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   1 Combinators and Combinatory Logic
   2 =================================
   3
   4 Combinatory logic is of interest here in part because it provides a
   5 useful computational system that is equivalent to the Lambda Calculus,
   6 but different from it.  In addition, Combinatory Logic has a number of
   7 applications in natural language semantics.  Exploring Combinatory
   8 Logic will involve defining a different notion of reduction from the
   9 one we have been using for the Lambda Calculus.  This will provide us
  10 with a second parallel example when we're thinking through
  11 topics such as evaluation strategies and recursion.
  12
  13 Lambda expressions that have no free variables are known as **combinators**. Here are some common ones:
  14
  15 >   **I** is defined to be `\x x`
  16
  17 >   **K** is defined to be `\x y. x`. That is, it throws away its
  18 second argument. So `K x` is a constant function from any
  19 (further) argument to `x`. ("K" for "constant".) Compare `K`
  20 to our definition of `true`.
  21
  22 >   **S** is defined to be `\f g x. f x (g x)`.  This is a more
  23 complicated operation, but is extremely versatile and useful
  24 (see below): it copies its third argument and distributes it
  25 over the first two arguments.
  26
  27 >   **fst** was our function for extracting the first element of an ordered pair: `\a b. a`. Compare this to `K` and `true` as well.
  28
  29 >   **snd** was our function for extracting the second element of an ordered pair: `\a b. b`. Compare this to our definition of `false`.
  30
  31 >   **B** is defined to be: `\f g x. f (g x)`. (So `B f g` is the composition `\x. f (g x)` of `f` and `g`.)
  32
  33 >   **C** is defined to be: `\f x y. f y x`. (So `C f` is a function like `f` except it expects its first two (curried) arguments in flipped order.)
  34
  35 >   **W** is defined to be: `\f x . f x x`. (So `W f` accepts one argument and gives it to `f` twice. What is the meaning of `W multiply`?) <!-- \x. multiply x x === \x. square x -->
  36
  37 >   **&omega;** (that is, lower-case omega) is defined to be: `\x. x x`. Sometimes this combinator is called **M**.
  38
  39 <!--
  40 omitted: T, L
  41
  42 duplicate argument
  43 W is \uv.uvv
  44 M/omega is \x.xx; L is \uv.u(vv)
  45
  46 reorder arguments
  47 C is \uvx.uxv (curried_flip)
  48 T is \xy.yx
  49
  50 S, K, I, B also known
  51 -->
  52
  53
  54 It's possible to build a logical system equally powerful as the Lambda Calculus
  55 (and readily intertranslatable with it) using just combinators, considered as
  56 *primitive operations*. (That is, we refrain from defining them in terms of lambda expressions, as we did above.)
  57 Such a language doesn't have any variables in it: not just
  58 no free variables, but no variables (or "bound positions") at all.
  59
  60 One can do that with a very spare set of basic combinators. These days
  61 the standard base is just three combinators: `S`, `K`, and `I`.
  62 (Though we'll see shortly that the behavior of `I` can be exactly
  63 simulated by a combination of `S`'s and `K`'s.)  But it's possible to be
  64 even more minimalistic, and get by with only a single combinator (see
  65 links below for details). (And there are different single-combinator
  66 bases you can choose.) <!-- Schoenfinkel already discovered one of them;
  67 did Chris discover his? -->
  68
  69 There are some well-known linguistic applications of Combinatory
  70 Logic, due to Anna Szabolcsi, Mark Steedman, and Pauline Jacobson.
  71 They claim that natural language semantics is a combinatory system: that every
  72 natural language denotation is a combinator.
  73
  74 For instance, Szabolcsi 1987 argues that reflexive pronouns are argument
  75 duplicators.
  76
  77 <pre><code>
  78 everyone   hit           himself
  79 S/(S!NP)   (S!NP)/NP     (S!NP)!((S!NP)/NP)
  80 \f&forall;x[fx]   \y\z[HIT y z] \h\u[huu]
  81            ---------------------------------
  82                   S!NP     \u[HIT u u]
  83 --------------------------------------------
  84                   S        &forall;x[HIT x x]
  85 </code></pre>
  86
  87 Notice that the semantic value of *himself* is exactly `W`.  The reflexive
  88 pronoun in direct object position combines with the transitive verb.  The
  89 result is an intransitive verb phrase that takes a subject argument, duplicates
  90 that argument, and feeds the two copies to the transitive verb meaning.
  91
  92 Note that `W <~~> S(CI)`:
  93
  94 <pre><code>S(CI) &equiv;
  95 S((\fxy.fyx)(\x.x)) ~~>
  96 S(\xy.(\x.x)yx) ~~>
  97 S(\xy.yx) &equiv;
  98 (\fgx.fx(gx))(\xy.yx) ~~>
  99 \gx.(\xy.yx)x(gx) ~~>
 100 \gx.(gx)x &equiv;
 101 W</code></pre>
 102
 103 ###A different set of reduction rules###
 104
 105 Instead of defining combinators in terms of antecedently understood lambda terms, we want to consider the view that takes the combinators as primitive, and understands them in terms of *what they do*. If we have the `I` combinator followed by any expression X,
 106 `I` will take that expression as its argument and return that same expression as the result.  In pictures,
 107
 108     IX ~~> X
 109
 110 Thinking of this as a reduction rule, we can perform the following computation
 111
 112     II(IX) ~~> I(IX) ~~> IX ~~> X
 113
 114 The reduction rule for `K` is also straightforward:
 115
 116     KXY ~~> X
 117
 118 That is, `K` throws away its second argument.  The reduction rule for `S` can be constructed by examining
 119 the defining lambda term:
 120
 121 <pre><code>S &equiv; \fgx.fx(gx)</code></pre>
 122
 123 `S` takes three arguments, duplicates the third argument, and feeds one copy to the first argument and the second copy to the second argument.  So:
 124
 125     SFGX ~~> FX(GX)
 126
 127 If the meaning of a function is nothing more than how it behaves with respect to its arguments,
 128 these reduction rules capture the behavior of the combinators `S`, `K`, and `I` completely.
 129 We can use these rules to compute without resorting to beta reduction.
 130
 131 For instance, we can show how the `I` combinator's behavior is simulated by a
 132 certain crafty combination of `S`s and `K`s:
 133
 134     SKKX ~~> KX(KX) ~~> X
 135
 136 So the combinator `SKK` is equivalent to the combinator `I`. (Really, it could be `SKX` for any `X`.)
 137
 138 These reduction rule have the same status with respect to Combinatory
 139 Logic as beta reduction and eta reduction, etc., have with respect to
 140 the Lambda Calculus: they are purely syntactic rules for transforming
 141 one sequence of symbols (e.g., a redex) into another (a reduced
 142 form).  It's worth noting that the reduction rules for Combinatory
 143 Logic are considerably more simple than, say, beta reduction.  Also, since
 144 there are no variables in Combiantory Logic, there is no need to worry
 145 about variables colliding when we substitute.
 146
 147 Combinatory Logic is what you have when you choose a set of combinators and regulate their behavior with a set of reduction rules. As we said, the most common system uses `S`, `K`, and `I` as defined here.
 148
 149 ###The equivalence of the untyped Lambda Calculus and Combinatory Logic###
 150
 151 We've claimed that Combinatory Logic is equivalent to the Lambda Calculus.  If
 152 that's so, then `S`, `K`, and `I` must be enough to accomplish any computational task
 153 imaginable.  Actually, `S` and `K` must suffice, since we've just seen that we can
 154 simulate `I` using only `S` and `K`.  In order to get an intuition about what it
 155 takes to be Turing complete, recall our discussion of the Lambda Calculus in
 156 terms of a text editor.  A text editor has the power to transform any arbitrary
 157 text into any other arbitrary text.
 158 The way it does this is by deleting, copying, and reordering characters.  We've
 159 already seen that `K` deletes its second argument, so we have deletion covered.
 160 `S` duplicates and reorders, so we have some reason to hope that `S` and `K` are
 161 enough to define arbitrary functions.
 162
 163 We've already established that the behavior of combinatory terms can be
 164 perfectly mimicked by lambda terms: just replace each combinator with its
 165 equivalent lambda term, i.e., replace `I` with `\x.x`, replace `K` with `\xy.x`,
 166 and replace `S` with `\fgx.fx(gx)`.  So the behavior of any combination of
 167 combinators in Combinatory Logic can be exactly reproduced by a lambda term.
 168
 169 How about the other direction?  Here is a method for converting an arbitrary
 170 lambda term into an equivalent Combinatory Logic term using only `S`, `K`, and `I`.
 171 Besides the intrinsic beauty of this mapping, and the importance of what it
 172 says about the nature of binding and computation, it is possible to hear an
 173 echo of computing with continuations in this conversion strategy (though you
 174 wouldn't be able to hear these echos until we've covered a considerable portion
 175 of the rest of the course).  In addition, there is a direct linguistic
 176 appliction of this mapping in chapter 17 of Barker and Shan 2014, where it is
 177 used to establish a correpsondence between two natural language grammars, one
 178 of which is based on lambda-like abstraction, the other of which is based on
 179 Combinatory Logic like manipulations.
 180
 181 Assume that for any lambda term T, [T] is the equivalent Combinatory Logic term.  Then we can define the [.] mapping as follows:
 182
 183      1. [a]               a
 184      2. [(M N)]           ([M][N])
 185      3. [\a.a]            I
 186      4. [\a.M]            K[M]                 when a does not occur free in M
 187      5. [\a.(M N)]        S[\a.M][\a.N]
 188      6. [\a\b.M]          [\a[\b.M]]
 189
 190 If the recursive unpacking of these rules ever direct you to "translate" an `S` or a `K` or an `I`, introduced at an earlier stage of translation, those symbols translate themselves.
 191
 192 It's easy to understand these rules based on what `S`, `K` and `I` do.
 193
 194 The first rule says that variables are mapped to themselves. If the original lambda expression had no free variables in it, then any such translations will only be temporary. The variable will later get eliminated by the application of other rules. (If the original lambda term *does* have free variables in it, so too will the final Combinatory Logic translation.  Feel free to worry about this, though you should be confident that it makes sense.)
 195
 196 The second rule says that the way to translate an application is to translate the first element and the second element separately.
 197
 198 The third rule should be obvious.
 199
 200 The fourth rule should also be fairly self-evident: since what a lambda term such as `\x. y` does it throw away its first argument and return `y`, that's exactly what the Combinatory Logic translation should do.  And indeed, `K y` is a function that throws away its argument and returns `y`.
 201
 202 The fifth rule deals with an abstract whose body is an application: the `S` combinator takes its next argument (which will fill the role of the original variable a) and copies it, feeding one copy to the translation of \a.M, and the other copy to the translation of \a.N.  This ensures that any free occurrences of a inside M or N will end up taking on the appropriate value.
 203
 204 Finally, the last rule says that if the body of an abstract is itself an abstract, translate the inner abstract first, and then do the outermost.  (Since the translation of [\b.M] will not have any lambdas in it, we can be sure that we won't end up applying rule 6 again in an infinite loop.)
 205
 206 Persuade yourself that if the original lambda term contains no free variables --- i.e., is a combinator --- then the translation will consist only of `S`, `K`, and `I` (plus parentheses).
 207
 208 (Fussy note: this translation algorithm builds expressions that combine lambdas with combinators.  For instance, the translation of our boolean false `\x. \y. y` is `[\x [\y. y]] = [\x. I] = KI`.  In the intermediate stage, we have `\x. I`, which mixes primitive combinators in the body of a lambda abstract.  It's possible to avoid this if you want to,  but it takes some careful thought.  See, e.g., Barendregt 1984, page 156.)
 209
 210 Various, slightly differing translation schemes from Combinatory Logic to the
 211 Lambda Calculus are also possible. These generate different metatheoretical
 212 correspondences between the two calculii. Consult Hindley and Seldin for
 213 details.
 214
 215 Also, note that the combinatorial proof theory needs to be
 216 strengthened with axioms beyond anything we've here described in order to make
 217 [M] convertible with [N] whenever the original lambda-terms M and N are
 218 convertible.  But then, we've been a bit cavalier about giving the full set of
 219 reduction rules for the Lambda Calculus in a similar way.
 220
 221 For instance, one
 222 issue we mentioned in the notes on [[Reduction Strategies|week3_reduction_strategies]] is whether reduction rules (in either the Lambda Calculus or Combinatory Logic) apply to embedded expressions.  Often, we do want that to happen, but
 223 making it happen requires adding explicit axioms.
 224
 225 Let's check that the translation of the `false` boolean behaves as expected by feeding it two arbitrary arguments:
 226
 227     KIXY ~~> IY ~~> Y
 228
 229 Throws away the first argument, returns the second argument---yep, it works.
 230
 231 Here's a more elaborate example of the translation.  The goal is to establish that combinators can reverse order, so we use the **T** combinator, where  <code>T &equiv; \x y. y x</code>:
 232
 233     [\x y. y x] = [\x [\y. y x]] = [\x. S [\y. y] [\y. x]] = [\x.(SI)(Kx)] = S[\x.SI][\x.Kx] = S(K(SI))(S[\x.K][\x.x]) = S(K(SI))(S(KK)I)
 234
 235 We can test this translation by seeing if it behaves like the original lambda term does.
 236 The orginal lambda term lifts its first argument (think of it as reversing the order of its two arguments):
 237
 238         S(K(SI))(S(KK)I) X Y ~~>
 239         (K(SI))X ((S(KK)I) X) Y ~~>
 240         SI ((KK)X (IX)) Y ~~>
 241         SI (KX) Y ~~>
 242         IY (KXY) ~~>
 243         Y X
 244
 245 Voil&agrave;: the combinator takes any X and Y as arguments, and returns Y applied to X.
 246
 247 One very nice property of Combinatory Logic is that there is no need to worry about alphabetic variance, or
 248 variable collision---since there are no (bound) variables, there is no possibility of accidental variable capture,
 249 and so reduction can be performed without any fear of variable collision.  We haven't mentioned the intricacies of
 250 alpha equivalence or safe variable substitution, but they are in fact quite intricate.  (The best way to gain
 251 an appreciation of that intricacy is to write a program that performs lambda reduction.)
 252
 253 Back to linguistic applications: one consequence of the equivalence between the Lambda Calculus and Combinatory
 254 Logic is that anything that can be done by binding variables can just as well be done with combinators.
 255 This has given rise to a style of semantic analysis called Variable Free Semantics (in addition to
 256 Szabolcsi's papers, see, for instance,
 257 Pauline Jacobson's 1999 *Linguistics and Philosophy* paper, "Towards a variable-free Semantics").
 258
 259 Somewhat ironically, reading strings of combinators is so difficult that most practitioners of variable-free semantics
 260 express their meanings using the Lambda Calculus rather than Combinatory Logic; perhaps they should call their
 261 enterprise Free Variable Free Semantics.
 262
 263 A philosophical connection: Quine went through a phase in which he developed a variable free logic.
 264
 265 > Quine, Willard. 1960. "Variables explained away" <cite>Proceedings of the American Philosophical Society</cite>.  Volume 104: 343--347.  Also in W. V. Quine.  1960. <cite>Selected Logical Papers</cite>.  Random House: New York.  227--235.
 266
 267 The reason this was important to Quine is similar to the worry that using
 268 non-referring expressions such as Santa Claus might commit one to believing in
 269 non-existent things.  Quine's slogan was that "to be is to be the value of a
 270 variable."  What this was supposed to mean is that if and only if an object
 271 could serve as the value of some variable, we are committed to recognizing the
 272 existence of that object in our ontology.  Obviously, if there ARE no
 273 variables, this slogan has to be rethought.
 274
 275 Quine did not appear to appreciate that Shoenfinkel had already invented Combinatory Logic, though
 276 he later wrote an introduction to Shoenfinkel's key paper reprinted in Jean
 277 van Heijenoort (ed) 1967 <cite>From Frege to Goedel, a source book in mathematical logic, 1879--1931</cite>.
 278
 279 Cresswell has also developed a variable-free approach of some philosophical and linguistic interest
 280 in two books in the 1990's.
 281
 282 A final linguistic application: Steedman's Combinatory Categorial Grammar, where the "Combinatory" is
 283 from Combinatory Logic (see especially his 2012 book, <cite>Taking Scope</cite>).  Steedman attempts to build
 284 a syntax/semantics interface using a small number of combinators, including `T` &equiv; `\x y. y x`, `B` &equiv; `\f x y. f (x y)`,
 285 and our friend `S`.  Steedman used Smullyan's fanciful bird
 286 names for the combinators, Thrush, Bluebird, and Starling.
 287
 288 Many of these combinatory logics, in particular, the SKI system,
 289 are Turing complete. In other words: every computation we know how to describe can be represented in a logical system consisting of only a single primitive operation!
 290
 291
 292 ###A connection between Combinatory Logic and Sentential Logic###
 293
 294 The combinators `K` and `S` correspond to two well-known axioms of sentential logic:
 295
 296     AK: A ⊃ (B ⊃ A)
 297     AS: (A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C))
 298
 299 When these two axiom schemas are combined with the rule of modus ponens (from `A` and `A ⊃ B`, conclude `B`), the resulting proof system
 300 is complete for the implicational fragment of intuitionistic logic.
 301 (To get a complete proof system for *classical* sentential logic, you
 302 need only add one more axiom schema, constraining the behavior of a new connective "not".)
 303 The way we'll favor for viewing the relationship between these axioms
 304 and the `S` and `K` combinators is that the axioms correspond to *type
 305 schemas* for the combinators. This will become more clear once we have
 306 a theory of types in view.
 307
 308 Here's more to read about Combinatory Logic. Surely the most entertaining exposition is Smullyan's [[!wikipedia To_Mock_a_Mockingbird]].
 309 Other sources include:
 310
 311 *   [[!wikipedia Combinatory logic]] at Wikipedia
 312 *   [Combinatory logic](http://plato.stanford.edu/entries/logic-combinatory/) at the Stanford Encyclopedia of Philosophy
 313 *   [[!wikipedia SKI combinatory calculus]]
 314 *   [[!wikipedia B,C,K,W system]]
 315 *   [Chris Barker's Iota and Jot](http://semarch.linguistics.fas.nyu.edu/barker/Iota/)
 316 *   Jeroen Fokker, "The Systematic Construction of a One-combinator Basis for Lambda-Terms" <cite>Formal Aspects of Computing</cite> 4 (1992), pp. 776-780. <http://people.cs.uu.nl/jeroen/article/combinat/combinat.ps>