2c686583929b8e65d537b04ada523f7909c45813
[lambda.git] / week1.mdwn
1 Here's what we did in seminar on Monday 9/13,
2
3 Sometimes these notes will expand on things mentioned only briefly in class, or discuss useful tangents that didn't even make it into class. These notes expand on *a lot*, and some of this material will be reviewed next week.
4
5 Applications
6 ============
7
8 We mentioned a number of linguistic and philosophical applications of the tools that we'd be helping you learn in the seminar. (We really do mean "helping you learn," not "teaching you." You'll need to aggressively browse and experiment with the material yourself, or nothing we do in a few two-hour sessions will succeed in inducing mastery of it.)
9
10 From linguistics
11 ----------------
12
13 *       generalized quantifiers are a special case of operating on continuations
14
15 *       (Chris: fill in other applications...)
16
17 *       expressives -- at the end of the seminar we gave a demonstration of modeling [[damn]] using continuations...see the [summary](/damn) for more explanation and elaboration
18
19 From philosophy
20 ---------------
21
22 *       the natural semantics for positive free logic is thought by some to have objectionable ontological commitments; Jim says that thought turns on not understanding the notion of a "union type", and conflating the folk notion of "naming" with the technical notion of semantic value. We'll discuss this in due course.
23
24 *       those issues may bear on Russell's Gray's Elegy argument in "On Denoting"
25
26 *       and on discussion of the difference between the meaning of "is beautiful" and "beauty," and the difference between the meaning of "that snow is white" and "the proposition that snow is white."
27
28 *       the apparatus of monads, and techniques for statically representing the semantics of an imperatival language quite generally, are explicitly or implicitly invoked in dynamic semantics
29
30 *       the semantics for mutation will enable us to make sense of a difference between numerical and qualitative identity---for purely mathematical objects!
31
32 *       issues in that same neighborhood will help us better understand proposals like Kit Fine's that semantics is essentially coordinated, and that `R a a` and `R a b` can differ in interpretation even when `a` and `b` don't
33
34
35
36
37 Basics of Lambda Calculus
38 =========================
39
40 The lambda calculus we'll be focusing on for the first part of the course has no types. (Some prefer to say it instead has a single type---but if you say that, you have to say that functions from this type to this type also belong to this type. Which is weird.)
41
42 Here is its syntax:
43
44 <blockquote>
45 <strong>Variables</strong>: <code>x</code>, <code>y</code>, <code>z</code>...
46 </blockquote>
47
48 Each variable is an expression. For any expressions M and N and variable a, the following are also expressions:
49
50 <blockquote>
51 <strong>Abstract</strong>: <code>(&lambda;a M)</code>
52 </blockquote>
53
54 We'll tend to write <code>(&lambda;a M)</code> as just `(\a M)`, so we don't have to write out the markup code for the <code>&lambda;</code>. You can yourself write <code>(&lambda;a M)</code> or `(\a M)` or `(lambda a M)`.
55
56 <blockquote>
57 <strong>Application</strong>: <code>(M N)</code>
58 </blockquote>
59
60 Some *authors* reserve the term "term" for just variables and abstracts. We won't participate in that convention; we'll probably just say "term" and "expression" indiscriminately for expressions of any of these three forms.
61
62 Examples of expressions:
63
64         x
65         (y x)
66         (x x)
67         (\x y)
68         (\x x)
69         (\x (\y x))
70         (x (\x x))
71         ((\x (x x)) (\x (x x)))
72
73 The lambda calculus has an associated proof theory. For now, we can regard the
74 proof theory as having just one rule, called the rule of **beta-reduction** or
75 "beta-contraction". Suppose you have some expression of the form:
76
77         ((\a M) N)
78
79 that is, an application of an abstract to some other expression. This compound form is called a **redex**, meaning it's a "beta-reducible expression." `(\a M)` is called the **head** of the redex; `N` is called the **argument**, and `M` is called the **body**.
80
81 The rule of beta-reduction permits a transition from that expression to the following:
82
83         M [a:=N]
84
85 What this means is just `M`, with any *free occurrences* inside `M` of the variable `a` replaced with the term `N`.
86
87 What is a free occurrence?
88
89 >       An occurrence of a variable `a` is **bound** in T if T has the form `(\a N)`.
90
91 >       If T has the form `(M N)`, any occurrences of `a` that are bound in `M` are also bound in T, and so too any occurrences of `a` that are bound in `N`.
92
93 >       An occurrence of a variable is **free** if it's not bound.
94
95 For instance:
96
97
98 >       T is defined to be `(x (\x (\y (x (y z)))))`
99
100 The first occurrence of `x` in T is free.  The `\x` we won't regard as being an occurrence of `x`. The next occurrence of `x` occurs within a form that begins with `\x`, so it is bound as well. The occurrence of `y` is bound; and the occurrence of `z` is free.
101
102 Here's an example of beta-reduction:
103
104         ((\x (y x)) z)
105
106 beta-reduces to:
107
108         (y z)
109
110 We'll write that like this:
111
112         ((\x (y x)) z) ~~> (y z)
113
114 Different authors use different notations. Some authors use the term "contraction" for a single reduction step, and reserve the term "reduction" for the reflexive transitive closure of that, that is, for zero or more reduction steps. Informally, it seems easiest to us to say "reduction" for one or more reduction steps. So when we write:
115
116         M ~~> N
117
118 We'll mean that you can get from M to N by one or more reduction steps. Hankin uses the symbol <code><big><big>&rarr;</big></big></code> for one-step contraction, and the symbol <code><big><big>&#8608;</big></big></code> for zero-or-more step reduction. Hindley and Seldin use <code><big><big><big>&#8883;</big></big></big><sub>1</sub></code> and <code><big><big><big>&#8883;</big></big></big></code>.
119
120 When M and N are such that there's some P that M reduces to by zero or more steps, and that N also reduces to by zero or more steps, then we say that M and N are **beta-convertible**. We'll write that like this:
121
122         M <~~> N
123
124 This is what plays the role of equality in the lambda calculus. Hankin uses the symbol `=` for this. So too do Hindley and Seldin. Personally, I keep confusing that with the relation to be described next, so let's use this notation instead. Note that `M <~~> N` doesn't mean that each of `M` and `N` are reducible to each other; that only holds when `M` and `N` are the same expression. (Or, with our convention of only saying "reducible" for one or more reduction steps, it never holds.)
125
126 In the metatheory, it's also sometimes useful to talk about formulas that are syntactically equivalent *before any reductions take place*. Hankin uses the symbol <code>&equiv;</code> for this. So too do Hindley and Seldin. We'll use that too, and will avoid using `=` when discussing metatheory for the lambda calculus. Instead we'll use `<~~>` as we said above. When we want to introduce a stipulative definition, we'll write it out longhand, as in:
127
128 >       T is defined to be `(M N)`.
129
130 We'll regard the following two expressions:
131
132         (\x (x y))
133
134         (\z (z y))
135
136 as syntactically equivalent, since they only involve a typographic change of a bound variable. Read Hankin section 2.3 for discussion of different attitudes one can take about this.
137
138 Note that neither of those expressions are identical to:
139
140         (\x (x w))
141
142 because here it's a free variable that's been changed. Nor are they identical to:
143
144         (\y (y y))
145
146 because here the second occurrence of `y` is no longer free.
147
148 There is plenty of discussion of this, and the fine points of how substitution works, in Hankin and in various of the tutorials we've linked to about the lambda calculus. We expect you have a good intuitive understanding of what to do already, though, even if you're not able to articulate it rigorously.
149
150
151 Shorthand
152 ---------
153
154 The grammar we gave for the lambda calculus leads to some verbosity. There are several informal conventions in widespread use, which enable the language to be written more compactly. (If you like, you could instead articulate a formal grammar which incorporates these additional conventions. Instead of showing it to you, we'll leave it as an exercise for those so inclined.)
155
156
157 **Dot notation** Dot means "put a left paren here, and put the right
158 paren as far the right as possible without creating unbalanced
159 parentheses". So:
160
161         (\x (\y (x y)))
162
163 can be abbreviated as:
164
165         (\x (\y. x y))
166
167 and:
168
169         (\x (\y. (z y) z))
170
171 would abbreviate:
172
173         (\x (\y ((z y) z)))
174
175 This on the other hand:
176
177         (\x (\y. z y) z)
178
179 would abbreviate:
180
181         (\x (\y (z y)) z)
182
183 **Parentheses** Outermost parentheses around applications can be dropped. Moreover, applications will associate to the left, so `M N P` will be understood as `((M N) P)`. Finally, you can drop parentheses around abstracts, but not when they're part of an application. So you can abbreviate:
184
185         (\x. x y)
186
187 as:
188
189         \x. x y
190
191 but you should include the parentheses in:
192
193         (\x. x y) z
194
195 and:
196
197         z (\x. x y)
198
199 **Merging lambdas** An expression of the form `(\x (\y M))`, or equivalently, `(\x. \y. M)`, can be abbreviated as:
200
201         (\x y. M)
202
203 Similarly, `(\x (\y (\z M)))` can be abbreviated as:
204
205         (\x y z. M)
206
207
208 Lambda terms represent functions
209 --------------------------------
210
211 All (recursively computable) functions can be represented by lambda
212 terms (the untyped lambda calculus is Turing complete). For some lambda terms, it is easy to see what function they represent:
213
214 >       `(\x x)` represents the identity function: given any argument `M`, this function
215 simply returns `M`: `((\x x) M) ~~> M`.
216
217 >       `(\x (x x))` duplicates its argument:
218 `((\x (x x)) M) ~~> (M M)`
219
220 >       `(\x (\y x))` throws away its second argument:
221 `(((\x (\y x)) M) N) ~~> M`
222
223 and so on.
224
225 It is easy to see that distinct lambda expressions can represent the same
226 function, considered as a mapping from input to outputs. Obviously:
227
228         (\x x)
229
230 and:
231
232         (\z z)
233
234 both represent the same function, the identity function. However, we said above that we would be regarding these expressions as synactically equivalent, so they aren't yet really examples of *distinct* lambda expressions representing a single function. However, all three of these are distinct lambda expressions:
235
236         (\y x. y x) (\z z)
237
238         (\x. (\z z) x)
239
240         (\z z)
241
242 yet when applied to any argument M, all of these will always return M. So they have the same extension. It's also true, though you may not yet be in a position to see, that no other function can differentiate between them when they're supplied as an argument to it. However, these expressions are all syntactically distinct.
243
244 The first two expressions are *convertible*: in particular the first reduces to the second. So they can be regarded as proof-theoretically equivalent even though they're not syntactically identical. However, the proof theory we've given so far doesn't permit you to reduce the second expression to the third. So these lambda expressions are non-equivalent.
245
246 There's an extension of the proof-theory we've presented so far which does permit this further move. And in that extended proof theory, all computable functions with the same extension do turn out to be equivalent (convertible). However, at that point, we still won't be working with the traditional mathematical notion of a function as a set of ordered pairs. One reason is that the latter but not the former permits uncomputable functions. A second reason is that the latter but not the former prohibits functions from applying to themselves. We discussed this some at the end of Monday's meeting (and further discussion is best pursued in person).
247
248
249
250 Booleans and pairs
251 ==================
252
253 Our definition of these is reviewed in [[Assignment1]].
254
255
256 It's possible to do the assignment without using a Scheme interpreter, however
257 you should take this opportunity to [get Scheme installed on your
258 computer](/how_to_get_the_programming_languages_running_on_your_computer), and
259 [get started learning Scheme](/learning_scheme). It will help you test out
260 proposed answers to the assignment.
261
262
263
264
265
266
267 Declarative/functional vs Imperatival/dynamic models of computation
268 ===================================================================
269
270 Many of you, like us, will have grown up thinking the paradigm of computation is a sequence of changes. Let go of that. It will take some care to separate the operative notion of "sequencing" here from other notions close to it, but once that's done, you'll see that languages that have no significant notions of sequencing or changes are Turing complete: they can perform any computation we know how to describe. In itself, that only puts them on equal footing with more mainstream, imperatival programming languages like C and Java and Python, which are also Turing complete. But further, the languages we want you to become familiar with can reasonably be understood to be more fundamental. They embody the elemental building blocks that computer scientists use when reasoning about and designing other languages.
271
272 Jim offered the metaphor: think of imperatival languages, which include "mutation" and "side-effects" (we'll flesh out these keywords as we proceeed), as the p&acirc;t&eacute; of computation. We want to teach you about the meat and potatoes, where as it turns out there is no sequencing and no changes. There's just the evaluation or simplification of complex expressions.
273
274 Now, when you ask the Scheme interpreter to simplify an expression for you, that's a kind of dynamic interaction between you and the interpreter. You may wonder then why these languages should not also be understood imperatively. The difference is that in a purely declarative or functional language, there are no dynamic effects in the language itself. It's just a static semantic fact about the language that one expression reduces to another. You may have verified that fact through your dynamic interactions with the Scheme interpreter, but that's different from saying that there are dynamic effects in the language itself.
275
276 What the latter would amount to will become clearer as we build our way up to languages which are genuinely imperatival or dynamic.
277
278 Many of the slogans and keywords we'll encounter in discussions of these issues call for careful interpretation. They mean various different things.
279
280 For example, you'll encounter the claim that declarative languages are distinguished by their **referential transparency.** What's meant by this is not always exactly the same, and as a cluster, it's related to but not the same as this means for philosophers and linguists.
281
282 The notion of **function** that we'll be working with will be one that, by default, sometimes counts as non-identical functions that map all their inputs to the very same outputs. For example, two functions from jumbled decks of cards to sorted decks of cards may use different algorithms and hence be different functions.
283
284 It's possible to enhance the lambda calculus so that functions do get identified when they map all the same inputs to the same outputs. This is called making the calculus **extensional**. Church called languages which didn't do this **intensional**. If you try to understand that kind of "intensionality" in terms of functions from worlds to extensions (an idea also associated with Church), you may hurt yourself. So too if you try to understand it in terms of mental stereotypes, another notion sometimes designated by "intension."
285
286 It's often said that dynamic systems are distinguished because they are the ones in which **order matters**. However, there are many ways in which order can matter. If we have a trivalent boolean system, for example---easily had in a purely functional calculus---we might choose to give a truth-table like this for "and":
287
288 <pre><code>
289 true and true   = true
290 true and true   = true
291 true and *      = *
292 true and false  = false
293 * and true      = *
294 * and *         = *
295 * and false     = *
296 false and true  = false
297 false and *     = false
298 false and false = false
299 </code></pre>
300
301 And then we'd notice that `* and false` has a different intepretation than `false and *`. (The same phenomenon is already present with the material conditional in bivalent logics; but seeing that a non-symmetric semantics for `and` is available even for functional languages is instructive.)
302
303 Another way in which order can matter that's present even in functional languages is that the interpretation of some complex expressions can depend on the order in which sub-expressions are evaluated. Evaluated in one order, the computations might never terminate (and so semantically we interpret them as having "the bottom value"---we'll discuss this). Evaluated in another order, they might have a perfectly mundane value. Here's an example, though we'll reserve discussion of it until later:
304
305         (\x. y) ((\x. x x) (\x. x x))
306
307 Again, these facts are all part of the metatheory of purely functional languages. But *there is* a different sense of "order matters" such that it's only in imperatival languages that order so matters.
308
309         x := 2
310         x := x + 1
311         x == 3
312
313 Here the comparison in the last line will evaluate to true.
314
315         x := x + 1
316         x := 2
317         x == 3
318
319 Here the comparison in the last line will evaluate to false.
320
321 One of our goals for this course is to get you to understand *what is* that new
322 sense such that only so matters in imperatival languages.
323
324 Finally, you'll see the term **dynamic** used in a variety of ways in the literature for this course:
325
326 *       dynamic versus static typing
327
328 *       dynamic versus lexical scoping
329
330 *       dynamic versus static control operators
331
332 *       finally, we're used ourselves to talking about dynamic versus static semantics
333
334 For the most part, these uses are only loosely connected to each other. We'll tend to use "imperatival" to describe the kinds of semantic properties made available in dynamic semantics, languages which have robust notions of sequencing changes, and so on.
335
336 Map
337 ===
338
339 <table>
340 <tr>
341 <td width=30%>Scheme (functional part)</td>
342 <td width=30%>OCaml (functional part)</td>
343 <td width=30%>C, Java, Pasval<br>
344 Scheme (imperative part)<br>
345 OCaml (imperative part)</td>
346 <tr>
347 <td width=30%>lambda calculus<br>
348 combinatorial logic</td>
349 <tr>
350 <td colspan=3 align=center>--------------------------------------------------- Turing complete ---------------------------------------------------</td>
351 <tr>
352 <td width=30%>&nbsp;
353 <td width=30%>more advanced type systems, such as polymorphic types
354 <td width=30%>&nbsp;
355 <tr>
356 <td width=30%>&nbsp;
357 <td width=30%>simply-typed lambda calculus (what linguists mostly use)
358 <td width=30%>&nbsp;
359 </table>
360
361
362 Rosetta Stone
363 =============
364
365 Here's how it looks to say the same thing in various of these languages.
366
367 1.      Binding suitable values to the variables `three` and `two`, and adding them.
368
369         In Scheme:
370
371                 (let* ((three 3))
372                           (let ((two 2))
373                                    (+ three two)))
374
375         In OCaml:
376
377                 let three = 3 in
378                         let two = 2 in
379                                 three + two
380
381         Notice OCaml lets you write the `+` in between the `three` and `two`, as you're accustomed to. However most functions need to come leftmost, even if they're binary. And you can do this with `+` too, if you enclose it in parentheses so that the OCaml parser doesn't get confused by your syntax:
382
383                 let three = 3 in
384                         let two = 2 in
385                                 ( + ) three two
386
387         In the lambda calculus: here we're on our own, we don't have predefined constants like `+` and `3` and `2` to work with. We've got to build up everything from scratch. We'll be seeing how to do that over the next weeks.
388
389         But supposing you had constructed appropriate values for `+` and `3` and `2`, you'd place them in the ellided positions in:
390
391                 (((\three (\two ((... three) two))) ...) ...)
392         
393         In an ordinary imperatival language like C:
394
395                 int three = 3;
396                 int two = 2;
397                 three + two;
398
399 2.      Mutation
400
401         In C this looks almost the same as what we had before:
402
403                 int x = 3;
404                 x = 2;
405
406         Here we first initialize `x` to hold the value 3; then we mutate `x` to hold a new value.
407
408         In (the imperatival part of) Scheme, this could be done as:
409
410                 (let ((x (box 3)))
411                          (set-box! x 2))
412
413         In general, mutating operations in Scheme are named with a trailing `!`. There are other imperatival constructions, though, like `(print ...)`, that don't follow that convention.
414
415         In (the imperatival part of) OCaml, this could be done as:
416
417                 let x = ref 3 in
418                         x := 2
419
420         Of course you don't need to remember any of this syntax. We're just illustrating it so that you see that in Scheme and OCaml it looks somewhat different than we had above. The difference is much more obvious than it is in C.
421
422         In the lambda calculus: sorry, you can't do mutation. At least, not natively. Later in the term we'll be learning how in fact, really, you can embed mutation inside the lambda calculus even though the lambda calculus has no primitive facilities for mutation.
423
424
425
426
427
428 3.      Anonymous functions
429
430         Functions are "first-class values" in the lambda calculus, in Scheme, and in OCaml. What that means is that they can be arguments to other functions. They can be the results of the application of other functions to some arguments. They can be stored in data structures. And so on.
431
432         First, we'll show what "anonymous" functions look like. These are functions that have not been bound as values to any variables. That is, there are no variables whose value they are.
433
434         In the lambda calculus:
435
436                 (\x M)
437
438         is always anonymous! Here `M` stands for any expression of the language, simple or complex. It's only when you do
439
440                 ((\y N) (\x M))
441
442         that `(\x M)` has a "name" (it's named `y` during the evaluation of `N`).
443
444         In Scheme, the same thing is written:
445
446                 (lambda (x) M)
447
448         Not very different, right? For example, if `M` stands for `(+ 3 x)`, then this is an anonymous function that adds 3 to whatever argument it's given:
449
450                 (lambda (x) (+ 3 x))
451
452         Scheme uses a lot of parentheses, and they are always significant, never optional. In `(+ 3 x)` the parentheses mean "apply the function `+` to the arguments `3` and `x`. In `(lambda (x) ...)` the parentheses have a different meaning: they mark where the anonymous function you're defining begins and ends, and so on. As you'll see, parentheses have yet further roles in Scheme. I know it's confusing.
453
454         In OCaml, we write our anonymous function like this:
455
456                 fun x -> (3 + x)
457
458         or:
459
460                 fun x -> (( + ) 3 x)
461
462         In OCaml, parentheses only serve a grouping function and they often can be omitted. Or more could be added. For instance, we could equally well say:
463
464                 fun x -> ( + ) 3 x
465
466         or:
467
468                 (fun x -> (( + ) (3) (x)))
469
470         As we saw above, parentheses can often be omitted in the lambda calculus too. But not in Scheme. Every parentheses has a specific role.
471
472 4.      Supplying an argument to an anonymous function
473
474         Just because the functions we built aren't named doesn't mean we can't do anything with them. We can give them arguments. For example, in Scheme we can say:
475
476                 ((lambda (x) (+ 3 x)) 2)
477
478         The outermost parentheses here mean "apply the function `(lambda (x) (+ 3 x))` to the argument `2`.
479
480         In OCaml:
481
482                 (fun x -> ( + ) 3 x) 2
483
484
485 5.      Binding variables to values with "let"
486
487         Let's go back and re-consider this Scheme expression:
488
489                 (let* ((three 3))
490                           (let ((two 2))
491                                    (+ three two)))
492
493         Scheme also has a simple `let` (without the ` *`), and it permits you to group several variable bindings together in a single `let`- or `let*`-statement, like this:
494
495                 (let* ((three 3) (two 2))
496                           (+ three two))
497
498         Often you'll get the same results whether you use `let*` or `let`. However, there are cases where it makes a difference, and in those cases, `let*` behaves more like you'd expect. So you should just get into the habit of consistently using that. It's also good discipline for this seminar, especially while you're learning, to write things out the longer way, like this:
499
500                 (let* ((three 3))
501                           (let ((two 2))
502                                    (+ three two)))
503
504         However, here you've got the double parentheses in `(let* ((three 3)) ...)`. They're doubled because the syntax permits more assignments than just the assignment of the value `3` to the variable `three`. Myself I tend to use `[` and `]` for the outer of these parentheses: `(let* [(three 3)] ...)`. Scheme can be configured to parse `[...]` as if they're just more `(...)`.
505
506         Someone asked in seminar if the `3` could be replaced by a more complex expression. The answer is "yes". You could also write:
507
508                 (let* [(three (+ 1 2))]
509                           (let [(two 2)]
510                                    (+ three two)))
511         
512         The question also came up whether the `(+ 1 2)` computation would be performed before or after it was bound to the variable `three`. That's a terrific question. Let's say this: both strategies could be reasonable designs for a language. We are going to discuss this carefully in coming weeks. In fact Scheme and OCaml make the same design choice. But you should think of the underlying form of the `let`-statement as not settling this by itself.
513
514         Repeating our starting point for reference:
515
516                 (let* [(three 3)]
517                           (let [(two 2)]
518                                    (+ three two)))
519
520         Recall in OCaml this same computation was written:
521
522                 let three = 3 in
523                         let two = 2 in
524                                 ( + ) three two
525
526 6.      Binding with "let" is the same as supplying an argument to a lambda
527
528         The preceding expression in Scheme is exactly equivalent to:
529
530                 (((lambda (three) (lambda (two) (+ three two))) 3) 2)
531
532         The preceding expression in OCaml is exactly equivalent to:
533
534                 (fun three -> (fun two -> ( + ) three two)) 3 2
535
536         Read this several times until you understand it.
537
538 7.      Functions can also be bound to variables (and hence, cease being "anonymous").
539
540         In Scheme:
541
542                 (let* [(bar (lambda (x) B))] M)
543
544         then wherever `bar` occurs in `M` (and isn't rebound by a more local "let" or "lambda"), it will be interpreted as the function `(lambda (x) B)`.
545
546         Similarly, in OCaml:
547
548                 let bar = fun x -> B in
549                         M
550
551         This in Scheme:
552
553                 (let* [(bar (lambda (x) B))] (bar A))
554
555         as we've said, means the same as:
556
557                 ((lambda (bar) (bar A)) (lambda (x) B))
558
559         which, as we'll see, is equivalent to:
560
561                 ((lambda (x) B) A)
562
563         and that means the same as:
564
565                 (let* [(x A)] B)
566
567         in other words: evaluate `B` with `x` assigned to the value `A`.
568
569         Similarly, this in OCaml:
570
571                 let bar = fun x -> B in
572                         bar A
573
574         is equivalent to:
575
576                 (fun x -> B) A
577
578         and that means the same as:
579
580                 let x = A in
581                         B
582
583 8.      Pushing a "let"-binding from now until the end
584
585         What if you want to do something like this, in Scheme?
586
587                 (let* [(x A)] ... for the rest of the file or interactive session ...)
588
589         or this, in OCaml:
590
591                 let x = A in
592                         ... for the rest of the file or interactive session ...
593
594         Scheme and OCaml have syntactic shorthands for doing this. In Scheme it's written like this:
595
596                 (define x A)
597                 ... rest of the file or interactive session ...
598
599         In OCaml it's written like this:
600
601                 let x = A;;
602                 ... rest of the file or interactive session ...
603
604         It's easy to be lulled into thinking this is a kind of imperative construction. *But it's not!* It's really just a shorthand for the compound "let"-expressions we've already been looking at, taking the maximum syntactically permissible scope. (Compare the "dot" convention in the lambda calculus, discussed above.)
605
606
607 9.      Some shorthand
608
609         OCaml permits you to abbreviate:
610
611                 let bar = fun x -> B in
612                         M
613
614         as:
615
616                 let bar x = B in
617                         M
618
619         It also permits you to abbreviate:
620
621                 let bar = fun x -> B;;
622
623         as:
624
625                 let bar x = B;;
626
627         Similarly, Scheme permits you to abbreviate:
628
629                 (define bar (lambda (x) B))
630
631         as:
632
633                 (define (bar x) B)
634
635         and this is the form you'll most often see Scheme definitions written in.
636
637         However, conceptually you should think backwards through the abbreviations and equivalences we've just presented.
638
639                 (define (bar x) B)
640
641         just means:
642
643                 (define bar (lambda (x) B))
644
645         which just means:
646
647                 (let* [(bar (lambda (x) B))] ... rest of the file or interactive session ...)
648
649         which just means:
650
651                 (lambda (bar) ... rest of the file or interactive session ...) (lambda (x) B)
652
653         or in other words, interpret the rest of the file or interactive session with `bar` assigned the function `(lambda (x) B)`.
654
655
656 10.     Shadowing
657
658         You can override a binding with a more inner binding to the same variable. For instance the following expression in OCaml:
659
660                 let x = 3 in
661                         let x = 2 in
662                                 x
663
664         will evaluate to 2, not to 3. It's easy to be lulled into thinking this is the same as what happens when we say in C:
665
666                 int x = 3;
667                 x = 2;
668         
669         <em>but it's not the same!</em> In the latter case we have mutation, in the former case we don't. You will learn to recognize the difference as we proceed.
670
671         The OCaml expression just means:
672
673                 (fun x -> ((fun x -> x) 2) 3)
674
675         and there's no more mutation going on there than there is in:
676
677         <pre>
678         <code>&forall;x. (F x or &forall;x (not (F x)))</code>
679         </pre>
680
681         When a previously-bound variable is rebound in the way we see here, that's called **shadowing**: the outer binding is shadowed during the scope of the inner binding.
682
683
684 Some more comparisons between Scheme and OCaml
685 ----------------------------------------------
686
687 11.     Simple predefined values
688
689         Numbers in Scheme: `2`, `3`  
690         In OCaml: `2`, `3`
691
692         Booleans in Scheme: `#t`, `#f`  
693         In OCaml: `true`, `false`
694
695         The eighth letter in the Latin alphabet, in Scheme: `#\h`  
696         In OCaml: `'h'`
697
698 12.     Compound values
699
700         These are values which are built up out of (zero or more) simple values.
701
702         Ordered pairs in Scheme: `'(2 . 3)`  
703         In OCaml: `(2, 3)`
704
705         Lists in Scheme: `'(2 3)`  
706         In OCaml: `[2; 3]`  
707         We'll be explaining the difference between pairs and lists next week.
708
709         The empty list, in Scheme: `'()`  
710         In OCaml: `[]`
711
712         The string consisting just of the eighth letter of the Latin alphabet, in Scheme: `"h"`  
713         In OCaml: `"h"`
714
715         A longer string, in Scheme: `"horse"`  
716         In OCaml: `"horse"`
717
718         A shorter string, in Scheme: `""`  
719         In OCaml: `""`
720
721 13.     Function application
722
723         Binary functions in OCaml: `foo 2 3`
724         
725         Or: `( + ) 2 3`
726
727         These are the same as: `((foo 2) 3)`. In other words, functions in OCaml are "curried". `foo 2` returns a `2`-fooer, which waits for an argument like `3` and then foos `2` to it. `( + ) 2` returns a `2`-adder, which waits for an argument like `3` and then adds `2` to it.
728
729         In Scheme, on the other hand, there's a difference between `((foo 2) 3)` and `(foo 2 3)`. Scheme distinguishes between unary functions that return unary functions and binary functions. For our seminar purposes, it will be easiest if you confine yourself to unary functions in Scheme as much as possible.
730
731         Additionally, as said above, Scheme is very sensitive to parentheses and whenever you want a function applied to any number of arguments, you need to wrap the function and its arguments in a parentheses.
732
733
734 What "sequencing" is and isn't
735 ------------------------------
736
737 We mentioned before the idea that computation is a sequencing of some changes. I said we'd be discussing (fragments of, and in some cases, entire) languages that have no native notion of change.
738
739 Neither do they have any useful notion of sequencing. But what this would be takes some care to identify.
740
741 First off, the mere concatenation of expressions isn't what we mean by sequencing. Concatenation of expressions is how you build syntactically complex expressions out of simpler ones. The complex expressions often express a computation where a function is applied to one (or more) arguments,
742
743 Second, the kind of rebinding we called "shadowing" doesn't involve any changes or sequencing. All the precedence facts about that kind of rebinding are just consequences of the compound syntactic structures in which it occurs.
744
745 Third, the kinds of bindings we see in:
746
747         (define foo A)
748         (foo 2)
749
750 Or even:
751
752         (define foo A)
753         (define foo B)
754         (foo 2)
755
756 don't involve any changes or sequencing in the sense we're trying to identify. As we said, these programs are just syntactic variants of (single) compound syntactic structures involving "let"s and "lambda"s.
757
758 Since Scheme and OCaml also do permit imperatival constructions, they do have syntax for genuine sequencing. In Scheme it looks like this:
759
760         (begin A B C)
761
762 In OCaml it looks like this:
763
764         begin A; B; C end
765
766 Or this:
767
768         (A; B; C)
769
770 In the presence of imperatival elements, sequencing order is very relevant. For example, these will behave differently:
771
772         (begin (print "under") (print "water"))
773         
774         (begin (print "water") (print "under"))
775
776 And so too these:
777
778         begin x := 3; x := 2; x end
779
780         begin x := 2; x := 3; x end
781
782 However, if A and B are purely functional, non-imperatival expressions, then:
783
784         begin A; B; C end
785
786 just evaluates to C (so long as A and B evaluate to something at all). So:
787
788         begin A; B; C end
789
790 contributes no more to a larger context in which it's embedded than C does. This is the sense in which functional languages have no serious notion of sequencing.
791
792 We'll discuss this more as the seminar proceeds.
793
794
795
796
797 1.      Declarative vs imperatival models of computation.
798 2.      Variety of ways in which "order can matter."
799 3.      Variety of meanings for "dynamic."
800 4.      Schoenfinkel, Curry, Church: a brief history
801 5.      Functions as "first-class values"
802 6.      "Curried" functions
803
804 1.      Beta reduction
805 1.      Encoding pairs (and triples and ...)
806 1.      Encoding booleans
807
808
809
810
811