using_the_programming_languages.mdwn

   1 We assume here that you've already gotten [Schema and OCaml installed on your computer](/how_to_get_the_programming_languages_running_on_your_computer/).
   2
   3
   4 ## Programming in the pure untyped lambda calculus ##
   5
   6 There are several ways to do this, and we're still thinking out loud in this space about which method we should recommend you use.
   7
   8 1.      To get started, Chris has a nice [Lambda Tutorial](http://homepages.nyu.edu/~cb125/Lambda)
   9 webpage introducing the untyped lambda calculus. This page has embedded Javascript
  10 code that enables you to type lambda expressions into your web browser page
  11 and click a button to "execute" (that is, reduce or normalize) it.
  12
  13         To do more than a few simple exercises, though, you'll need something more complex.
  14
  15 2.      One option is to use a short Scheme macro, like the one [linked at the bottom of Chris' webpage](http://homepages.nyu.edu/~cb125/Lambda/lambda.scm).
  16 You can use this by loading into a Scheme interpreter (EXPLAIN HOW...) and then (STEP BY STEP...).
  17
  18         Here's Chris' explanation of the macro:
  19
  20                 (define (reduce f)                                                          ; 1
  21                   ((lambda (value) (if (equal? value f) f (reduce value)))                  ; 2
  22                    (let r ((f f) (g ()))                                                    ; 3
  23                          (cond ((not (pair? f))                                                 ; 4
  24                                         (if (null? g) f (if (eq? f (car g)) (cadr g) (r f (caddr g))))) ; 5
  25                                    ((and (pair? (car f)) (= 2 (length f)) (eq? 'lambda (caar f)))   ; 6
  26                                         (r (caddar f) (list (cadar f) (r (cadr f) g) g)))               ; 7
  27                                    ((and (not (null? g)) (= 3 (length f)) (eq? 'lambda (car f)))    ; 8
  28                                         (cons 'lambda (r (cdr f) (list (cadr f) (delay (cadr f)) g))))  ; 9
  29                                    (else (map (lambda (x) (r x g)) f))))))                          ;10
  30
  31                 If you have a Scheme interpreter, you can call the function like this:
  32
  33                 (reduce '(((lambda x (lambda y (x y))) 2) 3))
  34                 ;Value: (2 3)
  35
  36                 (reduce '((lambda x (lambda y (x y))) 2))
  37                 ;Value: (lambda #[promise 2] (2 #[promise 2]))
  38
  39                 Comments: f is the form to be evaluated, and g is the local assignment
  40                 function; g has the structure (variable value g2), where g2 contains the rest
  41                 of the assignments. The named let function r executes one pass through a form.
  42                 The arguments to r are a form f, and an assignment function g. Line 2: continue
  43                 to process the form until there are no more conversions left. Line 4
  44                 (substitution): If f is atomic [or if it is a promise], check to see if matches
  45                 any variable in g and if so replace it with the new value. Line 6 (beta
  46                 reduction): if f has the form ((lambda variable body) argument), it is a lambda
  47                 form being applied to an argument, so perform lambda conversion. Remember to
  48                 evaluate the argument too! Line 8 (alpha reduction): if f has the form (lambda
  49                 variable body), replace the variable and its free occurences in the body with a
  50                 unique object to prevent accidental variable collision. [In this implementation
  51                 a unique object is constructed by building a promise. Note that the identity of
  52                 the original variable can be recovered if you ever care by forcing the
  53                 promise.] Line 10: recurse down the subparts of f.
  54
  55
  56 3.      Oleg Kiselyov has a [richer lambda interpreter](http://okmij.org/ftp/Scheme/#lambda-calc) in Scheme. Here's how he describes it:
  57
  58                 A practical Lambda-calculator in Scheme
  59
  60                 The code below implements a normal-order interpreter for the untyped
  61                 lambda-calculus. The interpret permits "shortcuts" of terms. The shortcuts are
  62                 not first class and do not alter the semantics of the lambda-calculus. Yet they
  63                 make complex terms easier to define and apply.
  64
  65                 The code also includes a few convenience tools: tracing of all reduction,
  66                 comparing two terms modulo alpha-renaming, etc.
  67
  68                 This calculator implements a normal-order evaluator for the untyped
  69                 lambda-calculus with shortcuts. Shortcuts are distinguished constants that
  70                 represent terms. An association between a shortcut symbol and a term must be
  71                 declared before any term that contains the shortcut could be evaluated. The
  72                 declaration of a shortcut does not cause the corresponding term to be
  73                 evaluated. Therefore shortcut's term may contain other shortcuts -- or even yet
  74                 to be defined ones. Shortcuts make programming in lambda-calculus remarkably
  75                 more convenient.
  76
  77                 Besides terms to reduce, this lambda-calculator accepts a set of commands,
  78                 which add even more convenience. Commands define new shortcuts, activate
  79                 tracing of all reductions, compare terms modulo alpha-conversion, print all
  80                 defined shortcuts and evaluation flags, etc. Terms to evaluate and commands are
  81                 entered at a read-eval-print-loop (REPL) "prompt" -- or "included" from a file
  82                 by a special command.
  83
  84                 Examples
  85
  86                 First we define a few shortcuts:
  87
  88                          (X Define %c0 (L f (L x x)))                     ; Church numeral 0
  89                          (X Define %succ (L c (L f (L x (f (c f x))))))   ; Successor
  90                          (X Define* %c1 (%succ %c0))
  91                          (X Define* %c2 (%succ %c1))
  92                          (X Define %add (L c (L d (L f (L x (c f (d f x))))))) ; Add two numerals
  93                          (X Define %mul (L c (L d (L f (c (d f))))))      ; Multiplication
  94
  95                 (%add %c1 %c2)
  96                 REPL reduces the term and prints the answer: (L f (L x (f (f (f x))))).
  97
  98                          (X equal? (%succ %c0) %c1)
  99                          (X equal?* (%succ %c0) %c1)
 100
 101                 The REPL executes the above commands and prints the answer: #f and #t,
 102                 correspondingly. The second command reduces the terms before comparing them.
 103
 104         See also <http://okmij.org/ftp/Computation/lambda-calc.html>.
 105
 106
 107 4.      Oleg also provides another lambda interpreter [written in
 108 Haskell](http://okmij.org/ftp/Computation/lambda-calc.html#lambda-calculator-haskell).
 109 Jim converted this to OCaml and bundled it with a syntax extension that makes
 110 it easier to write pure untyped lambda expressions in OCaml. You don't have to
 111 know much OCaml yet to use it. Using it looks like this:
 112
 113                 let zero = <<fun s z -> z>>
 114                 let succ = <<fun n s z -> s (n s z)>>
 115                 let one = << $succ$ $zero$ >>
 116                 let k = <<fun y _ -> y>>
 117                 let id = <<fun x -> x>>
 118                 let add = <<fun m n -> n $succ$ m>>
 119                 let pred = <<fun n s z -> n (fun u v -> v (u s)) ($k$ z) $id$ >>;;
 120
 121                 church_to_int << $pred$ ($add$ $one$ ($succ$ $one$)) >>;;
 122                 - : int = 2
 123
 124
 125 5.      To play around with a **typed lambda calculus**, which we'll look at later
 126 in the course, have a look at the [Penn Lambda Calculator](http://www.ling.upenn.edu/lambda/).
 127 This requires installing Java, but provides a number of tools for evaluating
 128 lambda expressions and other linguistic forms. (Mac users will most likely
 129 already have Java installed.)
 130
 131
 132 ## Reading about Scheme ##
 133
 134 [R5RS Scheme](http://people.csail.mit.edu/jaffer/r5rs_toc.html)
 135
 136 ## Reading about OCaml ##
 137
 138