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   1 <pre>
   2 # Doing things with monads
   3
   4 ## Extended application: Groenendijk, Stokhof and Veltman's *Coreference and Modality*
   5
   6   GSV = GS + V
   7
   8   GS = Dynamic Predicate Logic L&P 1991: dynamic binding, donkey anaphora
   9        Dynamic Montague Grammar 1990: generalized quantifiers, discourse referents
  10
  11   V = epistemic modality
  12
  13 What are pegs?  A paper by Landman called `Pegs and Alecs'.
  14
  15     It might be raining.  It's not raining.
  16     #It's not raining.  It might be raining.
  17
  18 ## Two-part assignment functions
  19
  20     type var = string
  21     type peg = int
  22     type refsys = var -> peg
  23     type ent = Alice | Bob | Carl
  24     type assignment = peg -> ent
  25
  26     type pred = string
  27     type world = pred -> ent -> bool
  28     type pegcount = int
  29     type poss = world * pegcount * refsys * assignment
  30     type infostate = [poss]
  31
  32 So information states track both facts about the world (e.g., which
  33 objects count as a man), and facts about the discourse (e.g., how many
  34 pegs have been used).
  35
  36     ref(i, t) = t if t is an individual, and
  37                 g(r(t)) if t is a variable, where i = (w,n,r,g)
  38
  39     s[P(t)] = {i in s | w(P)(ref(i,t))}
  40
  41     s[t1 = t2] = {i in s | ref(i,t1) = ref(i,t2)}
  42
  43     s[φ and ψ] = s[φ][ψ]
  44
  45     s[∃xφ] = Union {{(w, n+1, r[x->n], g[n->a]) | (w,n,r,g) in s}[φ] | a in ent}
  46
  47     s[neg φ] =  {i | {i}[φ] = {}}
  48
  49     1. {(w,n,r,g)}[∃x.person(x)]
  50     2. {(w,n,r,g)}[∃x.man(x)]
  51     3. {(w,n,r,g)}[∃x∃y.person(x) and person(y)]
  52     4. {(w,n,r,g)}[∃x∃y.x=y]
  53
  54 ## Order and modality
  55
  56     s[◊φ] = {i in s | s[φ] ≠ {}}
  57
  58     1. Alice isn't hungry.  #Alice might be hungry.
  59
  60       {hungry, full}[Alice isn't hungry][Alice might be hungry]
  61     = {full}[Alice might be hungry]
  62     = {}
  63
  64     2. Alice might be hungry.  Alice isn't hungry.
  65
  66     = {hungry, full}[Alice might be hungry][Alice isn't hungry]
  67     = {hungry, full}[Alice isn't hungry]
  68     = {full}
  69
  70 GSV: a single speaker couldn't possibly be in a position to utter (2).
  71
  72     3. Based on public evidence, Alice might be hungry.  But in fact she's not hungry.
  73
  74     4. Alice might be hungry.  Alice *is* hungry.
  75     5. Alice is hungry.  (So of course) Alice might be hungry.
  76
  77 consider: update with the prejacent and its negation must both be non-empty.
  78
  79 ## Order and binding
  80
  81     6. A man^x entered.  He_x sat.
  82     7. He_x sat.  A man^x entered.
  83
  84     8. {(w,1,r[x->0],g[0->b])}
  85
  86 This infostate contains a refsys and an assignment that maps the
  87 variable x to Bob.  Here are the facts in world w:
  88
  89     w "enter" a = false
  90     w "enter" b = true
  91     w "enter" c = true
  92
  93     w "sit" a = true
  94     w "sit" b = true
  95     w "sit" c = false
  96
  97     9. Someone^x entered.  He_x sat.
  98
  99          {(w,1,r[x->0],g[0->b])}[∃x.enter(x)][sit(x)]
 100
 101           -- the existential adds a new peg and assigns it to each
 102           -- entity in turn
 103
 104        = (   {(w,2,r[x->0][x->1],g[0->b][1->a])}[enter(x)]
 105           ++ {(w,2,r[x->0][x->1],g[0->b][1->b])}[enter(x)]
 106           ++ {(w,2,r[x->0][x->1],g[0->b][1->c])}[enter(x)])[sit(x)]
 107
 108           -- "enter(x)" filters out the possibility in which x refers
 109           -- to Alice, since Alice didn't enter
 110
 111        = (   {}
 112           ++ {(w,2,r[x->0][x->1],g[0->b][1->b])}
 113           ++ {(w,2,r[x->0][x->1],g[0->b][1->c])})[sit(x)]
 114
 115           -- "sit(x)" filters out the possibility in which x refers
 116           -- to Carl, since Carl didn't sit
 117
 118        =  {(w,2,r[x->0][x->1],g[0->b][1->b])}
 119
 120 existential in effect binds the pronoun in the following clause
 121
 122     10. He_x sat.  Someone^x entered.
 123
 124          {(w,1,r[x->0],g[0->b])}[sit(x)][∃x.enter(x)]
 125
 126          -- evaluating `sit(x)` rules out nothing, since (coincidentally)
 127          -- x refers to Bob, and Bob is a sitter
 128
 129        = {(w,1,r[x->0],g[0->b])}[∃x.enter(x)]
 130
 131          -- Just as before, the existential adds a new peg and assigns
 132          -- it to each object
 133
 134        =    {(w,2,r[x->0][x->1],g[0->b][1->a])}[enter(x)]
 135          ++ {(w,2,r[x->0][x->1],g[0->b][1->b])}[enter(x)]
 136          ++ {(w,2,r[x->0][x->1],g[0->b][1->c])}[enter(x)]
 137
 138          -- enter(x) eliminates all those possibilities in which x did
 139          -- not enter
 140
 141        = {} ++ {(w,2,r[x->0][x->1],g[0->b][1->b])}
 142             ++ {(w,2,r[x->0][x->1],g[0->b][1->c])}
 143
 144        = {(w,2,r[x->0][x->1],g[0->b][1->b]),
 145           (w,2,r[x->0][x->1],g[0->b][1->c])}
 146
 147     11. A man^x entered.  He_x sat.  He_x spoke.
 148     12. He_x sat.  A man^x entered.  He_x spoke.
 149
 150 consider: new peg requires object not in the domain of the assignment fn
 151
 152     13. If a woman entered, she sat.
 153
 154 ## Interactions of binding with modality
 155
 156     (∃x.enter(x)) and (sit(x)) ≡ ∃x (enter(x) and sit(x))
 157
 158 but (∃x.closet(x)) and (◊guilty(x)) ≡/≡ ∃x (closet(x) and ◊guilty(x))
 159
 160     The Broken Vase:
 161     There are three sons, Bob, Carl, and Dave.
 162     One of them broke a vase.
 163     Bob is known to be innocent.
 164     Someone is hiding in the closet.
 165
 166
 167         in closet        guilty
 168         ---------------  ---------------
 169     w:  b  false         b  false
 170         c  false         c  false
 171         d  true          d  true
 172
 173     w': b  false         b  false
 174         c  true          c  false
 175         d  false         d  true
 176
 177 GSV observe that (∃x.closet(x)) and (◊guilty(x)) is true if there is
 178 at least one possibility in which a person in the closet is guilty.
 179 In this scenario, world w is the verifying world.  It remains possible
 180 that there are closet hiders who are not guilty in any world.  Carl
 181 fits this bill: he's in the closet in world w', but he is not guilty
 182 in any world.
 183
 184     14. Someone^x is in the closet.  He_x might be guilty.
 185
 186          {(w,0,r,g), (w',0,r,g}[∃x.closet(x)][◊guilty(x)]
 187
 188          -- existential introduces new peg
 189
 190        = (   {(w,1,r[x->0],g[0->b])}[closet(x)]
 191           ++ {(w,1,r[x->0],g[0->c])}[closet(x)]
 192           ++ {(w,1,r[x->0],g[0->d])}[closet(x)]
 193           ++ {(w',1,r[x->0],g[0->b])}[closet(x)]
 194           ++ {(w',1,r[x->0],g[0->c])}[closet(x)]
 195           ++ {(w',1,r[x->0],g[0->d])}[closet(x)])[◊guilty(x)]
 196
 197          -- only possibilities in which x is in the closet survive
 198
 199        = {(w,1,r[x->0],g[0->d]),
 200           (w',1,r[x->0],g[0->c])}[◊guilty(x)]
 201
 202          -- Is there any possibility in which x is guilty?
 203          -- yes: for x = Dave, in world w Dave broke the vase
 204
 205        = {(w,1,r[x->0],g[0->d]),
 206           (w',1,r[x->0],g[0->c])}
 207
 208 Now we consider the second half:
 209
 210     14. Someone^x is in the closet who_x might be guilty.
 211
 212          {(w,0,r,g), (w',0,r,g)}[∃x(closet(x) & ◊guilty(x))]
 213
 214          -- existential introduces new peg
 215
 216        =    {(w,1,r[x->0],g[0->b])}[closet(x)][◊guilty(x)]
 217          ++ {(w,1,r[x->0],g[0->c])}[closet(x)][◊guilty(x)]
 218          ++ {(w,1,r[x->0],g[0->d])}[closet(x)][◊guilty(x)]
 219          ++ {(w',1,r[x->0],g[0->b])}[closet(x)][◊guilty(x)]
 220          ++ {(w',1,r[x->0],g[0->c])}[closet(x)][◊guilty(x)]
 221          ++ {(w',1,r[x->0],g[0->d])}[closet(x)][◊guilty(x)]
 222
 223           -- filter out possibilities in which x is not in the closet
 224           -- and filter out possibilities in which x is not guilty
 225           -- the only person who was guilty in the closet was Dave in
 226           -- world 1
 227
 228        = {(w,1,r[x->0],g[0->d])}
 229
 230 The result is different, and more informative.
 231
 232 ## Binding, modality, and identity
 233
 234 The fragment correctly predicts the following contrast:
 235
 236     15. Someone^x entered.  He_x might be Bob.  He_x might not be Bob.
 237         (∃x.enter(x)) & ◊x=b & ◊not(x=b)
 238         -- This discourse requires a possibility in which Bob entered
 239         -- and another possibility in which someone who is not Bob entered
 240
 241     16. Someone^x entered who might be Bob and who might not be Bob.
 242         ∃x (enter(x) & ◊x=b & ◊not(x=b))
 243         -- This is a contradition: there is no single person who might be Bob
 244         -- and who simultaneously might be someone else
 245
 246 ### Identifiers
 247
 248 Let α be a term which differs from x.  Then α is an identifier if the
 249 following formula is supported by every information state:
 250
 251     ∀x(◊(x=α) --> (x=α))
 252
 253 The idea is that α is an identifier just in case there is only one
 254 object that it can refer to.  Here is what GSV say:
 255
 256     A term is an identifier per se if no mattter what the information
 257     state is, it cannot fail to decie what the denotation of the term is.
 258
 259 ## Why have a two-part assignment function?
 260
 261 In the current system, variables are associated with values in two
 262 steps.
 263
 264     Variables        Pegs         Entities
 265     ---------   r    ----    g    --------
 266        x       -->    0     -->      a
 267        y       -->    1     -->      b
 268        z       -->    2     -->      c
 269
 270 Here, r is a refsys mapping variables to pegs, and g is an assignment function mapping pegs to entities