1 [[!toc]]
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6 This topic develops an idea based on a detailed suggestion of Ken
7 Shan's.  We'll build a series of functions that operate on trees,
8 doing various things, including replacing leaves, counting nodes, and
9 converting a tree to a list of leaves.  The end result will be an
10 application for continuations.
12 From an engineering standpoint, we'll build a tree transformer that
13 deals in monads.  We can modify the behavior of the system by swapping
15 a layer of funtionality without disturbing the underlying system, for
17 of intensionality to an extensional grammar, but we have not yet seen
18 the utility of replacing one monad with other.
20 First, we'll be needing a lot of trees for the remainder of the
21 course.  Here again is a type constructor for leaf-labeled, binary trees:
23     type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree * 'a tree)
25 [How would you adjust the type constructor to allow for labels on the
26 internal nodes?]
28 We'll be using trees where the nodes are integers, e.g.,
31         let t1 = Node ((Node ((Leaf 2), (Leaf 3))),
32                        (Node ((Leaf 5),(Node ((Leaf 7),
33                                               (Leaf 11))))))
34             .
35          ___|___
36          |     |
37          .     .
38         _|__  _|__
39         |  |  |  |
40         2  3  5  .
41                 _|__
42                 |  |
43                 7  11
45 Our first task will be to replace each leaf with its double:
47         let rec treemap (newleaf : 'a -> 'b) (t : 'a tree) : 'b tree =
48           match t with
49             | Leaf x -> Leaf (newleaf x)
50             | Node (l, r) -> Node ((treemap newleaf l),
51                                   (treemap newleaf r));;
53 `treemap` takes a function that transforms old leaves into new leaves,
54 and maps that function over all the leaves in the tree, leaving the
55 structure of the tree unchanged.  For instance:
57         let double i = i + i;;
58         treemap double t1;;
59         - : int tree =
60         Node (Node (Leaf 4, Leaf 6), Node (Leaf 10, Node (Leaf 14, Leaf 22)))
62             .
63          ___|____
64          |      |
65          .      .
66         _|__  __|__
67         |  |  |   |
68         4  6  10  .
69                 __|___
70                 |    |
71                 14   22
73 We could have built the doubling operation right into the `treemap`
74 code.  However, because what to do to each leaf is a parameter, we can
75 decide to do something else to the leaves without needing to rewrite
76 `treemap`.  For instance, we can easily square each leaf instead by
77 supplying the appropriate `int -> int` operation in place of `double`:
79         let square x = x * x;;
80         treemap square t1;;
81         - : int tree =ppp
82         Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))
84 Note that what `treemap` does is take some global, contextual
85 information---what to do to each leaf---and supplies that information
86 to each subpart of the computation.  In other words, `treemap` has the
89 In general, we're on a journey of making our treemap function more and
90 more flexible.  So the next step---combining the tree transducer with
92 tree that is ready to accept any `int->int` function and produce the
93 updated tree.
95 \tree (. (. (f2) (f3))(. (f5) (.(f7)(f11))))
97         \f    .
98           ____|____
99           |       |
100           .       .
101         __|__   __|__
102         |   |   |   |
103         f2  f3  f5  .
104                   __|___
105                   |    |
106                   f7  f11
108 That is, we want to transform the ordinary tree `t1` (of type `int
109 tree`) into a reader object of type `(int->int)-> int tree`: something
110 that, when you apply it to an `int->int` function returns an `int
111 tree` in which each leaf `x` has been replaced with `(f x)`.
113 With previous readers, we always knew which kind of environment to
114 expect: either an assignment function (the original calculator
115 simulation), a world (the intensionality monad), an integer (the
117 enough for now to expect that our reader will expect a function of
118 type `int->int`.
120         type 'a reader = (int->int) -> 'a;;  (* mnemonic: e for environment *)
121         let reader_unit (x : 'a) : 'a reader = fun _ -> x;;
122         let reader_bind (u: 'a reader) (f : 'a -> 'c reader) : 'c reader = fun e -> f (u e) e;;
124 It's easy to figure out how to turn an `int` into an `int reader`:
126         let int2int_reader (x : 'a): 'b reader = fun (op : 'a -> 'b) -> op x;;
127         int2int_reader 2 (fun i -> i + i);;
128         - : int = 4
130 But what do we do when the integers are scattered over the leaves of a
131 tree?  A binary tree is not the kind of thing that we can apply a
132 function of type `int->int` to.
134         let rec treemonadizer (f : 'a -> 'b reader) (t : 'a tree) : 'b tree reader =
135             match t with
136             | Leaf x -> reader_bind (f x) (fun x' -> reader_unit (Leaf x'))
137             | Node (l, r) -> reader_bind (treemonadizer f l) (fun x ->
141 This function says: give me a function `f` that knows how to turn
142 something of type `'a` into an `'b reader`, and I'll show you how to
143 turn an `'a tree` into an `'a tree reader`.  In more fanciful terms,
144 the `treemonadizer` function builds plumbing that connects all of the
145 leaves of a tree into one connected monadic network; it threads the
149         - : int tree =
150         Node (Node (Leaf 4, Leaf 6), Node (Leaf 10, Node (Leaf 14, Leaf 22)))
152 Here, our environment is the doubling function (`fun i -> i + i`).  If
154 int2int_reader t1`) to a different `int->int` function---say, the
155 squaring function, `fun i -> i * i`---we get an entirely different
156 result:
159         - : int tree =
160         Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))
162 Now that we have a tree transducer that accepts a monad as a
163 parameter, we can see what it would take to swap in a different monad.
164 For instance, we can use a state monad to count the number of nodes in
165 the tree.
167         type 'a state = int -> 'a * int;;
168         let state_unit x i = (x, i+.5);;
169         let state_bind u f i = let (a, i') = u i in f a (i'+.5);;
171 Gratifyingly, we can use the `treemonadizer` function without any
172 modification whatsoever, except for replacing the (parametric) type
175         let rec treemonadizer (f : 'a -> 'b state) (t : 'a tree) : 'b tree state =
176             match t with
177             | Leaf x -> state_bind (f x) (fun x' -> state_unit (Leaf x'))
178             | Node (l, r) -> state_bind (treemonadizer f l) (fun x ->
179                                state_bind (treemonadizer f r) (fun y ->
180                                  state_unit (Node (x, y))));;
182 Then we can count the number of nodes in the tree:
184         # treemonadizer state_unit t1 0;;
185         - : int tree * int =
186         (Node (Node (Leaf 2, Leaf 3), Node (Leaf 5, Node (Leaf 7, Leaf 11))), 13)
188             .
189          ___|___
190          |     |
191          .     .
192         _|__  _|__
193         |  |  |  |
194         2  3  5  .
195                 _|__
196                 |  |
197                 7  11
199 Notice that we've counted each internal node twice---it's a good
200 exercise to adjust the code to count each node once.
202 One more revealing example before getting down to business: replacing
203 `state` everywhere in `treemonadizer` with `list` gives us
205         # treemonadizer (fun x -> [ [x; square x] ]) t1;;
206         - : int list tree list =
207         [Node
208           (Node (Leaf [2; 4], Leaf [3; 9]),
209            Node (Leaf [5; 25], Node (Leaf [7; 49], Leaf [11; 121])))]
211 Unlike the previous cases, instead of turning a tree into a function
212 from some input to a result, this transformer replaces each `int` with
213 a list of `int`'s.
215 Now for the main point.  What if we wanted to convert a tree to a list
216 of leaves?
218         type ('a, 'r) continuation = ('a -> 'r) -> 'r;;
219         let continuation_unit x c = c x;;
220         let continuation_bind u f c = u (fun a -> f a c);;
222         let rec treemonadizer (f : 'a -> ('b, 'r) continuation) (t : 'a tree) : ('b tree, 'r) continuation =
223             match t with
224             | Leaf x -> continuation_bind (f x) (fun x' -> continuation_unit (Leaf x'))
225             | Node (l, r) -> continuation_bind (treemonadizer f l) (fun x ->
226                                continuation_bind (treemonadizer f r) (fun y ->
227                                  continuation_unit (Node (x, y))));;
229 We use the continuation monad described above, and insert the
230 `continuation` type in the appropriate place in the `treemonadizer` code.
231 We then compute:
233         # treemonadizer (fun a c -> a :: (c a)) t1 (fun t -> []);;
234         - : int list = [2; 3; 5; 7; 11]
236 We have found a way of collapsing a tree into a list of its leaves.
238 The continuation monad is amazingly flexible; we can use it to
239 simulate some of the computations performed above.  To see how, first
240 note that an interestingly uninteresting thing happens if we use the
241 continuation unit as our first argument to `treemonadizer`, and then
242 apply the result to the identity function:
244         # treemonadizer continuation_unit t1 (fun x -> x);;
245         - : int tree =
246         Node (Node (Leaf 2, Leaf 3), Node (Leaf 5, Node (Leaf 7, Leaf 11)))
248 That is, nothing happens.  But we can begin to substitute more
249 interesting functions for the first argument of `treemonadizer`:
251         (* Simulating the tree reader: distributing a operation over the leaves *)
252         # treemonadizer (fun a c -> c (square a)) t1 (fun x -> x);;
253         - : int tree =
254         Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))
256         (* Simulating the int list tree list *)
257         # treemonadizer (fun a c -> c [a; square a]) t1 (fun x -> x);;
258         - : int list tree =
259         Node
260          (Node (Leaf [2; 4], Leaf [3; 9]),
261           Node (Leaf [5; 25], Node (Leaf [7; 49], Leaf [11; 121])))
263         (* Counting leaves *)
264         # treemonadizer (fun a c -> 1 + c a) t1 (fun x -> 0);;
265         - : int = 5
267 We could simulate the tree state example too, but it would require
268 generalizing the type of the continuation monad to
270         type ('a -> 'b -> 'c) continuation = ('a -> 'b) -> 'c;;
273 ---------------------
275 Of course, by now you may have realized that we have discovered a new
278         type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree) * ('a tree);;
279         let tree_unit (x: 'a) = Leaf x;;
280         let rec tree_bind (u : 'a tree) (f : 'a -> 'b tree) : 'b tree =
281             match u with
282             | Leaf x -> f x
283             | Node (l, r) -> Node ((tree_bind l f), (tree_bind r f));;
285 For once, let's check the Monad laws.  The left identity law is easy:
287     Left identity: bind (unit a) f = bind (Leaf a) f = fa
289 To check the other two laws, we need to make the following
290 observation: it is easy to prove based on `tree_bind` by a simple
291 induction on the structure of the first argument that the tree
292 resulting from `bind u f` is a tree with the same strucure as `u`,
293 except that each leaf `a` has been replaced with `fa`:
295 \tree (. (fa1) (. (. (. (fa2)(fa3)) (fa4)) (fa5)))
297                         .                         .
298                       __|__                     __|__
299                       |   |                     |   |
300                       a1  .                    fa1  .
301                          _|__                     __|__
302                          |  |                     |   |
303                          .  a5                    .  fa5
304            bind         _|__       f   =        __|__
305                         |  |                    |   |
306                         .  a4                   .  fa4
307                       __|__                   __|___
308                       |   |                   |    |
309                       a2  a3                 fa2  fa3
311 Given this equivalence, the right identity law
313         Right identity: bind u unit = u
315 falls out once we realize that
317         bind (Leaf a) unit = unit a = Leaf a
319 As for the associative law,
321         Associativity: bind (bind u f) g = bind u (\a. bind (fa) g)
323 we'll give an example that will show how an inductive proof would
324 proceed.  Let `f a = Node (Leaf a, Leaf a)`.  Then
326 \tree (. (. (. (. (a1)(a2)))))
327 \tree (. (. (. (. (a1) (a1)) (. (a1) (a1)))  ))
329                                                    .
330                                                ____|____
331                   .               .            |       |
332         bind    __|__   f  =    __|_    =      .       .
333                 |   |           |   |        __|__   __|__
334                 a1  a2         fa1 fa2       |   |   |   |
335                                              a1  a1  a1  a1
337 Now when we bind this tree to `g`, we get
339                    .
340                ____|____
341                |       |
342                .       .
343              __|__   __|__
344              |   |   |   |
345             ga1 ga1 ga1 ga1
347 At this point, it should be easy to convince yourself that
348 using the recipe on the right hand side of the associative law will
349 built the exact same final tree.
351 So binary trees are a monad.