week4.mdwn

   1 [[!toc]]
   2
   3 #Q: How do you know that every term in the untyped lambda calculus has a fixed point?#
   4
   5 A: That's easy: let `T` be an arbitrary term in the lambda calculus.  If
   6 `T` has a fixed point, then there exists some `X` such that `X <~~>
   7 TX` (that's what it means to *have* a fixed point).
   8
   9 <pre><code>
  10 let L = \x. T (x x) in
  11 let X = L L in
  12 X &equiv; L L &equiv; (\x. T (x x)) L ~~> T (L L) &equiv; T X
  13 </code></pre>
  14
  15 Please slow down and make sure that you understand what justified each
  16 of the equalities in the last line.
  17
  18 #Q: How do you know that for any term `T`, `Y T` is a fixed point of `T`?#
  19
  20 A: Note that in the proof given in the previous answer, we chose `T`
  21 and then set `X = L L = (\x. T (x x)) (\x. T (x x))`.  If we abstract over
  22 `T`, we get the Y combinator, `\T. (\x. T (x x)) (\x. T (x x))`.  No matter
  23 what argument `T` we feed `Y`, it returns some `X` that is a fixed point
  24 of `T`, by the reasoning in the previous answer.
  25
  26 #Q: So if every term has a fixed point, even `Y` has fixed point.#
  27
  28 A: Right:
  29
  30 <pre><code>let Y = \T. (\x. T (x x)) (\x. T (x x)) in
  31 Y Y &equiv; \T. (\x. T (x x)) (\x. T (x x)) Y
  32 ~~> (\x. Y (x x)) (\x. Y (x x))
  33 ~~> Y ((\x. Y (x x)) (\x. Y (x x)))
  34 ~~> Y (Y ((\x. Y (x x)) (\x. Y (x x))))
  35 ~~> Y (Y (Y (...(Y (Y Y))...)))</code></pre>
  36
  37