1 Using continuations to solve the same fringe problem
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4 We've seen two solutions to the same fringe problem so far.
5 The problem, recall, is to take two trees and decide whether they have
6 the same leaves in the same order.
8 <pre>
9  ta            tb          tc
10  .             .           .
11 _|__          _|__        _|__
12 |  |          |  |        |  |
13 1  .          .  3        1  .
14   _|__       _|__           _|__
15   |  |       |  |           |  |
16   2  3       1  2           3  2
18 let ta = Node (Leaf 1, Node (Leaf 2, Leaf 3));;
19 let tb = Node (Node (Leaf 1, Leaf 2), Leaf 3);;
20 let tc = Node (Leaf 1, Node (Leaf 3, Leaf 2));;
21 </pre>
23 So `ta` and `tb` are different trees that have the same fringe, but
24 `ta` and `tc` are not.
26 The simplest solution is to map each tree to a list of its leaves,
27 then compare the lists.  But because we will have computed the entire
28 fringe before starting the comparison, if the fringes differ in an
29 early position, we've wasted our time examining the rest of the trees.
31 The second solution was to use tree zippers and mutable state to
32 simulate coroutines (see [[coroutines and aborts]]).  In that
33 solution, we pulled the zipper on the first tree until we found the
34 next leaf, then stored the zipper structure in the mutable variable
35 while we turned our attention to the other tree.  Because we stopped
36 as soon as we find the first mismatched leaf, this solution does not
37 have the flaw just mentioned of the solution that maps both trees to a
38 list of leaves before beginning comparison.
40 Since zippers are just continuations reified, we expect that the
41 solution in terms of zippers can be reworked using continuations, and
42 this is indeed the case.  Before we can arrive at a solution, however,
43 we must define a data structure called a stream:
45     type 'a stream = End | Next of 'a * (unit -> 'a stream);;
47 A stream is like a list in that it contains a series of objects (all
48 of the same type, here, type `'a`).  The first object in the stream
49 corresponds to the head of a list, which we pair with a stream
50 representing the rest of a the list.  There is a special stream called
51 `End` that represents a stream that contains no (more) elements,
52 analogous to the empty list `[]`.
54 Actually, we pair each element not with a stream, but with a thunked
55 stream, that is, a function from the unit type to streams.  The idea
56 is that the next element in the stream is not computed until we forced
57 the thunk by applying it to the unit:
59 <pre>
60 # let rec make_int_stream i = Next (i, fun () -> make_int_stream (i + 1));;
61 val make_int_stream : int -> int stream = [fun]
62 # let int_stream = make_int_stream 1;;
63 val int_stream : int stream = Next (1, [fun])         (* First element: 1 *)
64 # match int_stream with Next (i, rest) -> rest;;
65 - : unit -> int stream = [fun]                        (* Rest: a thunk *)
67 (* Force the thunk to compute the second element *)
68 # (match int_stream with Next (i, rest) -> rest) ();;
69 - : int stream = Next (2, [fun])
70 </pre>
72 You can think of `int_stream` as a functional object that provides
73 access to an infinite sequence of integers, one at a time.  It's as if
74 we had written `[1;2;...]` where `...` meant "continue indefinitely".
76 So, with streams in hand, we need only rewrite our continuation tree
77 monadizer so that instead of mapping trees to lists, it maps them to
80         # tree_monadize (fun a k -> a :: k a) t1 (fun t -> []);;
81         - : int list = [2; 3; 5; 7; 11]
83 as above, we have
85         # tree_monadize (fun i k -> Next (i, fun () -> k ())) t1 (fun _ -> End);;
86         - : int stream = Next (2, <fun>)
88 We can see the first element in the stream, the first leaf (namely,
89 2), but in order to see the next, we'll have to force a thunk.
91 Then to complete the same-fringe function, we simply convert both
92 trees into leaf-streams, then compare the streams element by element.
93 The code is enitrely routine, but for the sake of completeness, here it is:
95 <pre>
96 let rec compare_streams stream1 stream2 =
97     match stream1, stream2 with
98     | End, End -> true (* Done!  Fringes match. *)
99     | Next (next1, rest1), Next (next2, rest2) when next1 = next2 -> compare_streams (rest1 ()) (rest2 ())
100     | _ -> false;;
102 let same_fringe t1 t2 =
103   let stream1 = tree_monadize (fun i k -> Next (i, fun () -> k ())) t1 (fun _ -> End) in
104   let stream2 = tree_monadize (fun i k -> Next (i, fun () -> k ())) t2 (fun _ -> End) in
105   compare_streams stream1 stream2;;
106 </pre>
108 Notice the forcing of the thunks in the recursive call to
109 `compare_streams`.  So indeed:
111 <pre>
112 # same_fringe ta tb;;
113 - : bool = true
114 # same_fringe ta tc;;
115 - : bool = false
116 </pre>
118 Now, you might think that this implementation is a bit silly, since in
119 order to convert the trees to leaf streams, our tree_monadizer
120 function has to visit every node in the tree, so we'd have to traverse
121 the entire tree at some point.  But you'd be wrong: part of what gets
122 suspended in the thunking of the stream is the computation of the rest