evaluator links
[lambda.git] / week1.mdwn
1 Here's what we did in seminar on Monday 9/13,
2
3 Sometimes these notes will expand on things mentioned only briefly in class, or discuss useful tangents that didn't even make it into class. This present page expands on *a lot*, and some of this material will be reviewed next week.
4
5 [Linguistic and Philosophical Applications of the Tools We'll be Studying](/applications)
6 ==========================================================================
7
8 [Explanation of the "Damn" example shown in class](/damn)
9
10 Basics of Lambda Calculus
11 =========================
12
13 The lambda calculus we'll be focusing on for the first part of the course has no types. (Some prefer to say it instead has a single type---but if you say that, you have to say that functions from this type to this type also belong to this type. Which is weird... In fact, though, such types are studied, under the name "recursive type." More about these later in the seminar.)
14
15 Here is its syntax:
16
17 <blockquote>
18 <strong>Variables</strong>: <code>x</code>, <code>y</code>, <code>z</code>...
19 </blockquote>
20
21 Each variable is an expression. For any expressions M and N and variable a, the following are also expressions:
22
23 <blockquote>
24 <strong>Abstract</strong>: <code>(&lambda;a M)</code>
25 </blockquote>
26
27 We'll tend to write <code>(&lambda;a M)</code> as just `(\a M)`, so we don't have to write out the markup code for the <code>&lambda;</code>. You can yourself write <code>(&lambda;a M)</code> or `(\a M)` or `(lambda a M)`.
28
29 <blockquote>
30 <strong>Application</strong>: <code>(M N)</code>
31 </blockquote>
32
33
34 Examples of expressions:
35
36         x
37         (y x)
38         (x x)
39         (\x y)
40         (\x x)
41         (\x (\y x))
42         (x (\x x))
43         ((\x (x x)) (\x (x x)))
44
45 The lambda calculus has an associated proof theory. For now, we can regard the
46 proof theory as having just one rule, called the rule of **beta-reduction** or
47 "beta-contraction". Suppose you have some expression of the form:
48
49         ((\a M) N)
50
51 that is, an application of an abstract to some other expression. This compound form is called a **redex**, meaning it's a "beta-reducible expression." `(\a M)` is called the **head** of the redex; `N` is called the **argument**, and `M` is called the **body**.
52
53 The rule of beta-reduction permits a transition from that expression to the following:
54
55         M [a:=N]
56
57 What this means is just `M`, with any *free occurrences* inside `M` of the variable `a` replaced with the term `N`.
58
59 What is a free occurrence?
60
61 >       An occurrence of a variable `a` is **bound** in T if T has the form `(\a N)`.
62
63 >       If T has the form `(M N)`, any occurrences of `a` that are bound in `M` are also bound in T, and so too any occurrences of `a` that are bound in `N`.
64
65 >       An occurrence of a variable is **free** if it's not bound.
66
67 For instance:
68
69
70 >       T is defined to be `(x (\x (\y (x (y z)))))`
71
72 The first occurrence of `x` in T is free.  The `\x` we won't regard as containing an occurrence of `x`. The next occurrence of `x` occurs within a form that begins with `\x`, so it is bound as well. The occurrence of `y` is bound; and the occurrence of `z` is free.
73
74 To read further:
75
76 *       [[!wikipedia Free variables and bound variables]]
77
78 Here's an example of beta-reduction:
79
80         ((\x (y x)) z)
81
82 beta-reduces to:
83
84         (y z)
85
86 We'll write that like this:
87
88         ((\x (y x)) z) ~~> (y z)
89
90 Different authors use different notations. Some authors use the term "contraction" for a single reduction step, and reserve the term "reduction" for the reflexive transitive closure of that, that is, for zero or more reduction steps. Informally, it seems easiest to us to say "reduction" for one or more reduction steps. So when we write:
91
92         M ~~> N
93
94 We'll mean that you can get from M to N by one or more reduction steps. Hankin uses the symbol <code><big><big>&rarr;</big></big></code> for one-step contraction, and the symbol <code><big><big>&#8608;</big></big></code> for zero-or-more step reduction. Hindley and Seldin use <code><big><big><big>&#8883;</big></big></big><sub>1</sub></code> and <code><big><big><big>&#8883;</big></big></big></code>.
95
96 When M and N are such that there's some P that M reduces to by zero or more steps, and that N also reduces to by zero or more steps, then we say that M and N are **beta-convertible**. We'll write that like this:
97
98         M <~~> N
99
100 This is what plays the role of equality in the lambda calculus. Hankin uses the symbol `=` for this. So too do Hindley and Seldin. Personally, I keep confusing that with the relation to be described next, so let's use this notation instead. Note that `M <~~> N` doesn't mean that each of `M` and `N` are reducible to each other; that only holds when `M` and `N` are the same expression. (Or, with our convention of only saying "reducible" for one or more reduction steps, it never holds.)
101
102 In the metatheory, it's also sometimes useful to talk about formulas that are syntactically equivalent *before any reductions take place*. Hankin uses the symbol <code>&equiv;</code> for this. So too do Hindley and Seldin. We'll use that too, and will avoid using `=` when discussing the metatheory. Instead we'll use `<~~>` as we said above. When we want to introduce a stipulative definition, we'll write it out longhand, as in:
103
104 >       T is defined to be `(M N)`.
105
106 We'll regard the following two expressions:
107
108         (\x (x y))
109
110         (\z (z y))
111
112 as syntactically equivalent, since they only involve a typographic change of a bound variable. Read Hankin section 2.3 for discussion of different attitudes one can take about this.
113
114 Note that neither of those expressions are identical to:
115
116         (\x (x w))
117
118 because here it's a free variable that's been changed. Nor are they identical to:
119
120         (\y (y y))
121
122 because here the second occurrence of `y` is no longer free.
123
124 There is plenty of discussion of this, and the fine points of how substitution works, in Hankin and in various of the tutorials we've linked to about the lambda calculus. We expect you have a good intuitive understanding of what to do already, though, even if you're not able to articulate it rigorously.
125
126 *       [More discussion in week 2 notes](/week2/#index1h1)
127
128
129 Shorthand
130 ---------
131
132 The grammar we gave for the lambda calculus leads to some verbosity. There are several informal conventions in widespread use, which enable the language to be written more compactly. (If you like, you could instead articulate a formal grammar which incorporates these additional conventions. Instead of showing it to you, we'll leave it as an exercise for those so inclined.)
133
134
135 **Parentheses** Outermost parentheses around applications can be dropped. Moreover, applications will associate to the left, so `M N P` will be understood as `((M N) P)`. Finally, you can drop parentheses around abstracts, but not when they're part of an application. So you can abbreviate:
136
137         (\x (x y))
138
139 as:
140
141         \x (x y)
142
143 but you should include the parentheses in:
144
145         (\x (x y)) z
146
147 and:
148
149         z (\x (x y))
150
151
152 **Dot notation** Dot means "put a left paren here, and put the right
153 paren as far the right as possible without creating unbalanced
154 parentheses". So:
155
156         \x (\y (x y))
157
158 can be abbreviated as:
159
160         \x (\y. x y)
161
162 and that as:
163
164         \x. \y. x y
165
166 This:
167
168         \x. \y. (x y) x
169
170 abbreviates:
171
172         \x (\y ((x y) x))
173
174 This on the other hand:
175
176         (\x. \y. (x y)) x
177
178 abbreviates:
179
180         ((\x (\y (x y))) x)
181
182
183 **Merging lambdas** An expression of the form `(\x (\y M))`, or equivalently, `(\x. \y. M)`, can be abbreviated as:
184
185         (\x y. M)
186
187 Similarly, `(\x (\y (\z M)))` can be abbreviated as:
188
189         (\x y z. M)
190
191
192 Lambda terms represent functions
193 --------------------------------
194
195 The untyped lambda calculus is Turing complete: all (recursively computable) functions can be represented by lambda terms. For some lambda terms, it is easy to see what function they represent:
196
197 >       `(\x x)` represents the identity function: given any argument `M`, this function
198 simply returns `M`: `((\x x) M) ~~> M`.
199
200 >       `(\x (x x))` duplicates its argument:
201 `((\x (x x)) M) ~~> (M M)`
202
203 >       `(\x (\y x))` throws away its second argument:
204 `(((\x (\y x)) M) N) ~~> M`
205
206 and so on.
207
208 It is easy to see that distinct lambda expressions can represent the same
209 function, considered as a mapping from input to outputs. Obviously:
210
211         (\x x)
212
213 and:
214
215         (\z z)
216
217 both represent the same function, the identity function. However, we said above that we would be regarding these expressions as synactically equivalent, so they aren't yet really examples of *distinct* lambda expressions representing a single function. However, all three of these are distinct lambda expressions:
218
219         (\y x. y x) (\z z)
220
221         (\x. (\z z) x)
222
223         (\z z)
224
225 yet when applied to any argument M, all of these will always return M. So they have the same extension. It's also true, though you may not yet be in a position to see, that no other function can differentiate between them when they're supplied as an argument to it. However, these expressions are all syntactically distinct.
226
227 The first two expressions are *convertible*: in particular the first reduces to the second. So they can be regarded as proof-theoretically equivalent even though they're not syntactically identical. However, the proof theory we've given so far doesn't permit you to reduce the second expression to the third. So these lambda expressions are non-equivalent.
228
229 There's an extension of the proof-theory we've presented so far which does permit this further move. And in that extended proof theory, all computable functions with the same extension do turn out to be equivalent (convertible). However, at that point, we still won't be working with the traditional mathematical notion of a function as a set of ordered pairs. One reason is that the latter but not the former permits many uncomputable functions. A second reason is that the latter but not the former prohibits functions from applying to themselves. We discussed this some at the end of Monday's meeting (and further discussion is best pursued in person).
230
231
232
233 Booleans and pairs
234 ==================
235
236 Our definition of these is reviewed in [[Assignment1]].
237
238
239 It's possible to do the assignment without using a Scheme interpreter, however
240 you should take this opportunity to [get Scheme installed on your
241 computer](/how_to_get_the_programming_languages_running_on_your_computer), and
242 [get started learning Scheme](/learning_scheme). It will help you test out
243 proposed answers to the assignment.
244
245
246 There's also a (slow, bare-bones, but perfectly adequate) version of Scheme available for online use at <http://tryscheme.sourceforge.net/>.
247
248
249
250 Declarative/functional vs Imperatival/dynamic models of computation
251 ===================================================================
252
253 Many of you, like us, will have grown up thinking the paradigm of computation is a sequence of changes. Let go of that. It will take some care to separate the operative notion of "sequencing" here from other notions close to it, but once that's done, you'll see that languages that have no significant notions of sequencing or changes are Turing complete: they can perform any computation we know how to describe. In itself, that only puts them on equal footing with more mainstream, imperatival programming languages like C and Java and Python, which are also Turing complete. But further, the languages we want you to become familiar with can reasonably be understood to be more fundamental. They embody the elemental building blocks that computer scientists use when reasoning about and designing other languages.
254
255 Jim offered the metaphor: think of imperatival languages, which include "mutation" and "side-effects" (we'll flesh out these keywords as we proceeed), as the p&acirc;t&eacute; of computation. We want to teach you about the meat and potatoes, where as it turns out there is no sequencing and no changes. There's just the evaluation or simplification of complex expressions.
256
257 Now, when you ask the Scheme interpreter to simplify an expression for you, that's a kind of dynamic interaction between you and the interpreter. You may wonder then why these languages should not also be understood imperatively. The difference is that in a purely declarative or functional language, there are no dynamic effects in the language itself. It's just a static semantic fact about the language that one expression reduces to another. You may have verified that fact through your dynamic interactions with the Scheme interpreter, but that's different from saying that there are dynamic effects in the language itself.
258
259 What the latter would amount to will become clearer as we build our way up to languages which are genuinely imperatival or dynamic.
260
261 Many of the slogans and keywords we'll encounter in discussions of these issues call for careful interpretation. They mean various different things.
262
263 For example, you'll encounter the claim that declarative languages are distinguished by their **referential transparency.** What's meant by this is not always exactly the same, and as a cluster, it's related to but not the same as this means for philosophers and linguists.
264
265 The notion of **function** that we'll be working with will be one that, by default, sometimes counts as non-identical functions that map all their inputs to the very same outputs. For example, two functions from jumbled decks of cards to sorted decks of cards may use different algorithms and hence be different functions.
266
267 It's possible to enhance the lambda calculus so that functions do get identified when they map all the same inputs to the same outputs. This is called making the calculus **extensional**. Church called languages which didn't do this **intensional**. If you try to understand that kind of "intensionality" in terms of functions from worlds to extensions (an idea also associated with Church), you may hurt yourself. So too if you try to understand it in terms of mental stereotypes, another notion sometimes designated by "intension."
268
269 It's often said that dynamic systems are distinguished because they are the ones in which **order matters**. However, there are many ways in which order can matter. If we have a trivalent boolean system, for example---easily had in a purely functional calculus---we might choose to give a truth-table like this for "and":
270
271         true and true   = true
272         true and *      = *
273         true and false  = false
274         * and true      = *
275         * and *         = *
276         * and false     = *
277         false and true  = false
278         false and *     = false
279         false and false = false
280
281 And then we'd notice that `* and false` has a different intepretation than `false and *`. (The same phenomenon is already present with the material conditional in bivalent logics; but seeing that a non-symmetric semantics for `and` is available even for functional languages is instructive.)
282
283 Another way in which order can matter that's present even in functional languages is that the interpretation of some complex expressions can depend on the order in which sub-expressions are evaluated. Evaluated in one order, the computations might never terminate (and so semantically we interpret them as having "the bottom value"---we'll discuss this). Evaluated in another order, they might have a perfectly mundane value. Here's an example, though we'll reserve discussion of it until later:
284
285         (\x. y) ((\x. x x) (\x. x x))
286
287 Again, these facts are all part of the metatheory of purely functional languages. But *there is* a different sense of "order matters" such that it's only in imperatival languages that order so matters.
288
289         x := 2
290         x := x + 1
291         x == 3
292
293 Here the comparison in the last line will evaluate to true.
294
295         x := x + 1
296         x := 2
297         x == 3
298
299 Here the comparison in the last line will evaluate to false.
300
301 One of our goals for this course is to get you to understand *what is* that new
302 sense such that only so matters in imperatival languages.
303
304 Finally, you'll see the term **dynamic** used in a variety of ways in the literature for this course:
305
306 *       dynamic versus static typing
307
308 *       dynamic versus lexical [[!wikipedia Scope (programming) desc="scoping"]]
309
310 *       dynamic versus static control operators
311
312 *       finally, we're used ourselves to talking about dynamic versus static semantics
313
314 For the most part, these uses are only loosely connected to each other. We'll tend to use "imperatival" to describe the kinds of semantic properties made available in dynamic semantics, languages which have robust notions of sequencing changes, and so on.
315
316 To read further about the relation between declarative or functional programming, on the one hand, and imperatival programming on the other, you can begin here:
317
318 *       [[!wikipedia Declarative programming]]
319 *       [[!wikipedia Functional programming]]
320 *       [[!wikipedia Purely functional]]
321 *       [[!wikipedia Referential transparency (computer science)]]
322 *       [[!wikipedia Imperative programming]]
323 *       [[!wikipedia Side effect (computer science) desc="Side effects"]]
324
325
326 Map
327 ===
328
329 <table>
330 <tr>
331 <td width=30%>Scheme (functional part)</td>
332 <td width=30%>OCaml (functional part)</td>
333 <td width=30%>C, Java, Pasval<br>
334 Scheme (imperative part)<br>
335 OCaml (imperative part)</td>
336 <tr>
337 <td width=30%>untyped lambda calculus<br>
338 combinatorial logic</td>
339 <tr>
340 <td colspan=3 align=center>--------------------------------------------------- Turing complete ---------------------------------------------------</td>
341 <tr>
342 <td width=30%>&nbsp;
343 <td width=30%>more advanced type systems, such as polymorphic types
344 <td width=30%>&nbsp;
345 <tr>
346 <td width=30%>&nbsp;
347 <td width=30%>simply-typed lambda calculus (what linguists mostly use)
348 <td width=30%>&nbsp;
349 </table>
350
351
352
353 Rosetta Stone
354 =============
355
356 Here's how it looks to say the same thing in various of these languages.
357
358 The following site may be useful; it lets you run a Scheme interpreter inside your web browser:
359
360 *       [Try Scheme in your web browser](http://tryscheme.sourceforge.net/)
361
362 &nbsp;
363
364 1.      Function application and parentheses
365
366         In Scheme and the lambda calculus, the functions you're applying always go to the left. So you write `(foo 2)` and also `(+ 2 3)`.
367
368         Mostly that's how OCaml is written too:
369
370                 foo 2
371
372         But a few familiar binary operators can be written infix, so:
373
374                 2 + 3
375
376         You can also write them operator-leftmost, if you put them inside parentheses to help the parser understand you:
377
378                 ( + ) 2 3
379
380         I'll mostly do this, for uniformity with Scheme and the lambda calculus.
381
382         In OCaml and the lambda calculus, this:
383
384                 foo 2 3
385
386         means the same as:
387
388                 ((foo 2) 3)
389
390         These functions are "curried". `foo 2` returns a `2`-fooer, which waits for an argument like `3` and then foos `2` to it. `( + ) 2` returns a `2`-adder, which waits for an argument like `3` and then adds `2` to it. For further reading: 
391
392 *       [[!wikipedia Currying]]
393
394         In Scheme, on the other hand, there's a difference between `((foo 2) 3)` and `(foo 2 3)`. Scheme distinguishes between unary functions that return unary functions and binary functions. For our seminar purposes, it will be easiest if you confine yourself to unary functions in Scheme as much as possible.
395
396         Scheme is very sensitive to parentheses and whenever you want a function applied to any number of arguments, you need to wrap the function and its arguments in a parentheses. So you have to write `(foo 2)`; if you only say `foo 2`, Scheme won't understand you.
397
398         Scheme uses a lot of parentheses, and they are always significant, never optional. Often the parentheses mean "apply this function to these arguments," as just described. But in a moment we'll see other constructions in Scheme where the parentheses have different roles. They do lots of different work in Scheme.
399
400
401 2.      Binding suitable values to the variables `three` and `two`, and adding them.
402
403         In Scheme:
404
405                 (let* ((three 3))
406                           (let* ((two 2))
407                                    (+ three two)))
408
409         Most of the parentheses in this construction *aren't* playing the role of applying a function to some arguments---only the ones in `(+ three two)` are doing that.
410
411
412         In OCaml:
413
414                 let three = 3 in
415                         let two = 2 in
416                                 ( + ) three two
417
418         In the lambda calculus:
419
420         Here we're on our own, we don't have predefined constants like `+` and `3` and `2` to work with. We've got to build up everything from scratch. We'll be seeing how to do that over the next weeks.
421
422         But supposing you had constructed appropriate values for `+` and `3` and `2`, you'd place them in the ellided positions in:
423
424                 (((\three (\two ((... three) two))) ...) ...)
425         
426         In an ordinary imperatival language like C:
427
428                 int three = 3;
429                 int two = 2;
430                 three + two;
431
432 2.      Mutation
433
434         In C this looks almost the same as what we had before:
435
436                 int x = 3;
437                 x = 2;
438
439         Here we first initialize `x` to hold the value 3; then we mutate `x` to hold a new value.
440
441         In (the imperatival part of) Scheme, this could be done as:
442
443                 (let ((x (box 3)))
444                          (set-box! x 2))
445
446         In general, mutating operations in Scheme are named with a trailing `!`. There are other imperatival constructions, though, like `(print ...)`, that don't follow that convention.
447
448         In (the imperatival part of) OCaml, this could be done as:
449
450                 let x = ref 3 in
451                         x := 2
452
453         Of course you don't need to remember any of this syntax. We're just illustrating it so that you see that in Scheme and OCaml it looks somewhat different than we had above. The difference is much more obvious than it is in C.
454
455         In the lambda calculus:
456
457         Sorry, you can't do mutation. At least, not natively. Later in the term we'll be learning how in fact, really, you can embed mutation inside the lambda calculus even though the lambda calculus has no primitive facilities for mutation.
458
459
460
461
462 3.      Anonymous functions
463
464         Functions are "first-class values" in the lambda calculus, in Scheme, and in OCaml. What that means is that they can be arguments to, and results of, other functions. They can be stored in data structures. And so on. To read further:
465
466         *       [[!wikipedia Higher-order function]]
467         *       [[!wikipedia First-class function]]
468
469         We'll begin by looking at what "anonymous" functions look like. These are functions that have not been bound as values to any variables. That is, there are no variables whose value they are.
470
471         In the lambda calculus:
472
473                 (\x M)
474
475         ---where `M` is any simple or complex expression---is anonymous. It's only when you do:
476
477                 ((\y N) (\x M))
478
479         that `(\x M)` has a "name" (it's named `y` during the evaluation of `N`).
480
481         In Scheme, the same thing is written:
482
483                 (lambda (x) M)
484
485         Not very different, right? For example, if `M` stands for `(+ 3 x)`, then here is an anonymous function that adds 3 to whatever argument it's given:
486
487                 (lambda (x) (+ 3 x))
488
489         In OCaml, we write our anonymous function like this:
490
491                 fun x -> ( + ) 3 x
492
493
494 4.      Supplying an argument to an anonymous function
495
496         Just because the functions we built aren't named doesn't mean we can't do anything with them. We can give them arguments. For example, in Scheme we can say:
497
498                 ((lambda (x) (+ 3 x)) 2)
499
500         The outermost parentheses here mean "apply the function `(lambda (x) (+ 3 x))` to the argument `2`, or equivalently, "give the value `2` as an argument to the function `(lambda (x) (+ 3 x))`.
501
502         In OCaml:
503
504                 (fun x -> ( + ) 3 x) 2
505
506
507 5.      Binding variables to values with "let"
508
509         Let's go back and re-consider this Scheme expression:
510
511                 (let* ((three 3))
512                           (let* ((two 2))
513                                    (+ three two)))
514
515         Scheme also has a simple `let` (without the ` *`), and it permits you to group several variable bindings together in a single `let`- or `let*`-statement, like this:
516
517                 (let* ((three 3) (two 2))
518                           (+ three two))
519
520         Often you'll get the same results whether you use `let*` or `let`. However, there are cases where it makes a difference, and in those cases, `let*` behaves more like you'd expect. So you should just get into the habit of consistently using that. It's also good discipline for this seminar, especially while you're learning, to write things out the longer way, like this:
521
522                 (let* ((three 3))
523                           (let* ((two 2))
524                                    (+ three two)))
525
526         However, here you've got the double parentheses in `(let* ((three 3)) ...)`. They're doubled because the syntax permits more assignments than just the assignment of the value `3` to the variable `three`. Myself I tend to use `[` and `]` for the outer of these parentheses: `(let* [(three 3)] ...)`. Scheme can be configured to parse `[...]` as if they're just more `(...)`.
527
528         It was asked in seminar if the `3` could be replaced by a more complex expression. The answer is "yes". You could also write:
529
530                 (let* [(three (+ 1 2))]
531                           (let* [(two 2)]
532                                    (+ three two)))
533         
534         It was also asked whether the `(+ 1 2)` computation would be performed before or after it was bound to the variable `three`. That's a terrific question. Let's say this: both strategies could be reasonable designs for a language. We are going to discuss this carefully in coming weeks. In fact Scheme and OCaml make the same design choice. But you should think of the underlying form of the `let`-statement as not settling this by itself.
535
536         Repeating our starting point for reference:
537
538                 (let* [(three 3)]
539                           (let* [(two 2)]
540                                    (+ three two)))
541
542         Recall in OCaml this same computation was written:
543
544                 let three = 3 in
545                         let two = 2 in
546                                 ( + ) three two
547
548 6.      Binding with "let" is the same as supplying an argument to a lambda
549
550         The preceding expression in Scheme is exactly equivalent to:
551
552                 (((lambda (three) (lambda (two) (+ three two))) 3) 2)
553
554         The preceding expression in OCaml is exactly equivalent to:
555
556                 (fun three -> (fun two -> ( + ) three two)) 3 2
557
558         Read this several times until you understand it.
559
560 7.      Functions can also be bound to variables (and hence, cease being "anonymous").
561
562         In Scheme:
563
564                 (let* [(bar (lambda (x) B))] M)
565
566         then wherever `bar` occurs in `M` (and isn't rebound by a more local `let` or `lambda`), it will be interpreted as the function `(lambda (x) B)`.
567
568         Similarly, in OCaml:
569
570                 let bar = fun x -> B in
571                         M
572
573         This in Scheme:
574
575                 (let* [(bar (lambda (x) B))] (bar A))
576
577         as we've said, means the same as:
578
579                 ((lambda (bar) (bar A)) (lambda (x) B))
580
581         which beta-reduces to:
582
583                 ((lambda (x) B) A)
584
585         and that means the same as:
586
587                 (let* [(x A)] B)
588
589         in other words: evaluate `B` with `x` assigned to the value `A`.
590
591         Similarly, this in OCaml:
592
593                 let bar = fun x -> B in
594                         bar A
595
596         is equivalent to:
597
598                 (fun x -> B) A
599
600         and that means the same as:
601
602                 let x = A in
603                         B
604
605 8.      Pushing a "let"-binding from now until the end
606
607         What if you want to do something like this, in Scheme?
608
609                 (let* [(x A)] ... for the rest of the file or interactive session ...)
610
611         or this, in OCaml:
612
613                 let x = A in
614                         ... for the rest of the file or interactive session ...
615
616         Scheme and OCaml have syntactic shorthands for doing this. In Scheme it's written like this:
617
618                 (define x A)
619                 ... rest of the file or interactive session ...
620
621         In OCaml it's written like this:
622
623                 let x = A;;
624                 ... rest of the file or interactive session ...
625
626         It's easy to be lulled into thinking this is a kind of imperative construction. *But it's not!* It's really just a shorthand for the compound `let`-expressions we've already been looking at, taking the maximum syntactically permissible scope. (Compare the "dot" convention in the lambda calculus, discussed above. I'm fudging a bit here, since in Scheme `(define ...)` is really shorthand for a `letrec` epression, which we'll come to in later classes.)
627
628 9.      Some shorthand
629
630         OCaml permits you to abbreviate:
631
632                 let bar = fun x -> B in
633                         M
634
635         as:
636
637                 let bar x = B in
638                         M
639
640         It also permits you to abbreviate:
641
642                 let bar = fun x -> B;;
643
644         as:
645
646                 let bar x = B;;
647
648         Similarly, Scheme permits you to abbreviate:
649
650                 (define bar (lambda (x) B))
651
652         as:
653
654                 (define (bar x) B)
655
656         and this is the form you'll most often see Scheme definitions written in.
657
658         However, conceptually you should think backwards through the abbreviations and equivalences we've just presented.
659
660                 (define (bar x) B)
661
662         just means:
663
664                 (define bar (lambda (x) B))
665
666         which just means:
667
668                 (let* [(bar (lambda (x) B))] ... rest of the file or interactive session ...)
669
670         which just means:
671
672                 (lambda (bar) ... rest of the file or interactive session ...) (lambda (x) B)
673
674         or in other words, interpret the rest of the file or interactive session with `bar` assigned the function `(lambda (x) B)`.
675
676
677 10.     Shadowing
678
679         You can override a binding with a more inner binding to the same variable. For instance the following expression in OCaml:
680
681                 let x = 3 in
682                         let x = 2 in
683                                 x
684
685         will evaluate to 2, not to 3. It's easy to be lulled into thinking this is the same as what happens when we say in C:
686
687                 int x = 3;
688                 x = 2;
689         
690         <em>but it's not the same!</em> In the latter case we have mutation, in the former case we don't. You will learn to recognize the difference as we proceed.
691
692         The OCaml expression just means:
693
694                 (fun x -> ((fun x -> x) 2) 3)
695
696         and there's no more mutation going on there than there is in:
697
698         <pre><code>&forall;x. (F x or &forall;x (not (F x)))
699         </code></pre>
700
701         When a previously-bound variable is rebound in the way we see here, that's called **shadowing**: the outer binding is shadowed during the scope of the inner binding.
702
703         See also:
704
705         *       [[!wikipedia Variable shadowing]]
706
707
708 Some more comparisons between Scheme and OCaml
709 ----------------------------------------------
710
711 *       Simple predefined values
712
713         Numbers in Scheme: `2`, `3`  
714         In OCaml: `2`, `3`
715
716         Booleans in Scheme: `#t`, `#f`  
717         In OCaml: `true`, `false`
718
719         The eighth letter in the Latin alphabet, in Scheme: `#\h`  
720         In OCaml: `'h'`
721
722 *       Compound values
723
724         These are values which are built up out of (zero or more) simple values.
725
726         Ordered pairs in Scheme: `'(2 . 3)` or `(cons 2 3)`  
727         In OCaml: `(2, 3)`
728
729         Lists in Scheme: `'(2 3)` or `(list 2 3)`  
730         In OCaml: `[2; 3]`  
731         We'll be explaining the difference between pairs and lists next week.
732
733         The empty list, in Scheme: `'()` or `(list)`  
734         In OCaml: `[]`
735
736         The string consisting just of the eighth letter of the Latin alphabet, in Scheme: `"h"`  
737         In OCaml: `"h"`
738
739         A longer string, in Scheme: `"horse"`  
740         In OCaml: `"horse"`
741
742         A shorter string, in Scheme: `""`  
743         In OCaml: `""`
744
745
746
747 What "sequencing" is and isn't
748 ------------------------------
749
750 We mentioned before the idea that computation is a sequencing of some changes. I said we'd be discussing (fragments of, and in some cases, entire) languages that have no native notion of change.
751
752 Neither do they have any useful notion of sequencing. But what this would be takes some care to identify.
753
754 First off, the mere concatenation of expressions isn't what we mean by sequencing. Concatenation of expressions is how you build syntactically complex expressions out of simpler ones. The complex expressions often express a computation where a function is applied to one (or more) arguments,
755
756 Second, the kind of rebinding we called "shadowing" doesn't involve any changes or sequencing. All the precedence facts about that kind of rebinding are just consequences of the compound syntactic structures in which it occurs.
757
758 Third, the kinds of bindings we see in:
759
760         (define foo A)
761         (foo 2)
762
763 Or even:
764
765         (define foo A)
766         (define foo B)
767         (foo 2)
768
769 don't involve any changes or sequencing in the sense we're trying to identify. As we said, these programs are just syntactic variants of (single) compound syntactic structures involving `let`s and `lambda`s.
770
771 Since Scheme and OCaml also do permit imperatival constructions, they do have syntax for genuine sequencing. In Scheme it looks like this:
772
773         (begin A B C)
774
775 In OCaml it looks like this:
776
777         begin A; B; C end
778
779 Or this:
780
781         (A; B; C)
782
783 In the presence of imperatival elements, sequencing order is very relevant. For example, these will behave differently:
784
785         (begin (print "under") (print "water"))
786         
787         (begin (print "water") (print "under"))
788
789 And so too these:
790
791         begin x := 3; x := 2; x end
792
793         begin x := 2; x := 3; x end
794
795 However, if A and B are purely functional, non-imperatival expressions, then:
796
797         begin A; B; C end
798
799 just evaluates to C (so long as A and B evaluate to something at all). So:
800
801         begin A; B; C end
802
803 contributes no more to a larger context in which it's embedded than C does. This is the sense in which functional languages have no serious notion of sequencing.
804
805 We'll discuss this more as the seminar proceeds.
806
807
808
809