week4.mdwn

   1 [[!toc]]
   2
   3 #Q: How do you know that every term in the untyped lambda calculus has a fixed point?#
   4
   5 A: That's easy: let `T` be an arbitrary term in the lambda calculus.  If
   6 `T` has a fixed point, then there exists some `X` such that `X <~~>
   7 TX` (that's what it means to *have* a fixed point).
   8
   9 <pre>
  10 let W = \x.T(xx) in
  11 let X = WW in
  12 X = WW = (\x.T(xx))W = T(WW) = TX
  13 </pre>
  14
  15 Please slow down and make sure that you understand what justified each
  16 of the equalities in the last line.
  17
  18 #Q: How do you know that for any term `T`, `YT` is a fixed point of `T`?#
  19
  20 A: Note that in the proof given in the previous answer, we chose `T`
  21 and then set `X = WW = (\x.T(xx))(\x.T(xx))`.  If we abstract over
  22 `T`, we get the Y combinator, `\T.(\x.T(xx))(\x.T(xx))`.  No matter
  23 what argument `T` we feed Y, it returns some `X` that is a fixed point
  24 of `T`, by the reasoning in the previous answer.
  25
  26 #Q: So if every term has a fixed point, even `Y` has fixed point.#
  27
  28 A: Right:
  29
  30     let Y = \T.(\x.T(xx))(\x.T(xx)) in
  31     Y Y = \T.(\x.T(xx))(\x.T(xx)) Y
  32         = (\x.Y(xx))(\x.Y(xx))
  33         = Y((\x.Y(xx))(\x.Y(xx)))
  34         = Y(Y((\x.Y(xx))(\x.Y(xx))))
  35         = Y(Y(Y(...(Y(YY))...)))
  36
  37 #Q: Ouch!  Stop hurting my brain.#
  38
  39 A: Let's come at it from the direction of arithmetic.  Recall that we
  40 claimed that even `succ`---the function that added one to any
  41 number---had a fixed point.  How could there be an X such that X = X+1?
  42 That would imply that
  43
  44     X = succ X = succ (succ X) = succ (succ (succ (X))) = succ (... (succ X)...)
  45
  46 In other words, the fixed point of `succ` is a term that is its own
  47 successor.  Let's just check that `X = succ X`:
  48
  49     let succ = \n s z. s (n s z) in
  50     let X = (\x.succ(xx))(\x.succ(xx)) in
  51     succ X
  52       = succ ((\x.succ(xx))(\x.succ(xx)))
  53       = succ (succ ((\x.succ(xx))(\x.succ(xx))))
  54       = succ (succ X)
  55
  56 You should see the close similarity with YY here.
  57
  58 #Q. So `Y` applied to `succ` returns a number that is not finite!#
  59
  60 A. Yes!  Let's see why it makes sense to think of `Y succ` as a Church
  61 numeral:
  62
  63       [same definitions]
  64       succ X
  65       = (\n s z. s (n s z)) X
  66       = \s z. s (X s z)
  67       = succ (\s z. s (X s z)) ; using fixed-point reasoning
  68       = \s z. s ([succ (\s z. s (X s z))] s z)
  69       = \s z. s ([\s z. s ([succ (\s z. s (X s z))] s z)] s z)
  70       = \s z. s (s (succ (\s z. s (X s z))))
  71
  72 So `succ X` looks like a numeral: it takes two arguments, `s` and `z`,
  73 and returns a sequence of nested applications of `s`...
  74
  75 You should be able to prove that `add 2 (Y succ) <~~> Y succ`,
  76 likewise for `mult`, `minus`, `pow`.  What happens if we try `minus (Y
  77 succ)(Y succ)`?  What would you expect infinity minus infinity to be?
  78 (Hint: choose your evaluation strategy so that you add two `s`s to the
  79 first number for every `s` that you add to the second number.)
  80
  81 This is amazing, by the way: we're proving things about a term that
  82 represents arithmetic infinity.
  83
  84 It's important to bear in mind the simplest term in question is not
  85 infinite:
  86
  87      Y succ = (\f.(\x.f(xx))(\x.f(xx)))(\n s z. s (n s z))
  88
  89 The way that infinity enters into the picture is that this term has
  90 no normal form: no matter how many times we perform beta reduction,
  91 there will always be an opportunity for more beta reduction.  (Lather,
  92 rinse, repeat!)
  93
  94 #Q. That reminds me, what about [[evaluation order]]?#
  95
  96 A. For a recursive function that has a well-behaved base case, such as
  97 the factorial function, evaluation order is crucial.  In the following
  98 computation, we will arrive at a normal form.  Watch for the moment at
  99 which we have to make a choice about which beta reduction to perform
 100 next: one choice leads to a normal form, the other choice leads to
 101 endless reduction:
 102
 103     let prefac = \f n. isZero n 1 (mult n (f (pred n))) in
 104     let fac = Y prefac in
 105     fac 2
 106        = [(\f.(\x.f(xx))(\x.f(xx))) prefac] 2
 107        = [(\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx))] 2
 108        = [prefac((\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx)))] 2
 109        = [prefac(prefac((\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx))))] 2
 110        = [(\f n. isZero n 1 (mult n (f (pred n))))
 111           (prefac((\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx))))] 2
 112        = [\n. isZero n 1 (mult n ([prefac((\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx)))] (pred n)))] 2
 113        = isZero 2 1 (mult 2 ([prefac((\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx)))] (pred 2)))
 114        = mult 2 ([prefac((\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx)))] 1)
 115        ...
 116        = mult 2 (mult 1 ([prefac((\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx)))] 0))
 117        = mult 2 (mult 1 (isZero 0 1 ([prefac((\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx)))] (pred 0))))
 118        = mult 2 (mult 1 1)
 119        = mult 2 1
 120        = 2
 121
 122 The crucial step is the third from the last.  We have our choice of
 123 either evaluating the test `isZero 0 1 ...`, which evaluates to `1`,
 124 no matter what the ... contains;
 125 or we can evaluate the `Y` pump, `(\x.prefac(xx))(\x.prefac(xx))`, to
 126 produce another copy of `prefac`.  If we postpone evaluting the
 127 `isZero` test, we'll pump out copy after copy of `prefac`, and never
 128 realize that we've bottomed out in the recursion.  But if we adopt a
 129 leftmost/call-by-name/normal-order evaluation strategy, we'll always
 130 start with the `isZero` predicate, and only produce a fresh copy of
 131 `prefac` if we are forced to.
 132
 133 #Q.  You claimed that the Ackerman function couldn't be implemented using our primitive recursion techniques (such as the techniques that allow us to define addition and multiplication).  But you haven't shown that it is possible to define the Ackerman function using full recursion.#
 134
 135 A. OK:
 136
 137 <pre>
 138 A(m,n) =
 139     | when m == 0 -> n + 1
 140     | else when n == 0 -> A(m-1,1)
 141     | else -> A(m-1, A(m,n-1))
 142
 143 let A = Y (\A m n. isZero m (succ n) (isZero n (A (pred m) 1) (A (pred m) (A m (pred n))))) in
 144 </pre>
 145
 146 For instance,
 147
 148     A 1 2
 149     = A 0 (A 1 1)
 150     = A 0 (A 0 (A 1 0))
 151     = A 0 (A 0 (A 0 1))
 152     = A 0 (A 0 2)
 153     = A 0 3
 154     = 4
 155
 156 A 1 x is to A 0 x as addition is to the successor function;
 157 A 2 x is to A 1 x as multiplication is to addition;
 158 A 3 x is to A 2 x as exponentiation is to multiplication---
 159 so A 4 x is to A 3 x as hyper-exponentiation is to exponentiation...
 160
 161 #Q. What other questions should I be asking?#
 162
 163 *    What is it about the variant fixed-point combinators that makes
 164      them compatible with a call-by-value evaluation strategy?
 165
 166 *    How do you know that the Ackerman function can't be computed
 167      using primitive recursion techniques?
 168
 169 *    What *exactly* is primitive recursion?
 170
 171 *    I hear that `Y` delivers the *least* fixed point.  Least
 172      according to what ordering?  How do you know it's least?
 173      Is leastness important?