remove link to advanced from index
[lambda.git] / week1.mdwn
1 Here's what we did in seminar on Monday 9/13,
2
3 Sometimes these notes will expand on things mentioned only briefly in class, or discuss useful tangents that didn't even make it into class. This present page expands on *a lot*, and some of this material will be reviewed next week.
4
5 [Linguistic and Philosophical Applications of the Tools We'll be Studying](/applications)
6 ==========================================================================
7
8 [Explanation of the "Damn" example shown in class](/damn)
9
10 Basics of Lambda Calculus
11 =========================
12
13 See also:
14
15 *       [Chris Barker's Lambda Tutorial](http://homepages.nyu.edu/~cb125/Lambda)
16 *       [Lambda Animator](http://thyer.name/lambda-animator/)
17 *       [Penn lambda calculator](http://www.ling.upenn.edu/lambda/) Pedagogical software developed by Lucas Champollion, Josh Tauberer and Maribel Romero.  Linguistically oriented. 
18 *       MORE
19
20 The lambda calculus we'll be focusing on for the first part of the course has no types. (Some prefer to say it instead has a single type---but if you say that, you have to say that functions from this type to this type also belong to this type. Which is weird.)
21
22 Here is its syntax:
23
24 <blockquote>
25 <strong>Variables</strong>: <code>x</code>, <code>y</code>, <code>z</code>...
26 </blockquote>
27
28 Each variable is an expression. For any expressions M and N and variable a, the following are also expressions:
29
30 <blockquote>
31 <strong>Abstract</strong>: <code>(&lambda;a M)</code>
32 </blockquote>
33
34 We'll tend to write <code>(&lambda;a M)</code> as just `(\a M)`, so we don't have to write out the markup code for the <code>&lambda;</code>. You can yourself write <code>(&lambda;a M)</code> or `(\a M)` or `(lambda a M)`.
35
36 <blockquote>
37 <strong>Application</strong>: <code>(M N)</code>
38 </blockquote>
39
40
41 Examples of expressions:
42
43         x
44         (y x)
45         (x x)
46         (\x y)
47         (\x x)
48         (\x (\y x))
49         (x (\x x))
50         ((\x (x x)) (\x (x x)))
51
52 The lambda calculus has an associated proof theory. For now, we can regard the
53 proof theory as having just one rule, called the rule of **beta-reduction** or
54 "beta-contraction". Suppose you have some expression of the form:
55
56         ((\a M) N)
57
58 that is, an application of an abstract to some other expression. This compound form is called a **redex**, meaning it's a "beta-reducible expression." `(\a M)` is called the **head** of the redex; `N` is called the **argument**, and `M` is called the **body**.
59
60 The rule of beta-reduction permits a transition from that expression to the following:
61
62         M [a:=N]
63
64 What this means is just `M`, with any *free occurrences* inside `M` of the variable `a` replaced with the term `N`.
65
66 What is a free occurrence?
67
68 >       An occurrence of a variable `a` is **bound** in T if T has the form `(\a N)`.
69
70 >       If T has the form `(M N)`, any occurrences of `a` that are bound in `M` are also bound in T, and so too any occurrences of `a` that are bound in `N`.
71
72 >       An occurrence of a variable is **free** if it's not bound.
73
74 For instance:
75
76
77 >       T is defined to be `(x (\x (\y (x (y z)))))`
78
79 The first occurrence of `x` in T is free.  The `\x` we won't regard as containing an occurrence of `x`. The next occurrence of `x` occurs within a form that begins with `\x`, so it is bound as well. The occurrence of `y` is bound; and the occurrence of `z` is free.
80
81 To read further:
82
83 *       [[!wikipedia Free variables and bound variables]]
84
85 Here's an example of beta-reduction:
86
87         ((\x (y x)) z)
88
89 beta-reduces to:
90
91         (y z)
92
93 We'll write that like this:
94
95         ((\x (y x)) z) ~~> (y z)
96
97 Different authors use different notations. Some authors use the term "contraction" for a single reduction step, and reserve the term "reduction" for the reflexive transitive closure of that, that is, for zero or more reduction steps. Informally, it seems easiest to us to say "reduction" for one or more reduction steps. So when we write:
98
99         M ~~> N
100
101 We'll mean that you can get from M to N by one or more reduction steps. Hankin uses the symbol <code><big><big>&rarr;</big></big></code> for one-step contraction, and the symbol <code><big><big>&#8608;</big></big></code> for zero-or-more step reduction. Hindley and Seldin use <code><big><big><big>&#8883;</big></big></big><sub>1</sub></code> and <code><big><big><big>&#8883;</big></big></big></code>.
102
103 When M and N are such that there's some P that M reduces to by zero or more steps, and that N also reduces to by zero or more steps, then we say that M and N are **beta-convertible**. We'll write that like this:
104
105         M <~~> N
106
107 This is what plays the role of equality in the lambda calculus. Hankin uses the symbol `=` for this. So too do Hindley and Seldin. Personally, I keep confusing that with the relation to be described next, so let's use this notation instead. Note that `M <~~> N` doesn't mean that each of `M` and `N` are reducible to each other; that only holds when `M` and `N` are the same expression. (Or, with our convention of only saying "reducible" for one or more reduction steps, it never holds.)
108
109 In the metatheory, it's also sometimes useful to talk about formulas that are syntactically equivalent *before any reductions take place*. Hankin uses the symbol <code>&equiv;</code> for this. So too do Hindley and Seldin. We'll use that too, and will avoid using `=` when discussing the metatheory. Instead we'll use `<~~>` as we said above. When we want to introduce a stipulative definition, we'll write it out longhand, as in:
110
111 >       T is defined to be `(M N)`.
112
113 We'll regard the following two expressions:
114
115         (\x (x y))
116
117         (\z (z y))
118
119 as syntactically equivalent, since they only involve a typographic change of a bound variable. Read Hankin section 2.3 for discussion of different attitudes one can take about this.
120
121 Note that neither of those expressions are identical to:
122
123         (\x (x w))
124
125 because here it's a free variable that's been changed. Nor are they identical to:
126
127         (\y (y y))
128
129 because here the second occurrence of `y` is no longer free.
130
131 There is plenty of discussion of this, and the fine points of how substitution works, in Hankin and in various of the tutorials we've linked to about the lambda calculus. We expect you have a good intuitive understanding of what to do already, though, even if you're not able to articulate it rigorously.
132
133 *       [More discussion in week 2 notes](/week2/#index1h1)
134
135
136 Shorthand
137 ---------
138
139 The grammar we gave for the lambda calculus leads to some verbosity. There are several informal conventions in widespread use, which enable the language to be written more compactly. (If you like, you could instead articulate a formal grammar which incorporates these additional conventions. Instead of showing it to you, we'll leave it as an exercise for those so inclined.)
140
141
142 **Parentheses** Outermost parentheses around applications can be dropped. Moreover, applications will associate to the left, so `M N P` will be understood as `((M N) P)`. Finally, you can drop parentheses around abstracts, but not when they're part of an application. So you can abbreviate:
143
144         (\x (x y))
145
146 as:
147
148         \x (x y)
149
150 but you should include the parentheses in:
151
152         (\x (x y)) z
153
154 and:
155
156         z (\x (x y))
157
158
159 **Dot notation** Dot means "put a left paren here, and put the right
160 paren as far the right as possible without creating unbalanced
161 parentheses". So:
162
163         \x (\y (x y))
164
165 can be abbreviated as:
166
167         \x (\y. x y)
168
169 and that as:
170
171         \x. \y. x y
172
173 This:
174
175         \x. \y. (x y) x
176
177 abbreviates:
178
179         \x (\y ((x y) x))
180
181 This on the other hand:
182
183         (\x. \y. (x y)) x
184
185 abbreviates:
186
187         ((\x (\y (x y))) x)
188
189
190 **Merging lambdas** An expression of the form `(\x (\y M))`, or equivalently, `(\x. \y. M)`, can be abbreviated as:
191
192         (\x y. M)
193
194 Similarly, `(\x (\y (\z M)))` can be abbreviated as:
195
196         (\x y z. M)
197
198
199 Lambda terms represent functions
200 --------------------------------
201
202 The untyped lambda calculus is Turing complete: all (recursively computable) functions can be represented by lambda terms. For some lambda terms, it is easy to see what function they represent:
203
204 >       `(\x x)` represents the identity function: given any argument `M`, this function
205 simply returns `M`: `((\x x) M) ~~> M`.
206
207 >       `(\x (x x))` duplicates its argument:
208 `((\x (x x)) M) ~~> (M M)`
209
210 >       `(\x (\y x))` throws away its second argument:
211 `(((\x (\y x)) M) N) ~~> M`
212
213 and so on.
214
215 It is easy to see that distinct lambda expressions can represent the same
216 function, considered as a mapping from input to outputs. Obviously:
217
218         (\x x)
219
220 and:
221
222         (\z z)
223
224 both represent the same function, the identity function. However, we said above that we would be regarding these expressions as synactically equivalent, so they aren't yet really examples of *distinct* lambda expressions representing a single function. However, all three of these are distinct lambda expressions:
225
226         (\y x. y x) (\z z)
227
228         (\x. (\z z) x)
229
230         (\z z)
231
232 yet when applied to any argument M, all of these will always return M. So they have the same extension. It's also true, though you may not yet be in a position to see, that no other function can differentiate between them when they're supplied as an argument to it. However, these expressions are all syntactically distinct.
233
234 The first two expressions are *convertible*: in particular the first reduces to the second. So they can be regarded as proof-theoretically equivalent even though they're not syntactically identical. However, the proof theory we've given so far doesn't permit you to reduce the second expression to the third. So these lambda expressions are non-equivalent.
235
236 There's an extension of the proof-theory we've presented so far which does permit this further move. And in that extended proof theory, all computable functions with the same extension do turn out to be equivalent (convertible). However, at that point, we still won't be working with the traditional mathematical notion of a function as a set of ordered pairs. One reason is that the latter but not the former permits many uncomputable functions. A second reason is that the latter but not the former prohibits functions from applying to themselves. We discussed this some at the end of Monday's meeting (and further discussion is best pursued in person).
237
238
239
240 Booleans and pairs
241 ==================
242
243 Our definition of these is reviewed in [[Assignment1]].
244
245
246 It's possible to do the assignment without using a Scheme interpreter, however
247 you should take this opportunity to [get Scheme installed on your
248 computer](/how_to_get_the_programming_languages_running_on_your_computer), and
249 [get started learning Scheme](/learning_scheme). It will help you test out
250 proposed answers to the assignment.
251
252
253 There's also a (slow, bare-bones, but perfectly adequate) version of Scheme available for online use at <http://tryscheme.sourceforge.net/>.
254
255
256
257 Declarative/functional vs Imperatival/dynamic models of computation
258 ===================================================================
259
260 Many of you, like us, will have grown up thinking the paradigm of computation is a sequence of changes. Let go of that. It will take some care to separate the operative notion of "sequencing" here from other notions close to it, but once that's done, you'll see that languages that have no significant notions of sequencing or changes are Turing complete: they can perform any computation we know how to describe. In itself, that only puts them on equal footing with more mainstream, imperatival programming languages like C and Java and Python, which are also Turing complete. But further, the languages we want you to become familiar with can reasonably be understood to be more fundamental. They embody the elemental building blocks that computer scientists use when reasoning about and designing other languages.
261
262 Jim offered the metaphor: think of imperatival languages, which include "mutation" and "side-effects" (we'll flesh out these keywords as we proceeed), as the p&acirc;t&eacute; of computation. We want to teach you about the meat and potatoes, where as it turns out there is no sequencing and no changes. There's just the evaluation or simplification of complex expressions.
263
264 Now, when you ask the Scheme interpreter to simplify an expression for you, that's a kind of dynamic interaction between you and the interpreter. You may wonder then why these languages should not also be understood imperatively. The difference is that in a purely declarative or functional language, there are no dynamic effects in the language itself. It's just a static semantic fact about the language that one expression reduces to another. You may have verified that fact through your dynamic interactions with the Scheme interpreter, but that's different from saying that there are dynamic effects in the language itself.
265
266 What the latter would amount to will become clearer as we build our way up to languages which are genuinely imperatival or dynamic.
267
268 Many of the slogans and keywords we'll encounter in discussions of these issues call for careful interpretation. They mean various different things.
269
270 For example, you'll encounter the claim that declarative languages are distinguished by their **referential transparency.** What's meant by this is not always exactly the same, and as a cluster, it's related to but not the same as this means for philosophers and linguists.
271
272 The notion of **function** that we'll be working with will be one that, by default, sometimes counts as non-identical functions that map all their inputs to the very same outputs. For example, two functions from jumbled decks of cards to sorted decks of cards may use different algorithms and hence be different functions.
273
274 It's possible to enhance the lambda calculus so that functions do get identified when they map all the same inputs to the same outputs. This is called making the calculus **extensional**. Church called languages which didn't do this **intensional**. If you try to understand that kind of "intensionality" in terms of functions from worlds to extensions (an idea also associated with Church), you may hurt yourself. So too if you try to understand it in terms of mental stereotypes, another notion sometimes designated by "intension."
275
276 It's often said that dynamic systems are distinguished because they are the ones in which **order matters**. However, there are many ways in which order can matter. If we have a trivalent boolean system, for example---easily had in a purely functional calculus---we might choose to give a truth-table like this for "and":
277
278         true and true   = true
279         true and *      = *
280         true and false  = false
281         * and true      = *
282         * and *         = *
283         * and false     = *
284         false and true  = false
285         false and *     = false
286         false and false = false
287
288 And then we'd notice that `* and false` has a different intepretation than `false and *`. (The same phenomenon is already present with the material conditional in bivalent logics; but seeing that a non-symmetric semantics for `and` is available even for functional languages is instructive.)
289
290 Another way in which order can matter that's present even in functional languages is that the interpretation of some complex expressions can depend on the order in which sub-expressions are evaluated. Evaluated in one order, the computations might never terminate (and so semantically we interpret them as having "the bottom value"---we'll discuss this). Evaluated in another order, they might have a perfectly mundane value. Here's an example, though we'll reserve discussion of it until later:
291
292         (\x. y) ((\x. x x) (\x. x x))
293
294 Again, these facts are all part of the metatheory of purely functional languages. But *there is* a different sense of "order matters" such that it's only in imperatival languages that order so matters.
295
296         x := 2
297         x := x + 1
298         x == 3
299
300 Here the comparison in the last line will evaluate to true.
301
302         x := x + 1
303         x := 2
304         x == 3
305
306 Here the comparison in the last line will evaluate to false.
307
308 One of our goals for this course is to get you to understand *what is* that new
309 sense such that only so matters in imperatival languages.
310
311 Finally, you'll see the term **dynamic** used in a variety of ways in the literature for this course:
312
313 *       dynamic versus static typing
314
315 *       dynamic versus lexical [[!wikipedia Scope (programming) desc="scoping"]]
316
317 *       dynamic versus static control operators
318
319 *       finally, we're used ourselves to talking about dynamic versus static semantics
320
321 For the most part, these uses are only loosely connected to each other. We'll tend to use "imperatival" to describe the kinds of semantic properties made available in dynamic semantics, languages which have robust notions of sequencing changes, and so on.
322
323 To read further about the relation between declarative or functional programming, on the one hand, and imperatival programming on the other, you can begin here:
324
325 *       [[!wikipedia Declarative programming]]
326 *       [[!wikipedia Functional programming]]
327 *       [[!wikipedia Purely functional]]
328 *       [[!wikipedia Referential transparency (computer science)]]
329 *       [[!wikipedia Imperative programming]]
330 *       [[!wikipedia Side effect (computer science) desc="Side effects"]]
331
332
333 Map
334 ===
335
336 <table>
337 <tr>
338 <td width=30%>Scheme (functional part)</td>
339 <td width=30%>OCaml (functional part)</td>
340 <td width=30%>C, Java, Pasval<br>
341 Scheme (imperative part)<br>
342 OCaml (imperative part)</td>
343 <tr>
344 <td width=30%>untyped lambda calculus<br>
345 combinatorial logic</td>
346 <tr>
347 <td colspan=3 align=center>--------------------------------------------------- Turing complete ---------------------------------------------------</td>
348 <tr>
349 <td width=30%>&nbsp;
350 <td width=30%>more advanced type systems, such as polymorphic types
351 <td width=30%>&nbsp;
352 <tr>
353 <td width=30%>&nbsp;
354 <td width=30%>simply-typed lambda calculus (what linguists mostly use)
355 <td width=30%>&nbsp;
356 </table>
357
358
359
360 Rosetta Stone
361 =============
362
363 Here's how it looks to say the same thing in various of these languages.
364
365 The following site may be useful; it lets you run a Scheme interpreter inside your web browser:
366
367 *       [Try Scheme in your web browser](http://tryscheme.sourceforge.net/)
368
369 &nbsp;
370
371 1.      Function application and parentheses
372
373         In Scheme and the lambda calculus, the functions you're applying always go to the left. So you write `(foo 2)` and also `(+ 2 3)`.
374
375         Mostly that's how OCaml is written too:
376
377                 foo 2
378
379         But a few familiar binary operators can be written infix, so:
380
381                 2 + 3
382
383         You can also write them operator-leftmost, if you put them inside parentheses to help the parser understand you:
384
385                 ( + ) 2 3
386
387         I'll mostly do this, for uniformity with Scheme and the lambda calculus.
388
389         In OCaml and the lambda calculus, this:
390
391                 foo 2 3
392
393         means the same as:
394
395                 ((foo 2) 3)
396
397         These functions are "curried". `foo 2` returns a `2`-fooer, which waits for an argument like `3` and then foos `2` to it. `( + ) 2` returns a `2`-adder, which waits for an argument like `3` and then adds `2` to it. For further reading: 
398
399 *       [[!wikipedia Currying]]
400
401         In Scheme, on the other hand, there's a difference between `((foo 2) 3)` and `(foo 2 3)`. Scheme distinguishes between unary functions that return unary functions and binary functions. For our seminar purposes, it will be easiest if you confine yourself to unary functions in Scheme as much as possible.
402
403         Scheme is very sensitive to parentheses and whenever you want a function applied to any number of arguments, you need to wrap the function and its arguments in a parentheses. So you have to write `(foo 2)`; if you only say `foo 2`, Scheme won't understand you.
404
405         Scheme uses a lot of parentheses, and they are always significant, never optional. Often the parentheses mean "apply this function to these arguments," as just described. But in a moment we'll see other constructions in Scheme where the parentheses have different roles. They do lots of different work in Scheme.
406
407
408 2.      Binding suitable values to the variables `three` and `two`, and adding them.
409
410         In Scheme:
411
412                 (let* ((three 3))
413                           (let* ((two 2))
414                                    (+ three two)))
415
416         Most of the parentheses in this construction *aren't* playing the role of applying a function to some arguments---only the ones in `(+ three two)` are doing that.
417
418
419         In OCaml:
420
421                 let three = 3 in
422                         let two = 2 in
423                                 ( + ) three two
424
425         In the lambda calculus:
426
427         Here we're on our own, we don't have predefined constants like `+` and `3` and `2` to work with. We've got to build up everything from scratch. We'll be seeing how to do that over the next weeks.
428
429         But supposing you had constructed appropriate values for `+` and `3` and `2`, you'd place them in the ellided positions in:
430
431                 (((\three (\two ((... three) two))) ...) ...)
432         
433         In an ordinary imperatival language like C:
434
435                 int three = 3;
436                 int two = 2;
437                 three + two;
438
439 2.      Mutation
440
441         In C this looks almost the same as what we had before:
442
443                 int x = 3;
444                 x = 2;
445
446         Here we first initialize `x` to hold the value 3; then we mutate `x` to hold a new value.
447
448         In (the imperatival part of) Scheme, this could be done as:
449
450                 (let ((x (box 3)))
451                          (set-box! x 2))
452
453         In general, mutating operations in Scheme are named with a trailing `!`. There are other imperatival constructions, though, like `(print ...)`, that don't follow that convention.
454
455         In (the imperatival part of) OCaml, this could be done as:
456
457                 let x = ref 3 in
458                         x := 2
459
460         Of course you don't need to remember any of this syntax. We're just illustrating it so that you see that in Scheme and OCaml it looks somewhat different than we had above. The difference is much more obvious than it is in C.
461
462         In the lambda calculus:
463
464         Sorry, you can't do mutation. At least, not natively. Later in the term we'll be learning how in fact, really, you can embed mutation inside the lambda calculus even though the lambda calculus has no primitive facilities for mutation.
465
466
467
468
469 3.      Anonymous functions
470
471         Functions are "first-class values" in the lambda calculus, in Scheme, and in OCaml. What that means is that they can be arguments to, and results of, other functions. They can be stored in data structures. And so on. To read further:
472
473         *       [[!wikipedia Higher-order function]]
474         *       [[!wikipedia First-class function]]
475
476         We'll begin by looking at what "anonymous" functions look like. These are functions that have not been bound as values to any variables. That is, there are no variables whose value they are.
477
478         In the lambda calculus:
479
480                 (\x M)
481
482         ---where `M` is any simple or complex expression---is anonymous. It's only when you do:
483
484                 ((\y N) (\x M))
485
486         that `(\x M)` has a "name" (it's named `y` during the evaluation of `N`).
487
488         In Scheme, the same thing is written:
489
490                 (lambda (x) M)
491
492         Not very different, right? For example, if `M` stands for `(+ 3 x)`, then here is an anonymous function that adds 3 to whatever argument it's given:
493
494                 (lambda (x) (+ 3 x))
495
496         In OCaml, we write our anonymous function like this:
497
498                 fun x -> ( + ) 3 x
499
500
501 4.      Supplying an argument to an anonymous function
502
503         Just because the functions we built aren't named doesn't mean we can't do anything with them. We can give them arguments. For example, in Scheme we can say:
504
505                 ((lambda (x) (+ 3 x)) 2)
506
507         The outermost parentheses here mean "apply the function `(lambda (x) (+ 3 x))` to the argument `2`, or equivalently, "give the value `2` as an argument to the function `(lambda (x) (+ 3 x))`.
508
509         In OCaml:
510
511                 (fun x -> ( + ) 3 x) 2
512
513
514 5.      Binding variables to values with "let"
515
516         Let's go back and re-consider this Scheme expression:
517
518                 (let* ((three 3))
519                           (let* ((two 2))
520                                    (+ three two)))
521
522         Scheme also has a simple `let` (without the ` *`), and it permits you to group several variable bindings together in a single `let`- or `let*`-statement, like this:
523
524                 (let* ((three 3) (two 2))
525                           (+ three two))
526
527         Often you'll get the same results whether you use `let*` or `let`. However, there are cases where it makes a difference, and in those cases, `let*` behaves more like you'd expect. So you should just get into the habit of consistently using that. It's also good discipline for this seminar, especially while you're learning, to write things out the longer way, like this:
528
529                 (let* ((three 3))
530                           (let* ((two 2))
531                                    (+ three two)))
532
533         However, here you've got the double parentheses in `(let* ((three 3)) ...)`. They're doubled because the syntax permits more assignments than just the assignment of the value `3` to the variable `three`. Myself I tend to use `[` and `]` for the outer of these parentheses: `(let* [(three 3)] ...)`. Scheme can be configured to parse `[...]` as if they're just more `(...)`.
534
535         It was asked in seminar if the `3` could be replaced by a more complex expression. The answer is "yes". You could also write:
536
537                 (let* [(three (+ 1 2))]
538                           (let* [(two 2)]
539                                    (+ three two)))
540         
541         It was also asked whether the `(+ 1 2)` computation would be performed before or after it was bound to the variable `three`. That's a terrific question. Let's say this: both strategies could be reasonable designs for a language. We are going to discuss this carefully in coming weeks. In fact Scheme and OCaml make the same design choice. But you should think of the underlying form of the `let`-statement as not settling this by itself.
542
543         Repeating our starting point for reference:
544
545                 (let* [(three 3)]
546                           (let* [(two 2)]
547                                    (+ three two)))
548
549         Recall in OCaml this same computation was written:
550
551                 let three = 3 in
552                         let two = 2 in
553                                 ( + ) three two
554
555 6.      Binding with "let" is the same as supplying an argument to a lambda
556
557         The preceding expression in Scheme is exactly equivalent to:
558
559                 (((lambda (three) (lambda (two) (+ three two))) 3) 2)
560
561         The preceding expression in OCaml is exactly equivalent to:
562
563                 (fun three -> (fun two -> ( + ) three two)) 3 2
564
565         Read this several times until you understand it.
566
567 7.      Functions can also be bound to variables (and hence, cease being "anonymous").
568
569         In Scheme:
570
571                 (let* [(bar (lambda (x) B))] M)
572
573         then wherever `bar` occurs in `M` (and isn't rebound by a more local `let` or `lambda`), it will be interpreted as the function `(lambda (x) B)`.
574
575         Similarly, in OCaml:
576
577                 let bar = fun x -> B in
578                         M
579
580         This in Scheme:
581
582                 (let* [(bar (lambda (x) B))] (bar A))
583
584         as we've said, means the same as:
585
586                 ((lambda (bar) (bar A)) (lambda (x) B))
587
588         which beta-reduces to:
589
590                 ((lambda (x) B) A)
591
592         and that means the same as:
593
594                 (let* [(x A)] B)
595
596         in other words: evaluate `B` with `x` assigned to the value `A`.
597
598         Similarly, this in OCaml:
599
600                 let bar = fun x -> B in
601                         bar A
602
603         is equivalent to:
604
605                 (fun x -> B) A
606
607         and that means the same as:
608
609                 let x = A in
610                         B
611
612 8.      Pushing a "let"-binding from now until the end
613
614         What if you want to do something like this, in Scheme?
615
616                 (let* [(x A)] ... for the rest of the file or interactive session ...)
617
618         or this, in OCaml:
619
620                 let x = A in
621                         ... for the rest of the file or interactive session ...
622
623         Scheme and OCaml have syntactic shorthands for doing this. In Scheme it's written like this:
624
625                 (define x A)
626                 ... rest of the file or interactive session ...
627
628         In OCaml it's written like this:
629
630                 let x = A;;
631                 ... rest of the file or interactive session ...
632
633         It's easy to be lulled into thinking this is a kind of imperative construction. *But it's not!* It's really just a shorthand for the compound `let`-expressions we've already been looking at, taking the maximum syntactically permissible scope. (Compare the "dot" convention in the lambda calculus, discussed above. I'm fudging a bit here, since in Scheme `(define ...)` is really shorthand for a `letrec` epression, which we'll come to in later classes.)
634
635 9.      Some shorthand
636
637         OCaml permits you to abbreviate:
638
639                 let bar = fun x -> B in
640                         M
641
642         as:
643
644                 let bar x = B in
645                         M
646
647         It also permits you to abbreviate:
648
649                 let bar = fun x -> B;;
650
651         as:
652
653                 let bar x = B;;
654
655         Similarly, Scheme permits you to abbreviate:
656
657                 (define bar (lambda (x) B))
658
659         as:
660
661                 (define (bar x) B)
662
663         and this is the form you'll most often see Scheme definitions written in.
664
665         However, conceptually you should think backwards through the abbreviations and equivalences we've just presented.
666
667                 (define (bar x) B)
668
669         just means:
670
671                 (define bar (lambda (x) B))
672
673         which just means:
674
675                 (let* [(bar (lambda (x) B))] ... rest of the file or interactive session ...)
676
677         which just means:
678
679                 (lambda (bar) ... rest of the file or interactive session ...) (lambda (x) B)
680
681         or in other words, interpret the rest of the file or interactive session with `bar` assigned the function `(lambda (x) B)`.
682
683
684 10.     Shadowing
685
686         You can override a binding with a more inner binding to the same variable. For instance the following expression in OCaml:
687
688                 let x = 3 in
689                         let x = 2 in
690                                 x
691
692         will evaluate to 2, not to 3. It's easy to be lulled into thinking this is the same as what happens when we say in C:
693
694                 int x = 3;
695                 x = 2;
696         
697         <em>but it's not the same!</em> In the latter case we have mutation, in the former case we don't. You will learn to recognize the difference as we proceed.
698
699         The OCaml expression just means:
700
701                 (fun x -> ((fun x -> x) 2) 3)
702
703         and there's no more mutation going on there than there is in:
704
705         <pre><code>&forall;x. (F x or &forall;x (not (F x)))
706         </code></pre>
707
708         When a previously-bound variable is rebound in the way we see here, that's called **shadowing**: the outer binding is shadowed during the scope of the inner binding.
709
710         See also:
711
712         *       [[!wikipedia Variable shadowing]]
713
714
715 Some more comparisons between Scheme and OCaml
716 ----------------------------------------------
717
718 *       Simple predefined values
719
720         Numbers in Scheme: `2`, `3`  
721         In OCaml: `2`, `3`
722
723         Booleans in Scheme: `#t`, `#f`  
724         In OCaml: `true`, `false`
725
726         The eighth letter in the Latin alphabet, in Scheme: `#\h`  
727         In OCaml: `'h'`
728
729 *       Compound values
730
731         These are values which are built up out of (zero or more) simple values.
732
733         Ordered pairs in Scheme: `'(2 . 3)` or `(cons 2 3)`  
734         In OCaml: `(2, 3)`
735
736         Lists in Scheme: `'(2 3)` or `(list 2 3)`  
737         In OCaml: `[2; 3]`  
738         We'll be explaining the difference between pairs and lists next week.
739
740         The empty list, in Scheme: `'()` or `(list)`  
741         In OCaml: `[]`
742
743         The string consisting just of the eighth letter of the Latin alphabet, in Scheme: `"h"`  
744         In OCaml: `"h"`
745
746         A longer string, in Scheme: `"horse"`  
747         In OCaml: `"horse"`
748
749         A shorter string, in Scheme: `""`  
750         In OCaml: `""`
751
752
753
754 What "sequencing" is and isn't
755 ------------------------------
756
757 We mentioned before the idea that computation is a sequencing of some changes. I said we'd be discussing (fragments of, and in some cases, entire) languages that have no native notion of change.
758
759 Neither do they have any useful notion of sequencing. But what this would be takes some care to identify.
760
761 First off, the mere concatenation of expressions isn't what we mean by sequencing. Concatenation of expressions is how you build syntactically complex expressions out of simpler ones. The complex expressions often express a computation where a function is applied to one (or more) arguments,
762
763 Second, the kind of rebinding we called "shadowing" doesn't involve any changes or sequencing. All the precedence facts about that kind of rebinding are just consequences of the compound syntactic structures in which it occurs.
764
765 Third, the kinds of bindings we see in:
766
767         (define foo A)
768         (foo 2)
769
770 Or even:
771
772         (define foo A)
773         (define foo B)
774         (foo 2)
775
776 don't involve any changes or sequencing in the sense we're trying to identify. As we said, these programs are just syntactic variants of (single) compound syntactic structures involving `let`s and `lambda`s.
777
778 Since Scheme and OCaml also do permit imperatival constructions, they do have syntax for genuine sequencing. In Scheme it looks like this:
779
780         (begin A B C)
781
782 In OCaml it looks like this:
783
784         begin A; B; C end
785
786 Or this:
787
788         (A; B; C)
789
790 In the presence of imperatival elements, sequencing order is very relevant. For example, these will behave differently:
791
792         (begin (print "under") (print "water"))
793         
794         (begin (print "water") (print "under"))
795
796 And so too these:
797
798         begin x := 3; x := 2; x end
799
800         begin x := 2; x := 3; x end
801
802 However, if A and B are purely functional, non-imperatival expressions, then:
803
804         begin A; B; C end
805
806 just evaluates to C (so long as A and B evaluate to something at all). So:
807
808         begin A; B; C end
809
810 contributes no more to a larger context in which it's embedded than C does. This is the sense in which functional languages have no serious notion of sequencing.
811
812 We'll discuss this more as the seminar proceeds.
813
814
815
816