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   1 Motivating types; our first glimpse of the Maybe monad
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   4 In [[a long footnote discussing Russell|readings/kaplan-plexy.pdf]],
   5 Kaplan 1989:496 poses a problem for the interaction of structured
   6 meanings with direct reference, and then offers a solution based on
   7 types.
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   9 To grasp the problem, consider a structured-meaning theory of meaning,
  10 on which the meanings of natural language expressions are represented
  11 by objects that can have internal structure.
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  13     1. The center of mass of the solar system is a point.
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  15 Further suppose that the meaning of the DP in subject position in (1),
  16 namely, *the center of mass of the solar system*, has internal
  17 structure.  For instance, suppose that the meaning of this DP is a
  18 structure that contains within it an object representing the meaning
  19 of *the solar system*, an object representing the relational concept
  20 denoted by *center*, and so on.  It doesn't matter precisely what that
  21 structure is, as long as it has distinct internal parts.
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  23 Kaplan names this complex object "Plexy".  Simplifying Kaplan's presentation, let's suppose
  24 the name *Plexy* is directly referential, and refers to the complex
  25 object that represents the meaning of *the center of mass of the solar
  26 system*. Now consider:
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  28     2. Plexy is a point.
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  30 Kaplan observes that as far as native speaker intuitions are concerned, sentences (1) and (2) have very different
  31 meanings.  The sentence in (1) attributes a property to a location in
  32 space, and the setence in (2) attributes the same property to the
  33 referent of *Plexy*, which is a structured meaning.  Since meanings
  34 need not be locations in space, it is easy to imagine judging (1) true
  35 and (2) false.  As Kaplan puts it, the two sentences "speak about
  36 radically different objects".
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  38 The problem is that on a simple-minded structured meaning account, the meaning of (1)
  39 contains Plexy in the position corresponding to the argument
  40 of the predicate (since, by assumption, Plexy is the meaning of the DP).  Likewise, on a simple-minded direct-reference account, the contribution of
  41 a directly referential term is simply the object it refers to.
  42 Combining these two assumptions, we incorrectly predict that (1) and
  43 (2) denote the same structure, and therefore have exactly the same
  44 meaning.
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  46 (Instead of using a sentence like (2), Kaplan constructs a different,
  47 more complicated expression that, he argues, refers to Plexy, but this
  48 nicety is not crucial to our discussion here.)
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  50 ## Types to the rescue
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  52 Kaplan's solution is, in effect, to impose a type system on his
  53 grammar in such a way that complex structured meanings cannot be confused with
  54 the referent of a directly-referential term.  He suggests that the
  55 meaning of a directly referential term always be marked by a special
  56 bit of structure that is unique to direct reference.  More concretely,
  57 Kaplan suggets that instead of inserting the referent of a directly
  58 referential term directly into the structure of the sentence in which
  59 it occurs, we insert the singleton set containing that referent.  As
  60 long as no complex structured meaning happens to be a singleton set, we have a
  61 solution.  If *P* is Plexy, the meaning of (1) might be `<P, point>`, at the same time that
  62 the meaning of (2) can be `<{P}, point>`: radically different, as desired.
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  64 In terms of the type systems we'll be developing over the next few
  65 weeks, the type of a DP will be a *sum type*: the disjoint union of the
  66 class of objects that a directly referential term can refer to, and
  67 the class of objects that can serve as complex meaning structures
  68 corresponding to DPs as in (1) that are not directly referential.
  69 Our more systematic type-theoretic treatment permits us to dispense with worries
  70 about whether the meaning of the DP in (1) might itself be the empty set.
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  72 ## Motivating Maybe
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  74 At the end of his footnote, Kaplan suggests using his proposal to help with a different problem, the
  75 problem of non-referring names.  Russell supposed that if a name had
  76 no referent (e.g., *Santa*), a sentence containing that name would
  77 have no meaning, since there would be no object to insert into the
  78 structure representing the meaning of that sentence.  But on Kaplan's
  79 scheme, there is no problem: *Santa is hungry* would denote `<{},
  80 hungry>`. This can't be confused with a sentence saying that the empty set is
  81 hungry, since (supposing we directly refer to the empty set), that would
  82 denote `<{{}},hungry>`.
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  84 This second idea has some obvious flaws.  For instance, it predicts
  85 that sentences that differ only in the choice of a non-referring name
  86 will have the same meaning.  But it does not seem obvious that the
  87 sentence *Santa is hungry* means the same thing as *Cupid is
  88 hungry*.
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  90 Setting aside such objections, we will see over and over again the
  91 utility of the general strategy instantiated in Kaplan's proposal for representing the meaning of
  92 directly-referential expressions:
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  94 > Kaplan's rule for directly-referential expressions: a directly referential expression E contributes either:
  95 > {}   (or what we'll call `None` or `Nothing`) if there is no object that E refers to, or else
  96 > {P}  (or what we'll call `Some P` or `Just P`) if E refers to P
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  98 We will call the type used here an "option" or "Maybe" type (from OCaml and Haskell, respectively). And we'll call the general strategy for deploying this type "the Option/Maybe monad."
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 101 Kaplan, D. 1989. "Demonstratives. In J. Almog, J. Perry, & H. Wettstein
 102 (Eds.), Themes from Kaplan (pp. 481-563)."