1 [[!toc]]
5 -----------------------------
7 [This section used to be near the end of the lecture notes for week 6]
9 We begin by reasoning about what should happen when someone tries to
10 divide by zero.  This will lead us to a general programming technique
11 called a *monad*, which we'll see in many guises in the weeks to come.
13 Integer division presupposes that its second argument
14 (the divisor) is not zero, upon pain of presupposition failure.
15 Here's what my OCaml interpreter says:
17     # 12/0;;
18     Exception: Division_by_zero.
20 So we want to explicitly allow for the possibility that
21 division will return something other than a number.
22 We'll use OCaml's `option` type, which works like this:
24     # type 'a option = None | Some of 'a;;
25     # None;;
26     - : 'a option = None
27     # Some 3;;
28     - : int option = Some 3
30 So if a division is normal, we return some number, but if the divisor is
31 zero, we return `None`. As a mnemonic aid, we'll append a `'` to the end of our new divide function.
33 <pre>
34 let div' (x:int) (y:int) =
35   match y with
36           0 -> None
37     | _ -> Some (x / y);;
39 (*
40 val div' : int -> int -> int option = fun
41 # div' 12 2;;
42 - : int option = Some 6
43 # div' 12 0;;
44 - : int option = None
45 # div' (div' 12 2) 3;;
46 Characters 4-14:
47   div' (div' 12 2) 3;;
48         ^^^^^^^^^^
49 Error: This expression has type int option
50        but an expression was expected of type int
51 *)
52 </pre>
54 This starts off well: dividing 12 by 2, no problem; dividing 12 by 0,
55 just the behavior we were hoping for.  But we want to be able to use
56 the output of the safe-division function as input for further division
57 operations.  So we have to jack up the types of the inputs:
59 <pre>
60 let div' (u:int option) (v:int option) =
61   match v with
62           None -> None
63     | Some 0 -> None
64         | Some y -> (match u with
65                                           None -> None
66                     | Some x -> Some (x / y));;
68 (*
69 val div' : int option -> int option -> int option = <fun>
70 # div' (Some 12) (Some 2);;
71 - : int option = Some 6
72 # div' (Some 12) (Some 0);;
73 - : int option = None
74 # div' (div' (Some 12) (Some 0)) (Some 3);;
75 - : int option = None
76 *)
77 </pre>
79 Beautiful, just what we need: now we can try to divide by anything we
80 want, without fear that we're going to trigger any system errors.
82 I prefer to line up the `match` alternatives by using OCaml's
83 built-in tuple type:
85 <pre>
86 let div' (u:int option) (v:int option) =
87   match (u, v) with
88           (None, _) -> None
89     | (_, None) -> None
90     | (_, Some 0) -> None
91         | (Some x, Some y) -> Some (x / y);;
92 </pre>
94 So far so good.  But what if we want to combine division with
95 other arithmetic operations?  We need to make those other operations
96 aware of the possibility that one of their arguments has triggered a
97 presupposition failure:
99 <pre>
100 let add' (u:int option) (v:int option) =
101   match (u, v) with
102           (None, _) -> None
103     | (_, None) -> None
104     | (Some x, Some y) -> Some (x + y);;
106 (*
107 val add' : int option -> int option -> int option = <fun>
108 # add' (Some 12) (Some 4);;
109 - : int option = Some 16
110 # add' (div' (Some 12) (Some 0)) (Some 4);;
111 - : int option = None
112 *)
113 </pre>
115 This works, but is somewhat disappointing: the `add'` operation
116 doesn't trigger any presupposition of its own, so it is a shame that
117 it needs to be adjusted because someone else might make trouble.
119 But we can automate the adjustment.  The standard way in OCaml,
120 Haskell, etc., is to define a `bind` operator (the name `bind` is not
121 well chosen to resonate with linguists, but what can you do). To continue our mnemonic association, we'll put a `'` after the name "bind" as well.
123 <pre>
124 let bind' (u: int option) (f: int -> (int option)) =
125   match u with
126           None -> None
127     | Some x -> f x;;
129 let add' (u: int option) (v: int option)  =
130   bind' u (fun x -> bind' v (fun y -> Some (x + y)));;
132 let div' (u: int option) (v: int option) =
133   bind' u (fun x -> bind' v (fun y -> if (0 = y) then None else Some (x / y)));;
135 (*
136 #  div' (div' (Some 12) (Some 2)) (Some 3);;
137 - : int option = Some 2
138 #  div' (div' (Some 12) (Some 0)) (Some 3);;
139 - : int option = None
140 # add' (div' (Some 12) (Some 0)) (Some 3);;
141 - : int option = None
142 *)
143 </pre>
145 Compare the new definitions of `add'` and `div'` closely: the definition
146 for `add'` shows what it looks like to equip an ordinary operation to
147 survive in dangerous presupposition-filled world.  Note that the new
148 definition of `add'` does not need to test whether its arguments are
149 None objects or real numbers---those details are hidden inside of the
150 `bind'` function.
152 The definition of `div'` shows exactly what extra needs to be said in
153 order to trigger the no-division-by-zero presupposition.
155 For linguists: this is a complete theory of a particularly simply form
156 of presupposition projection (every predicate is a hole).
162 -----------------
164 Start by (re)reading the discussion of monads in the lecture notes for
166 In those notes, we saw a way to separate thinking about error
167 conditions (such as trying to divide by zero) from thinking about
168 normal arithmetic computations.  We did this by making use of the
169 `option` type: in each place where we had something of type `int`, we
170 put instead something of type `int option`, which is a sum type
171 consisting either of one choice with an `int` payload, or else a `None`
172 choice which we interpret as  signaling that something has gone wrong.
174 The goal was to make normal computing as convenient as possible: when
175 we're adding or multiplying, we don't have to worry about generating
176 any new errors, so we do want to think about the difference between
177 `int`s and `int option`s.  We tried to accomplish this by defining a
178 `bind` operator, which enabled us to peel away the `option` husk to get
179 at the delicious integer inside.  There was also a homework problem
180 which made this even more convenient by mapping any binary operation
181 on plain integers into a lifted operation that understands how to deal
182 with `int option`s in a sensible way.
184 [Linguitics note: Dividing by zero is supposed to feel like a kind of
185 presupposition failure.  If we wanted to adapt this approach to
186 building a simple account of presupposition projection, we would have
187 to do several things.  First, we would have to make use of the
188 polymorphism of the `option` type.  In the arithmetic example, we only
189 made use of `int option`s, but when we're composing natural language
190 expression meanings, we'll need to use types like `N option`, `Det option`,
191 `VP option`, and so on.  But that works automatically, because we can use
192 any type for the `'a` in `'a option`.  Ultimately, we'd want to have a
193 theory of accommodation, and a theory of the situations in which
194 material within the sentence can satisfy presuppositions for other
195 material that otherwise would trigger a presupposition violation; but,
196 not surprisingly, these refinements will require some more
197 sophisticated techniques than the super-simple option monad.]
199 So what exactly is a monad?  We can consider a monad to be a system
200 that provides at least the following three elements:
202 *       A complex type that's built around some more basic type. Usually
203         the complex type will be polymorphic, and so can apply to different basic types.
204         In our division example, the polymorphism of the `'a option` type
205         provides a way of building an option out of any other type of object.
206         People often use a container metaphor: if `u` has type `int option`,
207         then `u` is a box that (may) contain an integer.
209                 type 'a option = None | Some of 'a;;
211 *       A way to turn an ordinary value into a monadic value.  In OCaml, we
212         did this for any integer `x` by mapping it to
213         the option `Some x`.  In the general case, this operation is
214         known as `unit` or `return.` Both of those names are terrible. This
215         operation is only very loosely connected to the `unit` type we were
216         discussing earlier (whose value is written `()`). It's also only
217         very loosely connected to the "return" keyword in many other
218         programming languages like C. But these are the names that the literature
219         uses.
221         The unit/return operation is a way of lifting an ordinary object into
222         the monadic box you've defined, in the simplest way possible. You can think
223         of the singleton function as an example: it takes an ordinary object
224         and returns a set containing that object. In the example we've been
225         considering:
227                 let unit x = Some x;;
228                 val unit : 'a -> 'a option = <fun>
230         So `unit` is a way to put something inside of a monadic box. It's crucial
231         to the usefulness of monads that there will be monadic boxes that
232         aren't the result of that operation. In the option/maybe monad, for
233         instance, there's also the empty box `None`. In another (whimsical)
234         example, you might have, in addition to boxes merely containing integers,
235         special boxes that contain integers and also sing a song when they're opened.
237         The unit/return operation will always be the simplest, conceptually
238         most straightforward way to lift an ordinary value into a monadic value
239         of the monadic type in question.
241 *       Thirdly, an operation that's often called `bind`. This is another
242         unfortunate name: this operation is only very loosely connected to
243         what linguists usually mean by "binding." In our option/maybe monad, the
244         bind operation is:
246                 let bind u f = match u with None -> None | Some x -> f x;;
247                 val bind : 'a option -> ('a -> 'b option) -> 'b option = <fun>
249         Note the type: `bind` takes two arguments: first, a monadic box
250         (in this case, an `'a option`); and second, a function from
252         value: in this case, a `'b option` (you can start with, e.g., `int option`s
253         and end with `bool option`s).
255         Intuitively, the interpretation of what `bind` does is this:
256         the first argument is a monadic value `u`, which
257         evaluates to a box that (maybe) contains some ordinary value, call it `x`.
258         Then the second argument uses `x` to compute a new monadic
259         value.  Conceptually, then, we have
261                 let bind u f = (let x = unbox u in f x);;
263         The guts of the definition of the `bind` operation amount to
264         specifying how to unbox the monadic value `u`.  In the `bind`
265         operator for the option monad, we unboxed the monadic value by
266         matching it with the pattern `Some x`---whenever `u`
267         happened to be a box containing an integer `x`, this allowed us to
268         get our hands on that `x` and feed it to `f`.
270         If the monadic box didn't contain any ordinary value,
271         we instead pass through the empty box unaltered.
273         In a more complicated case, like our whimsical "singing box" example
274         from before, if the monadic value happened to be a singing box
275         containing an integer `x`, then the `bind` operation would probably
276         be defined so as to make sure that the result of `f x` was also
277         a singing box. If `f` also wanted to insert a song, you'd have to decide
278         whether both songs would be carried through, or only one of them.
280         There is no single `bind` function that dictates how this must go.
281         For each new monadic type, this has to be worked out in an
282         useful way.
284 So the "option/maybe monad" consists of the polymorphic `option` type, the
285 `unit`/return function, and the `bind` function.
288 A note on notation: Haskell uses the infix operator `>>=` to stand
289 for `bind`. Chris really hates that symbol.  Following Wadler, he prefers to
290 use an infix five-pointed star &#8902;, or on a keyboard, `*`. Jim on the other hand
291 thinks `>>=` is what the literature uses and students won't be able to
292 avoid it. Moreover, although &#8902; is OK (though not a convention that's been picked up), overloading the multiplication symbol invites its own confusion
293 and Jim feels very uneasy about that. If not `>>=` then we should use
294 some other unfamiliar infix symbol (but `>>=` already is such...)
296 In any case, the course leaders will work this out somehow. In the meantime,
297 as you read around, wherever you see `u >>= f`, that means `bind u f`. Also,
298 if you ever see this notation:
300         do
301                 x <- u
302                 f x
304 That's a Haskell shorthand for `u >>= (\x -> f x)`, that is, `bind u f`.
305 Similarly:
307         do
308                 x <- u
309                 y <- v
310                 f x y
312 is shorthand for `u >>= (\x -> v >>= (\y -> f x y))`, that is, `bind u (fun x
313 -> bind v (fun y -> f x y))`. Those who did last week's homework may recognize
314 this last expression.
316 (Note that the above "do" notation comes from Haskell. We're mentioning it here
318 OCaml. In fact, the `<-` symbol already means something different in OCaml,
319 having to do with mutable record fields. We'll be discussing mutation someday
320 soon.)
322 As we proceed, we'll be seeing a variety of other monad systems. For example, another monad is the list monad. Here the monadic type is:
324         # type 'a list
326 The `unit`/return operation is:
328         # let unit x = [x];;
329         val unit : 'a -> 'a list = <fun>
331 That is, the simplest way to lift an `'a` into an `'a list` is just to make a
332 singleton list of that `'a`. Finally, the `bind` operation is:
334         # let bind u f = List.concat (List.map f u);;
335         val bind : 'a list -> ('a -> 'b list) -> 'b list = <fun>
337 What's going on here? Well, consider `List.map f u` first. This goes through all
338 the members of the list `u`. There may be just a single member, if `u = unit x`
339 for some `x`. Or on the other hand, there may be no members, or many members. In
340 any case, we go through them in turn and feed them to `f`. Anything that gets fed
341 to `f` will be an `'a`. `f` takes those values, and for each one, returns a `'b list`.
342 For example, it might return a list of all that value's divisors. Then we'll
343 have a bunch of `'b list`s. The surrounding `List.concat ( )` converts that bunch
344 of `'b list`s into a single `'b list`:
346         # List.concat [; [1;2]; [1;3]; [1;2;4]]
347         - : int list = [1; 1; 2; 1; 3; 1; 2; 4]
350 monadic system, there has to be a specification of the complex monad type,
351 which will be parameterized on some simpler type `'a`, and the `unit`/return
352 operation, and the `bind` operation. These will be different for different
355 Many monadic systems will also define special-purpose operations that only make
356 sense for that system.
358 Although the `unit` and `bind` operation are defined differently for different
359 monadic systems, there are some general rules they always have to follow.
363 --------------
365 Just like good robots, monads must obey three laws designed to prevent
366 them from hurting the people that use them or themselves.
368 *       **Left identity: unit is a left identity for the bind operation.**
369         That is, for all `f:'a -> 'a m`, where `'a m` is a monadic
370         type, we have `(unit x) * f == f x`.  For instance, `unit` is itself
371         a function of type `'a -> 'a m`, so we can use it for `f`:
373                 # let unit x = Some x;;
374                 val unit : 'a -> 'a option = <fun>
375                 # let ( * ) u f = match u with None -> None | Some x -> f x;;
376                 val ( * ) : 'a option -> ('a -> 'b option) -> 'b option = <fun>
378         The parentheses is the magic for telling OCaml that the
379         function to be defined (in this case, the name of the function
380         is `*`, pronounced "bind") is an infix operator, so we write
381         `u * f` or `( * ) u f` instead of `* u f`. Now:
383                 # unit 2;;
384                 - : int option = Some 2
385                 # unit 2 * unit;;
386                 - : int option = Some 2
388                 # let divide x y = if 0 = y then None else Some (x/y);;
389                 val divide : int -> int -> int option = <fun>
390                 # divide 6 2;;
391                 - : int option = Some 3
392                 # unit 2 * divide 6;;
393                 - : int option = Some 3
395                 # divide 6 0;;
396                 - : int option = None
397                 # unit 0 * divide 6;;
398                 - : int option = None
401 *       **Associativity: bind obeys a kind of associativity**. Like this:
403                 (u * f) * g == u * (fun x -> f x * g)
405         If you don't understand why the lambda form is necessary (the "fun
406         x" part), you need to look again at the type of `bind`.
408         Some examples of associativity in the option monad:
410                 # Some 3 * unit * unit;;
411                 - : int option = Some 3
412                 # Some 3 * (fun x -> unit x * unit);;
413                 - : int option = Some 3
415                 # Some 3 * divide 6 * divide 2;;
416                 - : int option = Some 1
417                 # Some 3 * (fun x -> divide 6 x * divide 2);;
418                 - : int option = Some 1
420                 # Some 3 * divide 2 * divide 6;;
421                 - : int option = None
422                 # Some 3 * (fun x -> divide 2 x * divide 6);;
423                 - : int option = None
425 Of course, associativity must hold for *arbitrary* functions of
426 type `'a -> 'a m`, where `m` is the monad type.  It's easy to
427 convince yourself that the `bind` operation for the option monad
428 obeys associativity by dividing the inputs into cases: if `u`
429 matches `None`, both computations will result in `None`; if
430 `u` matches `Some x`, and `f x` evalutes to `None`, then both
431 computations will again result in `None`; and if the value of
432 `f x` matches `Some y`, then both computations will evaluate
433 to `g y`.
435 *       **Right identity: unit is a right identity for bind.**  That is,
436         `u * unit == u` for all monad objects `u`.  For instance,
438                 # Some 3 * unit;;
439                 - : int option = Some 3
440                 # None * unit;;
441                 - : 'a option = None
445 -------------------------
447 If you studied algebra, you'll remember that a *monoid* is an
448 associative operation with a left and right identity.  For instance,
449 the natural numbers along with multiplication form a monoid with 1
450 serving as the left and right identity.  That is, temporarily using
451 `*` to mean arithmetic multiplication, `1 * u == u == u * 1` for all
452 `u`, and `(u * v) * w == u * (v * w)` for all `u`, `v`, and `w`.  As
453 presented here, a monad is not exactly a monoid, because (unlike the
454 arguments of a monoid operation) the two arguments of the bind are of
455 different types.  But it's possible to make the connection between
456 monads and monoids much closer. This is discussed in [Monads in Category
460 Here are some papers that introduced monads into functional programming:
462 *       [Eugenio Moggi, Notions of Computation and Monads](http://www.disi.unige.it/person/MoggiE/ftp/ic91.pdf): Information and Computation 93 (1) 1991.
465 in M. Broy, editor, *Marktoberdorf Summer School on Program Design
466 Calculi*, Springer Verlag, NATO ASI Series F: Computer and systems
467 sciences, Volume 118, August 1992. Also in J. Jeuring and E. Meijer,
468 editors, *Advanced Functional Programming*, Springer Verlag,
469 LNCS 925, 1995. Some errata fixed August 2001.  This paper has a great first
470 line: **Shall I be pure, or impure?**
471 <!--    The use of monads to structure functional programs is described. Monads provide a convenient framework for simulating effects found in other languages, such as global state, exception handling, output, or non-determinism. Three case studies are looked at in detail: how monads ease the modification of a simple evaluator; how monads act as the basis of a datatype of arrays subject to in-place update; and how monads can be used to build parsers.-->
474 invited talk, *19'th Symposium on Principles of Programming Languages*, ACM Press, Albuquerque, January 1992.
475 <!--    This paper explores the use monads to structure functional programs. No prior knowledge of monads or category theory is required.
476         Monads increase the ease with which programs may be modified. They can mimic the effect of impure features such as exceptions, state, and continuations; and also provide effects not easily achieved with such features. The types of a program reflect which effects occur.
477         The first section is an extended example of the use of monads. A simple interpreter is modified to support various extra features: error messages, state, output, and non-deterministic choice. The second section describes the relation between monads and continuation-passing style. The third section sketches how monads are used in a compiler for Haskell that is written in Haskell.-->
479 *       [Daniel Friedman. A Schemer's View of Monads](/schemersviewofmonads.ps): from <https://www.cs.indiana.edu/cgi-pub/c311/doku.php?id=home> but the link above is to a local copy.
481 There's a long list of monad tutorials on the [[Offsite Reading]] page. Skimming the titles makes me laugh.
483 In the presentation we gave above---which follows the functional programming conventions---we took `unit`/return and `bind` as the primitive operations. From these a number of other general monad operations can be derived. It's also possible to take some of the others as primitive. The [Monads in Category
486 Here are some of the other general monad operations. You don't have to master these; they're collected here for your reference.
488 You may sometimes see:
490         u >> v
492 That just means:
494         u >>= fun _ -> v
496 that is:
498         bind u (fun _ -> v)
500 You could also do `bind u (fun x -> v)`; we use the `_` for the function argument to be explicit that that argument is never going to be used.
502 The `lift` operation we asked you to define for last week's homework is a common operation. The second argument to `bind` converts `'a` values into `'b m` values---that is, into instances of the monadic type. What if we instead had a function that merely converts `'a` values into `'b` values, and we want to use it with our monadic type. Then we "lift" that function into an operation on the monad. For example:
504         # let even x = (x mod 2 = 0);;
505         val g : int -> bool = <fun>
507 `even` has the type `int -> bool`. Now what if we want to convert it into an operation on the option/maybe monad?
509         # let lift g = fun u -> bind u (fun x -> Some (g x));;
510         val lift : ('a -> 'b) -> 'a option -> 'b option = <fun>
512 `lift even` will now be a function from `int option`s to `bool option`s. We can
513 also define a lift operation for binary functions:
515         # let lift2 g = fun u v -> bind u (fun x -> bind v (fun y -> Some (g x y)));;
516         val lift2 : ('a -> 'b -> 'c) -> 'a option -> 'b option -> 'c option = <fun>
518 `lift2 (+)` will now be a function from `int option`s  and `int option`s to `int option`s. This should look familiar to those who did the homework.
520 The `lift` operation (just `lift`, not `lift2`) is sometimes also called the `map` operation. (In Haskell, they say `fmap` or `<\$>`.) And indeed when we're working with the list monad, `lift f` is exactly `List.map f`!
522 Wherever we have a well-defined monad, we can define a lift/map operation for that monad. The examples above used `Some (g x)` and so on; in the general case we'd use `unit (g x)`, using the specific `unit` operation for the monad we're working with.
524 In general, any lift/map operation can be relied on to satisfy these laws:
526         * lift id = id
527         * lift (compose f g) = compose (lift f) (lift g)
529 where `id` is `fun x -> x` and `compose f g` is `fun x -> f (g x)`. If you think about the special case of the map operation on lists, this should make sense. `List.map id lst` should give you back `lst` again. And you'd expect these
530 two computations to give the same result:
532         List.map (fun x -> f (g x)) lst
533         List.map f (List.map g lst)
535 Another general monad operation is called `ap` in Haskell---short for "apply." (They also use `<*>`, but who can remember that?) This works like this:
537         ap [f] [x; y] = [f x; f y]
538         ap (Some f) (Some x) = Some (f x)
540 and so on. Here are the laws that any `ap` operation can be relied on to satisfy:
542         ap (unit id) u = u
543         ap (ap (ap (unit compose) u) v) w = ap u (ap v w)
544         ap (unit f) (unit x) = unit (f x)
545         ap u (unit x) = ap (unit (fun f -> f x)) u
547 Another general monad operation is called `join`. This is the operation that takes you from an iterated monad to a single monad. Remember when we were explaining the `bind` operation for the list monad, there was a step where
548 we went from:
550         [; [1;2]; [1;3]; [1;2;4]]
552 to:
554         [1; 1; 2; 1; 3; 1; 2; 4]
556 That is the `join` operation.
558 All of these operations can be defined in terms of `bind` and `unit`; or alternatively, some of them can be taken as primitive and `bind` can be defined in terms of them. Here are various interdefinitions:
560         lift f u = u >>= compose unit f
561         lift f u = ap (unit f) u
562         lift2 f u v = u >>= (fun x -> v >>= (fun y -> unit (f x y)))
563         lift2 f u v = ap (lift f u) v = ap (ap (unit f) u) v
564         ap u v = u >>= (fun f -> lift f v)
565         ap u v = lift2 id u v
566         join m2 = m2 >>= id
567         u >>= f = join (lift f u)
568         u >> v = u >>= (fun _ -> v)
569         u >> v = lift2 (fun _ -> id) u v