1 <!-- λ Λ ∀ ≡ α β γ ρ ω Ω ○ μ η δ ζ ξ ⋆ ★ • ∙ ● 𝟎 𝟏 𝟐 𝟘 𝟙 𝟚 𝟬 𝟭 𝟮 ¢ ⇧ -->
3 [[!toc levels=2]]
5 The Reader Monad
6 ================
8 The goal for this part is to introduce the Reader Monad, and present
9 two linguistics applications: binding and intensionality.  Along the
10 way, we'll continue to think through issues related to order, and a
11 related notion of flow of information.
13 At this point, we've seen monads in general, and three examples of
14 monads: the identity monad (invisible boxes), the Maybe monad (option
15 types), and the List monad.
17 We've also seen an application of the Maybe monad to safe division.
18 The starting point was to allow the division function to return an int
19 option instead of an int.  If we divide 6 by 2, we get the answer Just
20 3.  But if we divide 6 by 0, we get the answer Nothing.
22 The next step was to adjust the other arithmetic functions to know how
23 to handle receiving Nothing instead of a (boxed) integer.  This meant
24 changing the type of their input from ints to int options.  But we
25 didn't need to do this piecemeal; rather, we could "lift" the ordinary
26 arithmetic operations into the monad using the various tools provided
27 by the monad.
29 ## Tracing the effect of safe-div on a larger computation
31 So let's see how this works in terms of a specific computation.
33 <pre>
34 \tree ((((+) (1)) (((*) (((/) (6)) (2))) (4))))
36  ___________
37  |         |
38 _|__    ___|___
39 |  |    |     |
40 +  1  __|___  4
41       |    |
42       *  __|___
43          |    |
44         _|__  2
45         |  |
46         /  6
47 </pre>
49 This computation should reduce to 13.  But given a specific reduction
50 strategy, we can watch the order in which the computation proceeds.
51 Following on the lambda evaluator developed during the previous
52 homework, let's adopt the following reduction strategy:
54     In order to reduce (head arg), do the following in order:
55     1. Reduce head to h'
56     2. Reduce arg to a'.
57     3. If (h' a') is a redex, reduce it.
59 There are many details left unspecified here, but this will be enough
60 for today.  The order in which the computation unfolds will be
62     1. Reduce head (+ 1) to itself
63     2. Reduce arg ((* ((/ 6) 2)) 3)
64          1. Reduce head (* ((/ 6) 2))
65               1. Reduce head *
66               2. Reduce arg ((/ 6) 2)
67                    1. Reduce head (/ 6) to itself
68                    2. Reduce arg 2 to itself
69                    3. Reduce ((/ 6) 2) to 3
70               3. Reduce (* 3) to itself
71          2. Reduce arg 4 to itself
72          3. Reduce ((* 3) 4) to 12
73      3. Reduce ((+ 1) 12) to 13
75 This reduction pattern follows the structure of the original
76 expression exactly, at each node moving first to the left branch,
77 processing the left branch, then moving to the right branch, and
78 finally processing the results of the two subcomputation.  (This is
79 called depth-first postorder traversal of the tree.)
81 It will be helpful to see how the types change as we make adjustments.
83     type num = int
84     type contents = Num of num   | Op of (num -> num -> num)
85     type tree = Leaf of contents | Branch of tree * tree
87 Never mind that these types will allow us to construct silly
88 arithmetric trees such as `+ *` or `2 3`.  Note that during the
89 reduction sequence, the result of reduction was in every case a
90 well-formed subtree.  So the process of reduction could be animated by
91 replacing subtrees with the result of reduction on that subtree, till
92 the entire tree is replaced by a single integer (namely, 13).
94 Now we replace the number 2 with 0:
96 <pre>
97 \tree ((((+) (1)) (((*) (((/) (6)) (0))) (4))))
99  ___________
100  |         |
101 _|__    ___|___
102 |  |    |     |
103 +  1  __|___  4
104       |    |
105       *  __|___
106          |    |
107         _|__  0
108         |  |
109         /  6
110 </pre>
112 When we reduce, we get quite a ways into the computation before things
113 go south:
115     1. Reduce head (+ 1) to itself
116     2. Reduce arg ((* ((/ 6) 0)) 3)
117          1. Reduce head (* ((/ 6) 0))
118               1. Reduce head *
119               2. Reduce arg ((/ 6) 0)
120                    1. Reduce head (/ 6) to itself
121                    2. Reduce arg 0 to itself
122                    3. Reduce ((/ 6) 0) to ACKKKK
124 This is where we replace `/` with `safe-div`.  This means changing the
125 type of the arithmetic operators from `int -> int -> int` to
126 `int -> int -> int option`; and since we now have to anticipate the
127 possibility that any argument might involve division by zero inside of
128 it, here is the net result for our types:
130     type num = int option
131     type contents = Num of num   | Op of (num -> num -> num)
132     type tree = Leaf of contents | Branch of tree * tree
134 The only difference is that instead of defining our numbers to be
135 simple integers, they are now int options; and so Op is an operator
136 over int options.
138 At this point, we bring in the monadic machinery.  In particular, here
139 is the ⇧ and the map2 function from the notes on safe division:
141     ⇧ (a: 'a) = Just a;;
143     map2 (g : 'a -> 'b -> 'c) (u : 'a option) (v : 'b option) =
144       match u with
145       | None -> None
146       | Some x ->
147           (match v with
148           | None -> None
149           | Some y -> Some (g x y));;
151 Then we lift the entire computation into the monad by applying ⇧ to
152 the integers, and by applying `map1` to the operators:
154 <pre>
155 \tree ((((map2 +) (⇧1)) (((map2 *) (((map2 /) (⇧6)) (⇧0))) (⇧4))))
157      ___________________
158      |                 |
159   ___|____         ____|_____
160   |      |         |        |
161 map2 +  ⇧1    _____|_____  ⇧4
162               |         |
163             map2 *  ____|____
164                     |       |
165                  ___|____  ⇧0
166                  |      |
167                map2 /  ⇧6
168 </pre>
170 With these adjustments, the faulty computation now completes smoothly:
172     1. Reduce head ((map2 +)  -->
174 The Reader Monad
175 ================
177 The goal for this part is to introduce the Reader Monad, and present
178 two linguistics applications: binding and intensionality.  Along the
179 way, we'll continue to think through issues related to order, and a
180 related notion of flow of information.
182 At this point, we've seen monads in general, and three examples of
183 monads: the identity monad (invisible boxes), the Maybe monad (option
184 types), and the List monad.
186 We've also seen an application of the Maybe monad to safe division.
187 The starting point was to allow the division function to return an int
188 option instead of an int.  If we divide 6 by 2, we get the answer Just
189 3.  But if we divide 6 by 0, we get the answer Nothing.
191 The next step was to adjust the other arithmetic functions to know how
192 to handle receiving Nothing instead of a (boxed) integer.  This meant
193 changing the type of their input from ints to int options.  But we
194 didn't need to do this piecemeal; rather, we could "lift" the ordinary
195 arithmetic operations into the monad using the various tools provided
196 by the monad.
198 So let's see how this works in terms of a specific computation.
200 <pre>
201 \tree ((((+) (1)) (((*) (((/) (6)) (2))) (4))))
203  ___________
204  |         |
205 _|__    ___|___
206 |  |    |     |
207 +  1  __|___  4
208       |    |
209       *  __|___
210          |    |
211         _|__  2
212         |  |
213         /  6
214 </pre>
216 This computation should reduce to 13.  But given a specific reduction
217 strategy, we can watch the order in which the computation proceeds.
218 Following on the lambda evaluator developed during the previous
219 homework, let's adopt the following reduction strategy:
221     In order to reduce (head arg), do the following in order:
222     1. Reduce head to h'
223     2. Reduce arg to a'.
224     3. If (h' a') is a redex, reduce it.
226 There are many details left unspecified here, but this will be enough
227 for today.  The order in which the computation unfolds will be
229     1. Reduce head (+ 1) to itself
230     2. Reduce arg ((* (/ 6 2)) 3)
231          1. Reduce head (* ((/ 6) 2))
232               1. Reduce head *
233               2. Reduce arg ((/ 6) 2)
234                    1. Reduce head (/ 6) to itself
235                    2. Reduce arg 2 to itself
236                    3. Reduce ((/ 6) 2) to 3
237               3. Reduce (* 3) to itself
238          2. Reduce arg 4 to itself
239          3. Reduce ((* 3) 4) to 12
240      3. Reduce ((+ 1) 12) to 13
242 This reduction pattern follows the structure of the original
243 expression exactly, at each node moving first to the left branch,
244 processing the left branch, then moving to the right branch, and
245 finally processing the results of the two subcomputation.  (This is
246 called depth-first postorder traversal of the tree.)
248 It will be helpful to see how the types change as we make adjustments.
250     type num = int
251     type contents = Num of num   | Op of (num -> num -> num)
252     type tree = Leaf of contents | Branch of tree * tree
254 Never mind that these types will allow us to construct silly
255 arithmetric trees such as `+ *` or `2 3`.  Note that during the
256 reduction sequence, the result of reduction was in every case a
257 well-formed subtree.  So the process of reduction could be animated by
258 replacing subtrees with the result of reduction on that subtree, till
259 the entire tree is replaced by a single integer (namely, 13).
261 Now we replace the number 2 with 0:
263 <pre>
264 \tree ((((+) (1)) (((*) (((/) (6)) (0))) (4))))
266  ___________
267  |         |
268 _|__    ___|___
269 |  |    |     |
270 +  1  __|___  4
271       |    |
272       *  __|___
273          |    |
274         _|__  0
275         |  |
276         /  6
277 </pre>
279 When we reduce, we get quite a ways into the computation before things
280 go south:
282     1. Reduce head (+ 1) to itself
283     2. Reduce arg ((* (/ 6 0)) 3)
284          1. Reduce head (* ((/ 6) 0))
285               1. Reduce head *
286               2. Reduce arg ((/ 6) 0)
287                    1. Reduce head (/ 6) to itself
288                    2. Reduce arg 0 to itself
289                    3. Reduce ((/ 6) 0) to ACKKKK
291 This is where we replace `/` with `safe-div`.  This means changing the
292 type of the arithmetic operators from `int -> int -> int` to
293 `int -> int -> int option`; and since we now have to anticipate the
294 possibility that any argument might involve division by zero inside of
295 it, here is the net result for our types:
297     type num = int option
298     type contents = Num of num   | Op of (num -> num -> num)
299     type tree = Leaf of contents | Branch of tree * tree
301 The only difference is that instead of defining our numbers to be
302 simple integers, they are now int options; and so Op is an operator
303 over int options.
305 At this point, we bring in the monadic machinery.  In particular, here
306 is the ⇧ and the map2 function from the notes on safe division:
308     ⇧ (a: 'a) = Just a;;
310     map2 (g : 'a -> 'b -> 'c) (u : 'a option) (v : 'b option) =
311       match u with
312       | None -> None
313       | Some x ->
314           (match v with
315           | None -> None
316           | Some y -> Some (g x y));;
318 Then we lift the entire computation into the monad by applying ⇧ to
319 the integers, and by applying `map1` to the operators:
321 <pre>
322 \tree ((((map2 +) (⇧1)) (((map2 *) (((map2 /) (⇧6)) (⇧0))) (⇧4))))
324      ___________________
325      |                 |
326   ___|____         ____|_____
327   |      |         |        |
328 map2 +  ⇧1    _____|_____  ⇧4
329               |         |
330             map2 *  ____|____
331                     |       |
332                  ___|____  ⇧0
333                  |      |
334                map2 /  ⇧6
335 </pre>
337 With these adjustments, the faulty computation now completes smoothly:
339     1. Reduce head ((map2 +) ⇧1)
340     2. Reduce arg (((map2 *) (((map2 /) ⇧6) ⇧2)) ⇧3)
341          1. Reduce head ((map2 *) (((map2 /) ⇧6) ⇧2))
342               1. Reduce head *
343               2. Reduce arg (((map2 /) ⇧6) ⇧0)
344                    1. Reduce head ((map2 /) ⇧6)
345                    2. Reduce arg ⇧0
346                    3. Reduce (((map2 /) ⇧6) ⇧0) to Nothing
347               3. Reduce ((map2 *) Nothing) to Nothing
348          2. Reduce arg ⇧4
349          3. Reduce (((map2 *) Nothing) ⇧4) to Nothing
350      3. Reduce (((map2 +) ⇧1) Nothing) to Nothing
352 As soon as we try to divide by 0, safe-div returns Nothing.
353 Thanks to the details of map2, the fact that Nothing has been returned
354 by one of the arguments of a map2-ed operator guarantees that the
355 map2-ed operator will pass on the Nothing as its result.  So the
356 result of each enclosing computation will be Nothing, up to the root
357 of the tree.
359 It is unfortunate that we need to continue the computation after
360 encountering our first Nothing.  We know immediately at the result of
361 the entire computation will be Nothing, yet we continue to compute
362 subresults and combinations.  It would be more efficient to simply
363 jump to the top as soon as Nothing is encoutered.  Let's call that
364 strategy Abort.  We'll arrive at an Abort operator later in the semester.
366 So at this point, we can see how the Maybe/option monad provides
367 plumbing that allows subcomputations to send information from one part
368 of the computation to another.  In this case, the safe-div function
369 can send the information that division by zero has been attempted
370 throughout the rest of the computation.  If you think of the plumbing
371 as threaded through the tree in depth-first, postorder traversal, then
372 safe-div drops Nothing into the plumbing half way through the
373 computation, and that Nothing travels through the rest of the plumbing
374 till it comes out of the result faucet at the top of the tree.
376 ## Information flowing in the other direction: top to bottom
378 In the save-div example, a subcomputation created a message that
379 propagated upwards to the larger computation:
381 <pre>
382                  message: Division by zero occurred!
383                       ^
384  ___________          |
385  |         |          |
386 _|__    ___|___       |
387 |  |    |     |       |
388 +  1  __|___  4       |
389       |    |          |
390       *  __|___  -----|
391          |    |
392         _|__  0
393         |  |
394         /  6
395 </pre>
397 We might want to reverse the direction of information flow, making
398 information available at the top of the computation available to the
399 subcomputations:
401 <pre>
402                     [λx]
403  ___________          |
404  |         |          |
405 _|__    ___|___       |
406 |  |    |     |       |
407 +  1  __|___  4       |
408       |    |          |
409       *  __|___       |
410          |    |       |
411         _|__  x  <----|
412         |  |
413         /  6
414 </pre>
416 We've seen exactly this sort of configuration before: it's exactly
417 what we have when a lambda binds a variable that occurs in a deeply
418 embedded position.  Whatever the value of the argument that the lambda
419 form combines with, that is what will be substituted in for free
420 occurrences of that variable within the body of the lambda.
422 So our next step is to add a (primitive) version of binding to our
423 computation.  Rather than anticipating any number of binding
424 operators, we'll allow for just one binding dependency for now.
426 This example is independent of the safe-div example, so we'll return
427 to a situation in which the Maybe monad hasn't been added.  So the
428 types are the ones where numbers are just integers, not int options.
429 (In a couple of weeks, we'll start combining monads into a single
430 system; if you're impatient, you might think about how to do that now.)
432     type num = int
434 And the computation will be without the map2 or the ⇧ from the option
435 monad.
437 As you might guess, the technique we'll use to arrive at binding will
438 be to use the Reader monad, defined here in terms of m-identity and bind:
440     α --> int -> α
441     ⇧a = \x.a
442     u >>= f = \x.f(ux)x
443     map2 u v = \x.ux(vx)
445 A boxed type in this monad will be a function from an integer to an
446 object in the original type.  The unit function ⇧ lifts a value `a` to
447 a function that expects to receive an integer, but throws away the
448 integer and returns `a` instead (most values in the computation don't
449 depend on the input integer).
451 The bind function in this monad takes a monadic object `u`, a function
452 `f` lifting non-monadic objects into the monad, and returns a function
453 that expects an integer `x`.  It feeds `x` to `u`, which delivers a
454 result in the orginal type, which is fed in turn to `f`.  `f` returns
455 a monadic object, which upon being fed an integer, returns an object
456 of the orginal type.
458 The map2 function corresponding to this bind operation is given
459 above.  It should look familiar---we'll be commenting on this
460 familiarity in a moment.
462 Lifing the computation into the monad, we have the following adjusted
463 types:
465 type num = int -> int
467 That is, `num` is once again replaced with the type of a boxed int.
468 When we were dealing with the Maybe monad, a boxed int had type `int
469 option`.  In this monad, a boxed int has type `int -> int`.
471 <pre>
472 \tree ((((map2 +) (⇧1)) (((map2 *) (((map2 /) (⇧6)) (x))) (⇧4))))
474      __________________
475      |                |
476   ___|____        ____|_____
477   |      |        |        |
478 map2 +  ⇧1    ____|_____  ⇧4
479               |        |
480             map2 *  ___|____
481                     |      |
482                  ___|____  x
483                  |      |
484                map2 /  ⇧6
485 </pre>
487 It remains only to decide how the variable `x` will access the value input
488 at the top of the tree.  Since the input value is supposed to be the
489 value put in place of the variable `x`.  Like every leaf in the tree
490 in argument position, the code we want in order to represent the
491 variable will have the type of a boxed int, namely, `int -> int`.  So
492 we have the following:
494     x (i:int):int = i
496 That is, variables in this system denote the indentity function!
498 The result of evaluating this tree will be a boxed integer: a function
499 from any integer `x` to `(+ 1 (* (/ 6 x)) 4)`.
501 Take a look at the definition of the reader monad again.  The
502 midentity takes some object `a` and returns `\x.a`.  In other words,
503 `⇧a = Ka`, so `⇧ = K`.  Likewise, `map2` for this monad is the `S`
504 combinator.  We've seen this before as a strategy for translating a
505 lambda abstract into a set of combinators.  Here is a part of the
506 general scheme for translating a lambda abstract into Combinatory
507 Logic.  The translation function `[.]` translates a lambda term into a
508 term in Combinatory Logic:
510     [(MN)] = ([M] [N])
511     [\a.a] = I
512     [\a.M] = K[M]       (assuming a not free in M)
513     [\a.(MN)] = S[\a.M][\a.N]
515 The reason we can make do with this subset of the full function is
516 that we're making the simplifying assumption that there is at most a
517 single lambda involved.  So here you see the I (the translation of the
518 bound variable), the K and the S.
521 ## Jacobson's Variable Free Semantics as a Reader Monad
523 We've designed the discussion so far to make the following claim as
524 easy to show as possible: Jacobson's Variable Free Semantics
525 (e.g., Jacobson 1999, [Towards a
526 Variable-Free
527 Semantics](http://www.springerlink.com/content/j706674r4w217jj5/))
528 is a reader monad.
530 More specifically, it will turn out that Jacobson's geach combinator
531 *g* is exactly our `lift` operator, and her binding combinator *z* is
532 exactly our `bind` (though with the arguments reversed)!
534 Jacobson's system contains two main combinators, *g* and *z*.  She
535 calls *g* the Geach rule, and *z* performs binding.  Here is a typical
536 computation.  This implementation is based closely on email from Simon
537 Charlow, with beta reduction as performed by the on-line evaluator:
539 <pre>
540 ; Analysis of "Everyone_i thinks he_i left"
541 let g = \f g x. f (g x) in
542 let z = \f g x. f (g x) x in
543 let he = \x. x in
544 let everyone = \P. FORALL x (P x) in
546 everyone (z thinks (g left he))
548 ~~>  FORALL x (thinks (left x) x)
549 </pre>
551 Several things to notice: First, pronouns once again denote identity functions.
552 As Jeremy Kuhn has pointed out, this is related to the fact that in
553 the mapping from the lambda calculus into combinatory logic that we
554 discussed earlier in the course, bound variables translated to I, the
555 identity combinator (see additional comments below).  We'll return to
556 the idea of pronouns as identity functions in later discussions.
558 Second, *g* plays the role of transmitting a binding dependency for an
559 embedded constituent to a containing constituent.
561 Third, one of the peculiar aspects of Jacobson's system is that
562 binding is accomplished not by applying *z* to the element that will
563 (in some pre-theoretic sense) bind the pronoun, here, *everyone*, but
564 rather by applying *z* instead to the predicate that will take
565 *everyone* as an argument, here, *thinks*.
567 The basic recipe in Jacobson's system, then, is that you transmit the
568 dependence of a pronoun upwards through the tree using *g* until just
569 before you are about to combine with the binder, when you finish off
570 with *z*.  (There are examples with longer chains of *g*'s below.)
572 Jacobson's *g* combinator is exactly our `lift` operator: it takes a
573 functor and lifts it into the monad.
574 Furthermore, Jacobson's *z* combinator, which is what she uses to
575 create binding links, is essentially identical to our reader-monad
576 `bind`!
578 <pre>
579 everyone (z thinks (g left he))
581 ~~> forall w (thinks (left w) w)
583 everyone (z thinks (g (t bill) (g said (g left he))))
585 ~~> forall w (thinks (said (left w) bill) w)
586 </pre>
588 (The `t` combinator is given by `t x = \xy.yx`; it handles situations
589 in which English word order places the argument (in this case, a
590 grammatical subject) before the predicate.)
592 So *g* is exactly `lift` (a combination of `bind` and `unit`), and *z*
593 is exactly `bind` with the arguments reversed.  It appears that
594 Jacobson's variable-free semantics is essentially a Reader monad.
596 ## The Reader monad for intensionality
598 Now we'll look at using monads to do intensional function application.
599 This is just another application of the Reader monad, not a new monad.
600 In Shan (2001) [Monads for natural
601 language semantics](http://arxiv.org/abs/cs/0205026v1), Ken shows that
602 making expressions sensitive to the world of evaluation is conceptually
603 the same thing as making use of the Reader monad.
604 This technique was beautifully re-invented
605 by Ben-Avi and Winter (2007) in their paper [A modular
606 approach to
607 intensionality](http://parles.upf.es/glif/pub/sub11/individual/bena_wint.pdf),
608 though without explicitly using monads.
610 All of the code in the discussion below can be found here: [[code/intensionality-monad.ml]].
611 To run it, download the file, start OCaml, and say
613         # #use "intensionality-monad.ml";;
615 Note the extra `#` attached to the directive `use`.
617 First, the familiar linguistic problem:
619        Bill left.
620            Cam left.
621            Ann believes [Bill left].
622            Ann believes [Cam left].
624 We want an analysis on which the first three sentences can be true at
625 the same time that the last sentence is false.  If sentences denoted
626 simple truth values or booleans, we have a problem: if the sentences
627 *Bill left* and *Cam left* are both true, they denote the same object,
628 and Ann's beliefs can't distinguish between them.
630 The traditional solution to the problem sketched above is to allow
631 sentences to denote a function from worlds to truth values, what
632 Montague called an intension.  So if `s` is the type of possible
633 worlds, we have the following situation:
636 <pre>
637 Extensional types              Intensional types       Examples
638 -------------------------------------------------------------------
640 S         t                    s->t                    John left
641 DP        e                    s->e                    John
642 VP        e->t                 (s->e)->s->t            left
643 Vt        e->e->t              (s->e)->(s->e)->s->t    saw
644 Vs        t->e->t              (s->t)->(s->e)->s->t    thought
645 </pre>
647 This system is modeled on the way Montague arranged his grammar.
648 There are significant simplifications compared to Montague: for
649 instance, determiner phrases are thought of here as corresponding to
650 individuals rather than to generalized quantifiers.
652 The main difference between the intensional types and the extensional
653 types is that in the intensional types, the arguments are functions
654 from worlds to extensions: intransitive verb phrases like "left" now
655 take so-called "individual concepts" as arguments (type s->e) rather than plain
656 individuals (type e), and attitude verbs like "think" now take
657 propositions (type s->t) rather than truth values (type t).
658 In addition, the result of each predicate is an intension.
659 This expresses the fact that the set of people who left in one world
660 may be different than the set of people who left in a different world.
662 Normally, the dependence of the extension of a predicate to the world
663 of evaluation is hidden inside of an evaluation coordinate, or built
664 into the the lexical meaning function, but we've made it explicit here
665 in the way that the intensionality monad makes most natural.
667 The intensional types are more complicated than the extensional
668 types.  Wouldn't it be nice to make the complicated types available
669 for those expressions like attitude verbs that need to worry about
670 intensions, and keep the rest of the grammar as extensional as
671 possible?  This desire is parallel to our earlier desire to limit the
672 concern about division by zero to the division function, and let the
673 other functions, like addition or multiplication, ignore
674 division-by-zero problems as much as possible.
676 So here's what we do:
678 In OCaml, we'll use integers to model possible worlds. Characters (characters in the computational sense, i.e., letters like `'a'` and `'b'`, not Kaplanian characters) will model individuals, and OCaml booleans will serve for truth values:
680         type s = int;;
681         type e = char;;
682         type t = bool;;
684         let ann = 'a';;
685         let bill = 'b';;
686         let cam = 'c';;
688         let left1 (x:e) = true;;
689         let saw1 (x:e) (y:e) = y < x;;
691         left1 ann;; (* true *)
692         saw1 bill ann;; (* true *)
693         saw1 ann bill;; (* false *)
695 So here's our extensional system: everyone left, including Ann;
696 and Ann saw Bill (`saw1 bill ann`), but Bill didn't see Ann.  (Note that the word
697 order we're using is VOS, verb-object-subject.)
699 Now we add intensions.  Because different people leave in different
700 worlds, the meaning of *leave* must depend on the world in which it is
701 being evaluated:
703     let left (x:e) (w:s) = match (x, w) with ('c', 2) -> false | _ -> true;;
704     left ann 1;; (* true: Ann left in world 1 *)
705     left cam 2;; (* false: Cam didn't leave in world 2 *)
707 This new definition says that everyone always left, except that
708 in world 2, Cam didn't leave.
710 Note that although this general *left* is sensitive to world of
711 evaluation, it does not have the fully intensionalized type given in
712 the chart above, which was `(s->e)->s->t`.  This is because
713 *left* does not exploit the additional resolving power provided by
714 making the subject an individual concept.  In semantics jargon, we say
715 that *leave* is extensional with respect to its first argument.
717 Therefore we will adopt the general strategy of defining predicates
718 in a way that they take arguments of the lowest type that will allow
719 us to make all the distinctions the predicate requires.  When it comes
720 time to combine this predicate with monadic arguments, we'll have to
721 make use of various lifting predicates.
723 Likewise, although *see* depends on the world of evaluation, it is
724 extensional in both of its syntactic arguments:
726     let saw x y w = (w < 2) && (y < x);;
727     saw bill ann 1;; (* true: Ann saw Bill in world 1 *)
728     saw bill ann 2;; (* false: no one saw anyone in world 2 *)
730 This (again, partially) intensionalized version of *see* coincides
731 with the `saw1` function we defined above for world 1; in world 2, no
732 one saw anyone.
734 Just to keep things straight, let's review the facts:
736 <pre>
737      World 1: Everyone left.
738               Ann saw Bill, Ann saw Cam, Bill saw Cam, no one else saw anyone.
739      World 2: Ann left, Bill left, Cam didn't leave.
740               No one saw anyone.
741 </pre>
743 Now we are ready for the intensionality monad:
745 <pre>
746 type 'a intension = s -> 'a;;
747 let unit x = fun (w:s) -> x;;
748 (* as before, bind can be written more compactly, but having
749    it spelled out like this will be useful down the road *)
750 let bind u f = fun (w:s) -> let a = u w in let u' = f a in u' w;;
751 </pre>
753 Then the individual concept `unit ann` is a rigid designator: a
754 constant function from worlds to individuals that returns `'a'` no
755 matter which world is used as an argument.  This is a typical kind of
756 thing for a monad unit to do.
758 Then combining a predicate like *left* which is extensional in its
759 subject argument with an intensional subject like `unit ann` is simply bind
760 in action:
762     bind (unit ann) left 1;; (* true: Ann left in world 1 *)
763     bind (unit cam) left 2;; (* false: Cam didn't leave in world 2 *)
765 As usual, bind takes a monad box containing Ann, extracts Ann, and
766 feeds her to the extensional *left*.  In linguistic terms, we take the
767 individual concept `unit ann`, apply it to the world of evaluation in
768 order to get hold of an individual (`'a'`), then feed that individual
769 to the extensional predicate *left*.
771 We can arrange for a transitive verb that is extensional in both of
772 its arguments to take intensional arguments:
774     let lift2' f u v = bind u (fun x -> bind v (fun y -> f x y));;
776 This is almost the same `lift2` predicate we defined in order to allow
777 addition in our division monad example.  The difference is that this
778 variant operates on verb meanings that take extensional arguments but
779 returns an intensional result.  Thus the original `lift2` predicate
780 has `unit (f x y)` where we have just `f x y` here.
782 The use of `bind` here to combine *left* with an individual concept,
783 and the use of `lift2'` to combine *see* with two intensional
784 arguments closely parallels the two of Montague's meaning postulates
785 (in PTQ) that express the relationship between extensional verbs and
786 their uses in intensional contexts.
788 <pre>
789 lift2' saw (unit bill) (unit ann) 1;;  (* true *)
790 lift2' saw (unit bill) (unit ann) 2;;  (* false *)
791 </pre>
793 Ann did see bill in world 1, but Ann didn't see Bill in world 2.
795 Finally, we can define our intensional verb *thinks*.  *Think* is
796 intensional with respect to its sentential complement, though still extensional
797 with respect to its subject.  (As Montague noticed, almost all verbs
798 in English are extensional with respect to their subject; a possible
799 exception is "appear".)
801     let thinks (p:s->t) (x:e) (w:s) =
802       match (x, p 2) with ('a', false) -> false | _ -> p w;;
804 Ann disbelieves any proposition that is false in world 2.  Apparently,
805 she firmly believes we're in world 2.  Everyone else believes a
806 proposition iff that proposition is true in the world of evaluation.
808     bind (unit ann) (thinks (bind (unit bill) left)) 1;;
810 So in world 1, Ann thinks that Bill left (because in world 2, Bill did leave).
812     bind (unit ann) (thinks (bind (unit cam) left)) 1;;
814 But in world 1, Ann doesn't believe that Cam left (even though he
815 did leave in world 1: `bind (unit cam) left 1 == true`).  Ann's thoughts are hung up on
816 what is happening in world 2, where Cam doesn't leave.
818 *Small project*: add intersective ("red") and non-intersective
819  adjectives ("good") to the fragment.  The intersective adjectives
820  will be extensional with respect to the nominal they combine with
821  (using bind), and the non-intersective adjectives will take
822  intensional arguments.