monad_transformers.mdwn

   1
   2 So far, we've defined monads as single-layered things. Though in the Groenendijk, Stokhoff, and Veltmann homework, we had to figure out how to combine Reader, State, and Set monads in an ad-hoc way. In practice, one often wants to combine the abilities of several monads. Corresponding to each monad like Reader, there's a corresponding ReaderT **monad transformer**. That takes an existing monad M and adds a Reader monad layer to it. The way these are defined parallels the way the single-layer versions are defined. For example, here's the Reader monad:
   3
   4         (* monadic operations for the Reader monad *)
   5
   6         type 'a reader =
   7                 env -> 'a;;
   8         let unit (a : 'a) : 'a reader =
   9                 fun e -> a;;
  10         let bind (u: 'a reader) (f : 'a -> 'b reader) : 'b reader =
  11                 fun e -> (fun v -> f v e) (u e);;
  12
  13 We've just beta-expanded the familiar `f (u e) e` into `(fun v -> f v e) (u e)`, in order to factor out the parts where any Reader monad is being supplied as an argument to another function. Then if we want instead to add a Reader layer to some arbitrary other monad M, with its own M.unit and M.bind, here's how we do it:
  14
  15         (* monadic operations for the ReaderT monadic transformer *)
  16
  17         (* We're not giving valid OCaml code, but rather something
  18          * that's conceptually easier to digest.
  19          * How you really need to write this in OCaml is more circuitous...
  20          * see http://lambda.jimpryor.net/code/tree_monadize.ml for some details. *)
  21
  22         type ('a, M) readerT =
  23                 env -> 'a M;;
  24         (* this is just an 'a M reader; but don't rely on that pattern to generalize *)
  25
  26         let unit (a : 'a) : ('a, M) readerT =
  27                 fun e -> M.unit a;;
  28
  29         let bind (u : ('a, M) readerT) (f : 'a -> ('b, M) readerT) : ('b, M) readerT =
  30                 fun e -> M.bind (u e) (fun v -> f v e);;
  31
  32 Notice the key differences: where before we just returned `a`, now we instead return `M.unit a`. Where before we just supplied value `u e` of type `'a reader` as an argument to a function, now we instead `M.bind` the `'a reader` to that function. Notice also the differences in the types.
  33
  34 What is the relation between Reader and ReaderT? Well, suppose you started with the Identity monad:
  35
  36         type 'a identity = 'a;;
  37         let unit (a : 'a) : 'a = a;;
  38         let bind (u : 'a) (f : 'a -> 'b) : 'b = f u;;
  39
  40 and you used the ReaderT transformer to add a Reader monad layer to the Identity monad. What do you suppose you would get?
  41
  42 The relations between the State monad and the StateT monadic transformer are parallel:
  43
  44         (* monadic operations for the State monad *)
  45
  46         type 'a state =
  47                 store -> ('a * store);;
  48
  49         let unit (a : 'a) : 'a state =
  50                 fun s -> (a, s);;
  51
  52         let bind (u : 'a state) (f : 'a -> 'b state) : 'b state =
  53                 fun s -> (fun (a, s') -> f a s') (u s);;
  54
  55 We've used `(fun (a, s') -> f a s') (u s)` instead of the more familiar `let (a, s') = u s in f a s'` in order to factor out the part where a value of type `'a state` is supplied as an argument to a function. Now StateT will be:
  56
  57         (* monadic operations for the StateT monadic transformer *)
  58
  59         type ('a, M) stateT =
  60                 store -> ('a * store) M;;
  61         (* notice this is not an 'a M state *)
  62
  63         let unit (a : 'a) : ('a, M) stateT =
  64                 fun s -> M.unit (a, s);;
  65
  66         let bind (u : ('a, M) stateT) (f : 'a -> ('b, M) stateT) : ('b, M) stateT =
  67                 fun s -> M.bind (u s) (fun (a, s') -> f a s');;
  68
  69 Do you see the pattern? Where ordinarily we'd return an `'a` value, now we instead return an `'a M` value. Where ordinarily we'd supply a `'a state` value as an argument to a function, now we instead `M.bind` it to that function.
  70
  71 Okay, now let's do the same thing for our Tree monad.
  72
  73         (* monadic operations for the Tree monad *)
  74
  75         type 'a tree =
  76                 Leaf of 'a | Node of ('a tree) * ('a tree);;
  77
  78         let unit (a: 'a) : 'a tree =
  79                 Leaf a;;
  80
  81         let rec bind (u : 'a tree) (f : 'a -> 'b tree) : 'b tree =
  82             match u with
  83             | Leaf a -> f a;;
  84             | Node (l, r) -> (fun l' r' -> Node (l', r')) (bind l f) (bind r f);;
  85
  86         (* monadic operations for the TreeT monadic transformer *)
  87         (* NOTE THIS IS NOT YET WORKING --- STILL REFINING *)
  88
  89         type ('a, M) treeT =
  90                 'a tree M;;
  91
  92         let unit (a: 'a) : ('a, M) tree =
  93                 M.unit (Leaf a);;
  94
  95         let rec bind (u : ('a, M) tree) (f : 'a -> ('b, M) tree) : ('b, M) tree =
  96             match u with
  97             | Leaf a -> M.bind (f a) (fun b -> M.unit (Leaf b))
  98             | Node (l, r) -> M.bind (bind l f) (fun l' ->
  99                                                         M.bind (bind r f) (fun r' ->
 100                                                                 M.unit (Node (l', r'));;
 101
 102 Compare this definition of `bind` for the TreeT monadic transformer to our earlier definition of `tree_monadize`, specialized for the Reader monad:
 103
 104         let rec tree_monadize (f : 'a -> 'b reader) (t : 'a tree) : 'b tree reader =
 105             match t with
 106             | Leaf a -> reader_bind (f a) (fun b -> reader_unit (Leaf b))
 107             | Node (l, r) -> reader_bind (tree_monadize f l) (fun l' ->
 108                                reader_bind (tree_monadize f r) (fun r' ->
 109                                  reader_unit (Node (l', r'))));;
 110
 111