let cons h t = h :: t;;  (* Ocaml is stupid about :: *)
233 # l'_bind (fun f z -> f 1 (f 2 z))
234           (fun i -> fun f z -> f i (f (i+1) z)) cons [];;
235 - : int list = [1; 2; 2; 3]
236 </pre>
238 Ta da!
240 Just for mnemonic purposes (sneaking in an instance of eta reduction
241 to the definition of unit), we can summarize the result as follows:
243     type ('a, 'b) list' = ('a -> 'b -> 'b) -> 'b -> 'b
244     l'_unit x = fun f -> f x
245     l'_bind u f = fun k -> u (fun x -> f x k)
247 To bad this digression, though it ties together various
248 elements of the course, has *no relevance whatsoever* to the topic of
249 continuations.
251 Montague's PTQ treatment of DPs as generalized quantifiers
252 ----------------------------------------------------------
254 We've hinted that Montague's treatment of DPs as generalized
255 quantifiers embodies the spirit of continuations (see de Groote 2001,
256 Barker 2002 for lengthy discussion).  Let's see why.
258 First, we'll need a type constructor.  As you probably know,
259 Montague replaced individual-denoting determiner phrases (with type `e`)
260 with generalized quantifiers (with [extensional] type `(e -> t) -> t`.
261 In particular, the denotation of a proper name like *John*, which
262 might originally denote a object `j` of type `e`, came to denote a
263 generalized quantifier `fun pred -> pred j` of type `(e -> t) -> t`.
264 Let's write a general function that will map individuals into their
265 corresponding generalized quantifier:
267    gqize (x:e) = fun (p:e->t) -> p x
269 This function wraps up an individual in a fancy box.  That is to say,
270 we are in the presence of a monad.  The type constructor, the unit and
271 the bind follow naturally.  We've done this enough times that I won't
272 belabor the construction of the bind function, the derivation is
273 similar to the List monad just given:
275    type 'a continuation = ('a -> 'b) -> 'b
276    c_unit (x:'a) = fun (p:'a -> 'b) -> p x
277    c_bind (u:('a -> 'b) -> 'b) (f: 'a -> ('c -> 'd) -> 'd): ('c -> 'd) -> 'd =
278      fun (k:'a -> 'b) -> u (fun (x:'a) -> f x k)
280 How similar is it to the List monad?  Let's examine the type
281 constructor and the terms from the list monad derived above:
283     type ('a, 'b) list' = ('a -> 'b -> 'b) -> 'b -> 'b
284     l'_unit x = fun f -> f x
285     l'_bind u f = fun k -> u (fun x -> f x k)
287 (I performed a sneaky but valid eta reduction in the unit term.)
289 The unit and the bind for the Montague continuation monad and the
290 homemade List monad are the same terms!  In other words, the behavior
291 of the List monad and the behavior of the continuations monad are
292 parallel in a deep sense.  To emphasize the parallel, we can
293 instantiate the type of the list' monad using the Ocaml list type:
295     type 'a c_list = ('a -> 'a list) -> 'a list
296     let c_list_unit x = fun f -> f x;;
297     let c_list_bind u f = fun k -> u (fun x -> f x k);;
299 Have we really discovered that lists are secretly continuations?
300 Or have we merely found a way of simulating lists using list
301 continuations?  Both perspectives are valid, and we can use our
302 intuitions about the list monad to understand continuations, and vice
303 versa.  The connections will be expecially relevant when we consider
304 indefinites and Hamblin semantics on the linguistic side, and
305 non-determinism on the list monad side.
307 Refunctionalizing zippers
308 -------------------------