57afcb977d0991cfbfa842bce05bba4750137887
1 <!-- λ Λ ∀ ≡ α β γ ρ ω Ω -->
2 <!-- Loved this one: http://www.stephendiehl.com/posts/monads.html -->
5 ==================
7 The [[tradition in the functional programming
10 monsters, monads are burritos. These metaphors can be helpful, and they
11 can be unhelpful. There's a backlash about the metaphors that tells people
12 to instead just look at the formal definition. We'll give that to you below, but it's
13 sometimes sloganized as
14 [A monad is just a monoid in the category of endofunctors, what's the problem?](http://stackoverflow.com/questions/3870088).
15 Without some intuitive guidance, this can also be unhelpful. We'll try to find a good balance.
18 The closest we will come to metaphorical talk is to suggest that
19 monadic types place values inside of *boxes*, and that monads wrap
20 and unwrap boxes to expose or enclose the values inside of them. In
21 any case, our emphasis will be on starting with the abstract structure
22 of monads, followed by instances of monads from the philosophical and
23 linguistics literature.
25 > <small>After you've read this once and are coming back to re-read it to try to digest the details further, the "endofunctors" that slogan is talking about are a combination of our boxes and their associated maps. Their "monoidal" character is captured in the Monad Laws, where a "monoid"---don't confuse with a mon*ad*---is a simpler algebraic notion, meaning a universe with some associative operation that has an identity. For advanced study, here are some further links on the relation between monads as we're working with them and monads as they appear in category theory:
26 (http://en.wikipedia.org/wiki/Outline_of_category_theory)
32 ## Box types: type expressions with one free type variable ##
34 Recall that we've been using lower-case Greek letters
35 <code>&alpha;, &beta;, &gamma;, ...</code> as type variables. We'll
36 use `P`, `Q`, `R`, and `S` as schematic metavariables over type expressions, that may or may not contain unbound
37 type variables. For instance, we might have
39     P_1 ≡ int
40     P_2 ≡ α -> α
41     P_3 ≡ ∀α. α -> α
42     P_4 ≡ ∀α. α -> β
44 etc.
46 A *box type* will be a type expression that contains exactly one free
47 type variable. (You could extend this to expressions with more free variables; then you'd have
48 to specify which one of them the box is capturing. But let's keep it simple.) Some examples (using OCaml's type conventions):
50     α option
51     α list
52     (α, R) tree    (assuming R contains no free type variables)
53     (α, α) tree
55 The idea is that whatever type the free type variable `α` might be instantiated to,
56 we will have a "type box" of a certain sort that "contains" values of type `α`. For instance,
57 if `α list` is our box type, and `α` is the type `int`, then in this context, `int list`
58 is the type of a boxed integer.
60 Warning: although our initial motivating examples are readily thought of as "containers" (lists, trees, and so on, with `α`s as their "elements"), with later examples we discuss it will be less natural to describe the boxed types that way. For example, where `R` is some fixed type, `R -> α` is a box type.
62 Also, for clarity: the *box type* is the type `α list` (or as we might just say, the `list` type operator); the *boxed type* is some specific instantiation of the free type variable `α`. We'll often write boxed types as a box containing what the free
63 type variable instantiates to. So if our box type is `α list`, and `α` instantiates to the specific type `int`, we would write:
65 <code><u>int</u></code>
67 for the type of a boxed `int`.
71 ## Kleisli arrows ##
73 A lot of what we'll be doing concerns types that are called *Kleisli arrows*. Don't worry about why they're called that, or if you like go read some Category Theory. All we need to know is that these are functions whose type has the form:
75 <code>P -> <u>Q</u></code>
77 That is, they are functions from values of one type `P` to a boxed type `Q`, for some choice of type expressions `P` and `Q`.
78 For instance, the following are Kleisli arrows:
80 <code>int -> <u>bool</u></code>
82 <code>int list -> <u>int list</u></code>
84 In the first, `P` has become `int` and `Q` has become `bool`. (The boxed type <code><u>Q</u></code> is <code><u>bool</u></code>).
86 Note that the left-hand schema `P` is permitted to itself be a boxed type. That is, where
87 if `α list` is our box type, we can write the second type as:
89 <code><u>int</u> -> <u>int list</u></code>
91 As semanticists, you are no doubt familiar with the debates between those who insist that propositions are sets of worlds and those who insist they are context change potentials. We hope to show you, in coming weeks, that propositions are (certain sorts of) Kleisli arrows. But this doesn't really compete with the other proposals; it is a generalization of them. Both of the other proposed structures can be construed as specific Kleisli arrows.
94 ## A family of functions for each box type ##
96 We'll need a family of functions to help us work with box types. As will become clear, these have to be defined differently for each box type.
98 Here are the types of our crucial functions, together with our pronunciation, and some other names the functions go by. (Usually the type doesn't fix their behavior, which will be discussed below.)
100 <code>map (/mæp/): (P -> Q) -> <u>P</u> -> <u>Q</u></code>
102 <code>map2 (/mæptu/): (P -> Q -> R) -> <u>P</u> -> <u>Q</u> -> <u>R</u></code>
104 <code>mid (/εmaidεnt@tI/ aka unit, return, pure): P -> <u>P</u></code>
106 <code>m\$ or mapply (/εm@plai/): <u>P -> Q</u> -> <u>P</u> -> <u>Q</u></code>
108 <code>&lt;=&lt; or mcomp : (Q -> <u>R</u>) -> (P -> <u>Q</u>) -> (P -> <u>R</u>)</code>
110 <code>&gt;=&gt; (flip mcomp, should we call it mpmoc?): (P -> <u>Q</u>) -> (Q -> <u>R</u>) -> (P -> <u>R</u>)</code>
112 <code>&gt;&gt;= or mbind : (<u>Q</u>) -> (Q -> <u>R</u>) -> (<u>R</u>)</code>
114 <code>=&lt;&lt; (flip mbind, should we call it mdnib?) (Q -> <u>R</u>) -> (<u>Q</u>) -> (<u>R</u>)</code>
116 <code>join: <span class="box2">P</span> -> <u>P</u></code>
119 In the class handout, we gave the types for `>=>` twice, and once was correct but the other was a typo. The above is the correct typing.
121 Haskell's name "bind" for `>>=` is not well chosen from our perspective, but this is too deeply entrenched by now. We've at least preprended an `m` to the front of it.
123 Haskell's names "return" and "pure" for `mid` are even less well chosen, and we think it will be clearer in our discussion to use a different name. (Also, in other theoretical contexts this notion goes by other names, anyway, like `unit` or `η` --- having nothing to do with `η`-reduction in the Lambda Calculus.) In the handout we called `mid` `𝟭`. But now we've decided that `mid` is better. (Think of it as "m" plus "identity", not as the start of "midway".)
125 The menagerie isn't quite as bewildering as you might suppose. Many of these will
126 be interdefinable. For example, here is how `mcomp` and `mbind` are related: <code>k <=< j ≡
127 \a. (j a >>= k)</code>.
129 We will move freely back and forth between using `>=>` and using `<=<` (aka `mcomp`), which
130 is just `>=>` with its arguments flipped. `<=<` has the virtue that it corresponds more
131 closely to the ordinary mathematical symbol `○`. But `>=>` has the virtue
132 that its types flow more naturally from left to right.
134 These functions come together in several systems, and have to be defined in a way that coheres with the other functions in the system:
136 *   ***Mappable*** (in Haskelese, "Functors") At the most general level, box types are *Mappable*
137 if there is a `map` function defined for that box type with the type given above. This
138 has to obey the following Map Laws:
140     <code>map (id : α -> α) == (id : <u>α</u> -> <u>α</u>)</code>
141     <code>map (g ○ f) == (map g) ○ (map f)</code>
143     Essentially these say that `map` is a homomorphism from the algebra of `(universe α -> β, operation ○, elsment id)` to that of <code>(<u>α</u> -> <u>β</u>, ○', id')</code>, where `○'` and `id'` are `○` and `id` restricted to arguments of type <code><u>_</u></code>. That might be hard to digest because it's so abstract. Think of the following concrete example: if you take a `α list` (that's our <code><u>α</u></code>), and apply `id` to each of its elements, that's the same as applying `id` to the list itself. That's the first law. And if you apply the composition of functions `g ○ f` to each of the list's elements, that's the same as first applying `f` to each of the elements, and then going through the elements of the resulting list and applying `g` to each of those elements. That's the second law. These laws obviously hold for our familiar notion of `map` in relation to lists.
145     > <small>As mentioned at the top of the page, in Category Theory presentations of monads they usually talk about "endofunctors", which are mappings from a Category to itself. In the uses they make of this notion, the endofunctors combine the role of a box type <code><u>_</u></code> and of the `map` that goes together with it.</small>
148 *   ***MapNable*** (in Haskelese, "Applicatives") A Mappable box type is *MapNable*
149        if there are in addition `map2`, `mid`, and `mapply`.  (Given either
150        of `map2` and `mapply`, you can define the other, and also `map`.
151        Moreover, with `map2` in hand, `map3`, `map4`, ... `mapN` are easily definable.) These
152        have to obey the following MapN Laws:
154     TODO LAWS
157 *   ***Monad*** (or "Composables") A MapNable box type is a *Monad* if there
158        is in addition an associative `mcomp` having `mid` as its left and
159        right identity. That is, the following Monad Laws must hold:
161         mcomp (mcomp j k) l (that is, (j <=< k) <=< l) == mcomp j (mcomp k l)
162         mcomp mid k (that is, mid <=< k) == k
163         mcomp k mid (that is, k <=< mid) == k
165     You could just as well express the Monad laws using `>=>`:
167         l >=> (k >=> j) == (l >=> k) >-> j
168         k >=> mid == k
169         mid >=> k == k
171     If you have any of `mcomp`, `mpmoc`, `mbind`, or `join`, you can use them to define the others. Also, with these functions you can define `m\$` and `map2` from *MapNables*. So with Monads, all you really need to get the whole system of functions are a definition of `mid`, on the one hand, and one of `mcomp`, `mbind`, or `join`, on the other.
173     In practice, you will often work with `>>=`. In the Haskell manuals, they express the Monad Laws using `>>=` instead of the composition operators. This looks similar, but doesn't have the same symmetry:
175         u >>= (\a -> k a >>= j) == (u >>= k) >>= j
176         u >>= mid == u
177         mid a >>= k == k a
179      Also, Haskell calls `mid` `return` or `pure`, but we've stuck to our terminology in this context.
181     > <small>In Category Theory discussion, the Monad Laws are instead expressed in terms of `join` (which they call `μ`) and `mid` (which they call `η`). These are assumed to be "natural transformations" for their box type, which means that they satisfy these equations with that box type's `map`:
182     > <pre>map f ○ mid == mid ○ f<br>map f ○ join == join ○ map (map f)</pre>
183     > The Monad Laws then take the form:
184     > <pre>join ○ (map join) == join ○ join<br>join ○ mid == id == join ○ map mid</pre>
185     > The first of these says that if you have a triply-boxed type, and you first merge the inner two boxes (with `map join`), and then merge the resulting box with the outermost box, that's the same as if you had first merged the outer two boxes, and then merged the resulting box with the innermost box. The second law says that if you take a box type and wrap a second box around it (with `mid`) and then merge them, that's the same as if you had instead mapped a second box around the elements of the original (with `map mid`, leaving the original box on the outside), and then merged them.<p>
186     > The Category Theorist would state these Laws like this, where `M` is the endofunctor that takes us from type `α` to type <code><u>α</u></code>:
187     > <pre>μ ○ M(μ) == μ ○ μ<br>μ ○ η = id == μ ○ M(η)</pre></small>
190 Here are some interdefinitions: TODO
194 ## Examples ##
196 To take a trivial (but, as we will see, still useful) example,
197 consider the Identity box type: `α`. So if `α` is type `bool`,
198 then a boxed `α` is ... a `bool`. That is, <code><u>α</u> = α</code>.
199 In terms of the box analogy, the Identity box type is a completely invisible box. With the following
200 definitions:
202     mid ≡ \p. p
203     mcomp ≡ \f g x.f (g x)
205 Identity is a monad.  Here is a demonstration that the laws hold:
207     mcomp mid k ≡ (\fgx.f(gx)) (\p.p) k
208               ~~> \x.(\p.p)(kx)
209               ~~> \x.kx
210               ~~> k
211     mcomp k mid ≡ (\fgx.f(gx)) k (\p.p)
212               ~~> \x.k((\p.p)x)
213               ~~> \x.kx
214               ~~> k
215     mcomp (mcomp j k) l ≡ mcomp ((\fgx.f(gx)) j k) l
216                       ~~> mcomp (\x.j(kx)) l
217                         ≡ (\fgx.f(gx)) (\x.j(kx)) l
218                       ~~> \x.(\x.j(kx))(lx)
219                       ~~> \x.j(k(lx))
220     mcomp j (mcomp k l) ≡ mcomp j ((\fgx.f(gx)) k l)
221                       ~~> mcomp j (\x.k(lx))
222                         ≡ (\fgx.f(gx)) j (\x.k(lx))
223                       ~~> \x.j((\x.k(lx)) x)
224                       ~~> \x.j(k(lx))
226 The Identity monad is favored by mimes.
228 To take a slightly less trivial (and even more useful) example,
229 consider the box type `α list`, with the following operations:
231     mid : α -> [α]
232     mid a = [a]
234     mcomp : (β -> [γ]) -> (α -> [β]) -> (α -> [γ])
235     mcomp k j a = concat (map k (j a)) = List.flatten (List.map k (j a))
236                 = foldr (\b ks -> (k b) ++ ks) [] (j a) = List.fold_right (fun b ks -> List.append (k b) ks) [] (j a)
237                 = [c | b <- j a, c <- k b]
239 In the first two definitions of `mcomp`, we give the definition first in Haskell and then in the equivalent OCaml. The three different definitions of `mcomp` (one for each line) are all equivalent, and it is easy to show that they obey the Monad Laws. (You will do this in the homework.)
241 In words, `mcomp k j a` feeds the `a` (which has type `α`) to `j`, which returns a list of `β`s;
242 each `β` in that list is fed to `k`, which returns a list of `γ`s. The
243 final result is the concatenation of those lists of `γ`s.
245 For example:
247     let j a = [a*a, a+a] in
248     let k b = [b, b+1] in
249     mcomp k j 7 ==> [49, 50, 14, 15]
251 `j 7` produced `[49, 14]`, which after being fed through `k` gave us `[49, 50, 14, 15]`.
253 Contrast that to `m\$` (`mapply`, which operates not on two *box-producing functions*, but instead on two *values of a boxed type*, one containing functions to be applied to the values in the other box, via some predefined scheme. Thus:
255     let js = [(\a->a*a),(\a->a+a)] in
256     let xs = [7, 5] in
257     mapply js xs ==> [49, 25, 14, 10]
260 As we illustrated in class, there are clear patterns shared between lists and option types and trees, so perhaps you can see why people want to figure out the general structures. But it probably isn't obvious yet why it would be useful to do so. To a large extent, this will only emerge over the next few classes. But we'll begin to demonstrate the usefulness of these patterns by talking through a simple example, that uses the monadic functions of the Option/Maybe box type.
263 ## Safe division ##
265 Integer division presupposes that its second argument
266 (the divisor) is not zero, upon pain of presupposition failure.
267 Here's what my OCaml interpreter says:
269     # 12/0;;
270     Exception: Division_by_zero.
272 Say we want to explicitly allow for the possibility that
273 division will return something other than a number.
274 To do that, we'll use OCaml's `option` type, which works like this:
276     # type 'a option = None | Some of 'a;;
277     # None;;
278     - : 'a option = None
279     # Some 3;;
280     - : int option = Some 3
282 So if a division is normal, we return some number, but if the divisor is
283 zero, we return `None`. As a mnemonic aid, we'll prepend a `safe_` to the start of our new divide function.
285 <pre>
286 let safe_div (x:int) (y:int) =
287   match y with
288     | 0 -> None
289     | _ -> Some (x / y);;
291 (*
292 val safe_div : int -> int -> int option = fun
293 # safe_div 12 2;;
294 - : int option = Some 6
295 # safe_div 12 0;;
296 - : int option = None
297 # safe_div (safe_div 12 2) 3;;
298             ~~~~~~~~~~~~~
299 Error: This expression has type int option
300        but an expression was expected of type int
301 *)
302 </pre>
304 This starts off well: dividing `12` by `2`, no problem; dividing `12` by `0`,
305 just the behavior we were hoping for. But we want to be able to use
306 the output of the safe-division function as input for further division
307 operations. So we have to jack up the types of the inputs:
309 <pre>
310 let safe_div2 (u:int option) (v:int option) =
311   match u with
312   | None -> None
313   | Some x ->
314       (match v with
315       | Some 0 -> None
316       | Some y -> Some (x / y));;
318 (*
319 val safe_div2 : int option -> int option -> int option = <fun>
320 # safe_div2 (Some 12) (Some 2);;
321 - : int option = Some 6
322 # safe_div2 (Some 12) (Some 0);;
323 - : int option = None
324 # safe_div2 (safe_div2 (Some 12) (Some 0)) (Some 3);;
325 - : int option = None
326 *)
327 </pre>
329 Calling the function now involves some extra verbosity, but it gives us what we need: now we can try to divide by anything we
330 want, without fear that we're going to trigger system errors.
332 I prefer to line up the `match` alternatives by using OCaml's
333 built-in tuple type:
335 <pre>
336 let safe_div2 (u:int option) (v:int option) =
337   match (u, v) with
338   | (None, _) -> None
339   | (_, None) -> None
340   | (_, Some 0) -> None
341   | (Some x, Some y) -> Some (x / y);;
342 </pre>
344 So far so good. But what if we want to combine division with
345 other arithmetic operations? We need to make those other operations
346 aware of the possibility that one of their arguments has already triggered a
347 presupposition failure:
349 <pre>
350 let safe_add (u:int option) (v:int option) =
351   match (u, v) with
352     | (None, _) -> None
353     | (_, None) -> None
354     | (Some x, Some y) -> Some (x + y);;
356 (*
357 val safe_add : int option -> int option -> int option = <fun>
358 # safe_add (Some 12) (Some 4);;
359 - : int option = Some 16
360 # safe_add (safe_div (Some 12) (Some 0)) (Some 4);;
361 - : int option = None
362 *)
363 </pre>
365 This works, but is somewhat disappointing: the `safe_add` operation
366 doesn't trigger any presupposition of its own, so it is a shame that
367 it needs to be adjusted because someone else might make trouble.
369 But we can automate the adjustment, using the monadic machinery we introduced above.
370 As we said, there needs to be different `>>=`, `map2` and so on operations for each
371 monad or box type we're working with.
373 symbol and it will calculate from the context of the surrounding type constraints what
374 monad you must have meant. In OCaml, the monadic operators are not pre-defined, but we will
375 give you a library that has definitions for all the standard monads, as in Haskell.
376 For now, though, we will define our `>>=` and `map2` operations by hand:
378 <pre>
379 let (>>=) (u : 'a option) (j : 'a -> 'b option) : 'b option =
380   match u with
381     | None -> None
382     | Some x -> j x;;
384 let map2 (f : 'a -> 'b -> 'c) (u : 'a option) (v : 'b option) : 'c option =
385   u >>= (fun x -> v >>= (fun y -> Some (f x y)));;
387 let safe_add3 = map2 (+);;    (* that was easy *)
389 let safe_div3 (u: int option) (v: int option) =
390   u >>= (fun x -> v >>= (fun y -> if 0 = y then None else Some (x / y)));;
391 </pre>
393 Haskell has an even more user-friendly notation for defining `safe_div3`, namely:
395     safe_div3 :: Maybe Int -> Maybe Int -> Maybe Int
396     safe_div3 u v = do {x <- u;
397                         y <- v;
398                         if 0 == y then Nothing else Just (x `div` y)}
400 Let's see our new functions in action:
402 <pre>
403 (*
404 # safe_div3 (safe_div3 (Some 12) (Some 2)) (Some 3);;
405 - : int option = Some 2
406 #  safe_div3 (safe_div3 (Some 12) (Some 0)) (Some 3);;
407 - : int option = None
408 # safe_add3 (safe_div3 (Some 12) (Some 0)) (Some 3);;
409 - : int option = None
410 *)
411 </pre>
413 Compare the new definitions of `safe_add3` and `safe_div3` closely: the definition
414 for `safe_add3` shows what it looks like to equip an ordinary operation to
415 survive in dangerous presupposition-filled world. Note that the new
416 definition of `safe_add3` does not need to test whether its arguments are
417 `None` values or real numbers---those details are hidden inside of the
418 `bind` function.
420 Note also that our definition of `safe_div3` recovers some of the simplicity of
421 the original `safe_div`, without the complexity introduced by `safe_div2`. We now
422 add exactly what extra is needed to track the no-division-by-zero presupposition. Here, too, we don't
423 need to keep track of what other presuppositions may have already failed
424 for whatever reason on our inputs.
426 (Linguistics note: Dividing by zero is supposed to feel like a kind of
427 presupposition failure. If we wanted to adapt this approach to
428 building a simple account of presupposition projection, we would have
429 to do several things. First, we would have to make use of the
430 polymorphism of the `option` type. In the arithmetic example, we only
431 made use of `int option`s, but when we're composing natural language
432 expression meanings, we'll need to use types like `N option`, `Det option`,
433 `VP option`, and so on. But that works automatically, because we can use
434 any type for the `'a` in `'a option`. Ultimately, we'd want to have a
435 theory of accommodation, and a theory of the situations in which
436 material within the sentence can satisfy presuppositions for other
437 material that otherwise would trigger a presupposition violation; but,
438 not surprisingly, these refinements will require some more
439 sophisticated techniques than the super-simple Option/Maybe monad.)