topics/week4_more_fixed_points.mdwn

   1 #Q: How do you know that every term in the untyped lambda calculus has a fixed point?#
   2
   3 A: That's easy: let `T` be an arbitrary term in the lambda calculus.  If
   4 `T` has a fixed point, then there exists some `X` such that `X <~~>
   5 TX` (that's what it means to *have* a fixed point).
   6
   7 <pre><code>let L = \x. T (x x) in
   8 let X = L L in
   9 X &equiv; L L &equiv; (\x. T (x x)) L ~~> T (L L) &equiv; T X
  10 </code></pre>
  11
  12 Please slow down and make sure that you understand what justified each
  13 of the equalities in the last line.
  14
  15 #Q: How do you know that for any term `T`, `Y T` is a fixed point of `T`?#
  16
  17 A: Note that in the proof given in the previous answer, we chose `T`
  18 and then set <code>X &equiv; L L &equiv; (\x. T (x x)) (\x. T (x x))</code>.  If we abstract over
  19 `T`, we get the Y combinator, `\T. (\x. T (x x)) (\x. T (x x))`.  No matter
  20 what argument `T` we feed `Y`, it returns some `X` that is a fixed point
  21 of `T`, by the reasoning in the previous answer.
  22
  23 #Q: So if every term has a fixed point, even `Y` has fixed point.#
  24
  25 A: Right:
  26
  27 <pre><code>let Y = \T. (\x. T (x x)) (\x. T (x x)) in
  28 Y Y
  29 &equiv;   \T. (\x. T (x x)) (\x. T (x x)) Y
  30 ~~> (\x. Y (x x)) (\x. Y (x x))
  31 ~~> Y ((\x. Y (x x)) (\x. Y (x x)))
  32 ~~> Y (Y ((\x. Y (x x)) (\x. Y (x x))))
  33 ~~> Y (Y (Y (...(Y (Y Y))...)))
  34 </code></pre>
  35
  36
  37 #Q: Ouch!  Stop hurting my brain.#
  38
  39 A: Is that a question?
  40
  41 Let's come at it from the direction of arithmetic.  Recall that we
  42 claimed that even `succ`---the function that added one to any
  43 number---had a fixed point.  How could there be an X such that X = X+1?
  44 That would imply that
  45
  46     X <~~> succ X <~~> succ (succ X) <~~> succ (succ (succ X)) <~~> succ (... (succ X)...)
  47
  48 In other words, the fixed point of `succ` is a term that is its own
  49 successor.  Let's just check that `X = succ X`:
  50
  51 <pre><code>let succ = \n s z. s (n s z) in
  52 let X = (\x. succ (x x)) (\x. succ (x x)) in
  53 succ X
  54 &equiv;   succ ( (\x. succ (x x)) (\x. succ (x x)) )
  55 ~~> succ (succ ( (\x. succ (x x)) (\x. succ (x x)) ))
  56 &equiv;   succ (succ X)
  57 </code></pre>
  58
  59 You should see the close similarity with `Y Y` here.
  60
  61
  62 #Q. So `Y` applied to `succ` returns a number that is not finite!#
  63
  64 A. Yes!  Let's see why it makes sense to think of `Y succ` as a Church
  65 numeral:
  66
  67 <pre><code>[same definitions]
  68 succ X
  69 &equiv;    (\n s z. s (n s z)) X
  70 ~~>  \s z. s (X s z)
  71 <~~> succ (\s z. s (X s z)) ; using fixed-point reasoning
  72 &equiv;    (\n s z. s (n s z)) (\s z. s (X s z))
  73 ~~>  \s z. s ((\s z. s (X s z)) s z)
  74 ~~>  \s z. s (s (X s z))
  75 </code></pre>
  76
  77 So `succ X` looks like a numeral: it takes two arguments, `s` and `z`,
  78 and returns a sequence of nested applications of `s`...
  79
  80 You should be able to prove that `add 2 (Y succ) <~~> Y succ`,
  81 likewise for `mul`, `sub`, `pow`.  What happens if we try `sub (Y
  82 succ) (Y succ)`?  What would you expect infinity minus infinity to be?
  83 (Hint: choose your evaluation strategy so that you add two `s`s to the
  84 first number for every `s` that you add to the second number.)
  85
  86 This is amazing, by the way: we're proving things about a term that
  87 represents arithmetic infinity.
  88
  89 It's important to bear in mind the simplest term in question is not
  90 infinite:
  91
  92         Y succ = (\f. (\x. f (x x)) (\x. f (x x))) (\n s z. s (n s z))
  93
  94 The way that infinity enters into the picture is that this term has
  95 no normal form: no matter how many times we perform beta reduction,
  96 there will always be an opportunity for more beta reduction.  (Lather,
  97 rinse, repeat!)
  98
  99
 100 #Q. That reminds me, what about [[evaluation order]]?#
 101
 102 A. For a recursive function that has a well-behaved base case, such as
 103 the factorial function, evaluation order is crucial.  In the following
 104 computation, we will arrive at a normal form.  Watch for the moment at
 105 which we have to make a choice about which beta reduction to perform
 106 next: one choice leads to a normal form, the other choice leads to
 107 endless reduction:
 108
 109 <pre><code>let prefact = \f n. iszero n 1 (mul n (f (pred n))) in
 110 let fact = Y prefact in
 111 fact 2
 112 &equiv;   [(\f. (\x. f (x x)) (\x. f (x x))) prefact] 2
 113 ~~> [(\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x))] 2
 114 ~~> [prefact ((\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x)))] 2
 115 ~~> [prefact (prefact ((\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x))))] 2
 116 &equiv;   [ (\f n. iszero n 1 (mul n (f (pred n)))) (prefact ((\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x))))] 2
 117 ~~> [\n. iszero n 1 (mul n ([prefact ((\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x)))] (pred n)))] 2
 118 ~~> iszero 2 1 (mul 2 ([prefact ((\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x)))] (pred 2)))
 119 ~~> mul 2 ([prefact ((\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x)))] 1)
 120 ...
 121 ~~> mul 2 (mul 1 ([prefact ((\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x)))] 0))
 122 &equiv;   mul 2 (mul 1 (iszero 0 1 (mul 1 ([prefact ((\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x)))] (pred 0)))))
 123 ~~> mul 2 (mul 1 1)
 124 ~~> mul 2 1
 125 ~~> 2
 126 </code></pre>
 127
 128 The crucial step is the third from the last.  We have our choice of
 129 either evaluating the test `iszero 0 1 ...`, which evaluates to `1`,
 130 no matter what the ... contains;
 131 or we can evaluate the `Y` pump, `(\x. prefact (x x)) (\x. prefact (x x))`, to
 132 produce another copy of `prefact`.  If we postpone evaluting the
 133 `iszero` test, we'll pump out copy after copy of `prefact`, and never
 134 realize that we've bottomed out in the recursion.  But if we adopt a
 135 leftmost/call-by-name/normal-order evaluation strategy, we'll always
 136 start with the `iszero` predicate, and only produce a fresh copy of
 137 `prefact` if we are forced to.
 138
 139
 140 #Q.  You claimed that the Ackermann function couldn't be implemented using our primitive recursion techniques (such as the techniques that allow us to define addition and multiplication).  But you haven't shown that it is possible to define the Ackermann function using full recursion.#
 141
 142
 143 A. OK:
 144
 145         A(m,n) =
 146                 | when m == 0 -> n + 1
 147                 | else when n == 0 -> A(m-1,1)
 148                 | else -> A(m-1, A(m,n-1))
 149
 150         let A = Y (\A m n. iszero m (succ n) (iszero n (A (pred m) 1) (A (pred m) (A m (pred n)))))
 151
 152 So for instance:
 153
 154         A 1 2
 155         ~~> A 0 (A 1 1)
 156         ~~> A 0 (A 0 (A 1 0))
 157         ~~> A 0 (A 0 (A 0 1))
 158         ~~> A 0 (A 0 2)
 159         ~~> A 0 3
 160         ~~> 4
 161
 162 `A 1 x` is to `A 0 x` as addition is to the successor function;
 163 `A 2 x` is to `A 1 x` as multiplication is to addition;
 164 `A 3 x` is to `A 2 x` as exponentiation is to multiplication---
 165 so `A 4 x` is to `A 3 x` as hyper-exponentiation is to exponentiation...
 166
 167 #Q. What other questions should I be asking?#
 168
 169 *    What is it about the variant fixed-point combinators that makes
 170      them compatible with a call-by-value evaluation strategy?
 171
 172 *    How do you know that the Ackermann function can't be computed
 173      using primitive recursion techniques?
 174
 175 *    What *exactly* is primitive recursion?
 176
 177 *    I hear that `Y` delivers the *least* fixed point.  Least
 178      according to what ordering?  How do you know it's least?
 179      Is leastness important?
 180
 181
 182