1 [[!toc]]
4 ------------------------------
6 This topic develops an idea based on a detailed suggestion of Ken
7 Shan's.  We'll build a series of functions that operate on trees,
8 doing various things, including replacing leaves, counting nodes, and
9 converting a tree to a list of leaves.  The end result will be an
10 application for continuations.
12 From an engineering standpoint, we'll build a tree transformer that
13 deals in monads.  We can modify the behavior of the system by swapping
15 a layer of funtionality without disturbing the underlying system, for
17 of intensionality to an extensional grammar, but we have not yet seen
18 the utility of replacing one monad with other.
20 First, we'll be needing a lot of trees for the remainder of the
21 course.  Here again is a type constructor for leaf-labeled, binary trees:
23     type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree * 'a tree)
25 [How would you adjust the type constructor to allow for labels on the
26 internal nodes?]
28 We'll be using trees where the nodes are integers, e.g.,
31         let t1 = Node (Node (Leaf 2, Leaf 3),
32                        Node (Leaf 5, Node (Leaf 7,
33                                               Leaf 11)))
34             .
35          ___|___
36          |     |
37          .     .
38         _|_   _|__
39         |  |  |  |
40         2  3  5  .
41                 _|__
42                 |  |
43                 7  11
45 Our first task will be to replace each leaf with its double:
47         let rec treemap (newleaf : 'a -> 'b) (t : 'a tree) : 'b tree =
48           match t with
49             | Leaf i -> Leaf (newleaf i)
50             | Node (l, r) -> Node (treemap newleaf l,
51                                    treemap newleaf r);;
53 `treemap` takes a function that transforms old leaves into new leaves,
54 and maps that function over all the leaves in the tree, leaving the
55 structure of the tree unchanged.  For instance:
57         let double i = i + i;;
58         treemap double t1;;
59         - : int tree =
60         Node (Node (Leaf 4, Leaf 6), Node (Leaf 10, Node (Leaf 14, Leaf 22)))
62             .
63          ___|____
64          |      |
65          .      .
66         _|__  __|__
67         |  |  |   |
68         4  6  10  .
69                 __|___
70                 |    |
71                 14   22
73 We could have built the doubling operation right into the `treemap`
74 code.  However, because what to do to each leaf is a parameter, we can
75 decide to do something else to the leaves without needing to rewrite
76 `treemap`.  For instance, we can easily square each leaf instead by
77 supplying the appropriate `int -> int` operation in place of `double`:
79         let square i = i * i;;
80         treemap square t1;;
81         - : int tree =ppp
82         Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))
84 Note that what `treemap` does is take some global, contextual
85 information---what to do to each leaf---and supplies that information
86 to each subpart of the computation.  In other words, `treemap` has the
89 In general, we're on a journey of making our treemap function more and
90 more flexible.  So the next step---combining the tree transformer with
92 tree that is ready to accept any `int -> int` function and produce the
93 updated tree.
96         \f      .
97            _____|____
98            |        |
99            .        .
100          __|___   __|___
101          |    |   |    |
102         f 2  f 3  f 5  .
103                      __|___
104                      |    |
105                     f 7  f 11
107 That is, we want to transform the ordinary tree `t1` (of type `int
108 tree`) into a reader object of type `(int -> int) -> int tree`: something
109 that, when you apply it to an `int -> int` function `f` returns an `int
110 tree` in which each leaf `i` has been replaced with `f i`.
112 With previous readers, we always knew which kind of environment to
113 expect: either an assignment function (the original calculator
114 simulation), a world (the intensionality monad), an integer (the
116 enough for now to expect that our reader will expect a function of
117 type `int -> int`.
119         type 'a reader = (int -> int) -> 'a;;  (* mnemonic: e for environment *)
120         let reader_unit (a : 'a) : 'a reader = fun _ -> a;;
121         let reader_bind (u: 'a reader) (f : 'a -> 'b reader) : 'b reader = fun e -> f (u e) e;;
123 It's easy to figure out how to turn an `int` into an `int reader`:
125         let int2int_reader : 'a -> 'b reader = fun (a : 'a) -> fun (op : 'a -> 'b) -> op a;;
126         int2int_reader 2 (fun i -> i + i);;
127         - : int = 4
129 But what do we do when the integers are scattered over the leaves of a
130 tree?  A binary tree is not the kind of thing that we can apply a
131 function of type `int -> int` to.
133         let rec treemonadizer (f : 'a -> 'b reader) (t : 'a tree) : 'b tree reader =
134             match t with
135             | Leaf i -> reader_bind (f i) (fun i' -> reader_unit (Leaf i'))
136             | Node (l, r) -> reader_bind (treemonadizer f l) (fun x ->
140 This function says: give me a function `f` that knows how to turn
141 something of type `'a` into an `'b reader`, and I'll show you how to
142 turn an `'a tree` into an `'a tree reader`.  In more fanciful terms,
143 the `treemonadizer` function builds plumbing that connects all of the
144 leaves of a tree into one connected monadic network; it threads the
148         - : int tree =
149         Node (Node (Leaf 4, Leaf 6), Node (Leaf 10, Node (Leaf 14, Leaf 22)))
151 Here, our environment is the doubling function (`fun i -> i + i`).  If
153 int2int_reader t1`) to a different `int -> int` function---say, the
154 squaring function, `fun i -> i * i`---we get an entirely different
155 result:
158         - : int tree =
159         Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))
161 Now that we have a tree transformer that accepts a reader monad as a
162 parameter, we can see what it would take to swap in a different monad.
163 For instance, we can use a state monad to count the number of nodes in
164 the tree.
166         type 'a state = int -> 'a * int;;
167         let state_unit a = fun s -> (a, s);;
168         let state_bind_and_count u f = fun s -> let (a, s') = u s in f a (s' + 1);;
170 Gratifyingly, we can use the `treemonadizer` function without any
171 modification whatsoever, except for replacing the (parametric) type
172 `'b reader` with `'b state`, and substituting in the appropriate unit and bind:
174         let rec treemonadizer (f : 'a -> 'b state) (t : 'a tree) : 'b tree state =
175             match t with
176             | Leaf i -> state_bind_and_count (f i) (fun i' -> state_unit (Leaf i'))
177             | Node (l, r) -> state_bind_and_count (treemonadizer f l) (fun x ->
178                                state_bind_and_count (treemonadizer f r) (fun y ->
179                                  state_unit (Node (x, y))));;
181 Then we can count the number of nodes in the tree:
183         # treemonadizer state_unit t1 0;;
184         - : int tree * int =
185         (Node (Node (Leaf 2, Leaf 3), Node (Leaf 5, Node (Leaf 7, Leaf 11))), 13)
187             .
188          ___|___
189          |     |
190          .     .
191         _|__  _|__
192         |  |  |  |
193         2  3  5  .
194                 _|__
195                 |  |
196                 7  11
198 Notice that we've counted each internal node twice---it's a good
199 exercise to adjust the code to count each node once.
201 <!--
202 A tree with n leaves has 2n - 1 nodes.
203 This function will currently return n*1 + (n-1)*2 = 3n - 2.
204 To convert b = 3n - 2 into 2n - 1, we can use: let n = (b + 2)/3 in 2*n -1
206 But I assume Chris means here, adjust the code so that no corrections of this sort have to be applied.
207 -->
210 One more revealing example before getting down to business: replacing
211 `state` everywhere in `treemonadizer` with `list` gives us
213         # treemonadizer (fun i -> [ [i; square i] ]) t1;;
214         - : int list tree list =
215         [Node
216           (Node (Leaf [2; 4], Leaf [3; 9]),
217            Node (Leaf [5; 25], Node (Leaf [7; 49], Leaf [11; 121])))]
219 Unlike the previous cases, instead of turning a tree into a function
220 from some input to a result, this transformer replaces each `int` with
221 a list of `int`'s.
223 <!--
224 We don't make it clear why the fun has to be int -> int list list, instead of int -> int list
225 -->
228 Now for the main point.  What if we wanted to convert a tree to a list
229 of leaves?
231         type ('a, 'r) continuation = ('a -> 'r) -> 'r;;
232         let continuation_unit a = fun k -> k a;;
233         let continuation_bind u f = fun k -> u (fun a -> f a k);;
235         let rec treemonadizer (f : 'a -> ('b, 'r) continuation) (t : 'a tree) : ('b tree, 'r) continuation =
236             match t with
237             | Leaf i -> continuation_bind (f i) (fun i' -> continuation_unit (Leaf i'))
238             | Node (l, r) -> continuation_bind (treemonadizer f l) (fun x ->
239                                continuation_bind (treemonadizer f r) (fun y ->
240                                  continuation_unit (Node (x, y))));;
242 We use the continuation monad described above, and insert the
243 `continuation` type in the appropriate place in the `treemonadizer` code.
244 We then compute:
246         # treemonadizer (fun a k -> a :: (k a)) t1 (fun t -> []);;
247         - : int list = [2; 3; 5; 7; 11]
249 We have found a way of collapsing a tree into a list of its leaves.
251 The continuation monad is amazingly flexible; we can use it to
252 simulate some of the computations performed above.  To see how, first
253 note that an interestingly uninteresting thing happens if we use the
254 continuation unit as our first argument to `treemonadizer`, and then
255 apply the result to the identity function:
257         # treemonadizer continuation_unit t1 (fun i -> i);;
258         - : int tree =
259         Node (Node (Leaf 2, Leaf 3), Node (Leaf 5, Node (Leaf 7, Leaf 11)))
261 That is, nothing happens.  But we can begin to substitute more
262 interesting functions for the first argument of `treemonadizer`:
264         (* Simulating the tree reader: distributing a operation over the leaves *)
265         # treemonadizer (fun a k -> k (square a)) t1 (fun i -> i);;
266         - : int tree =
267         Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))
269         (* Simulating the int list tree list *)
270         # treemonadizer (fun a k -> k [a; square a]) t1 (fun i -> i);;
271         - : int list tree =
272         Node
273          (Node (Leaf [2; 4], Leaf [3; 9]),
274           Node (Leaf [5; 25], Node (Leaf [7; 49], Leaf [11; 121])))
276         (* Counting leaves *)
277         # treemonadizer (fun a k -> 1 + k a) t1 (fun i -> 0);;
278         - : int = 5
280 We could simulate the tree state example too, but it would require
281 generalizing the type of the continuation monad to
283         type ('a, 'b, 'c) continuation = ('a -> 'b) -> 'c;;
286 ---------------------
288 Of course, by now you may have realized that we have discovered a new
291         type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree) * ('a tree);;
292         let tree_unit (a: 'a) = Leaf a;;
293         let rec tree_bind (u : 'a tree) (f : 'a -> 'b tree) : 'b tree =
294             match u with
295             | Leaf a -> f a
296             | Node (l, r) -> Node ((tree_bind l f), (tree_bind r f));;
298 For once, let's check the Monad laws.  The left identity law is easy:
300     Left identity: bind (unit a) f = bind (Leaf a) f = f a
302 To check the other two laws, we need to make the following
303 observation: it is easy to prove based on `tree_bind` by a simple
304 induction on the structure of the first argument that the tree
305 resulting from `bind u f` is a tree with the same strucure as `u`,
306 except that each leaf `a` has been replaced with `f a`:
308 \tree (. (fa1) (. (. (. (fa2)(fa3)) (fa4)) (fa5)))
310                         .                         .
311                       __|__                     __|__
312                       |   |                     |   |
313                       a1  .                   f a1  .
314                          _|__                     __|__
315                          |  |                     |   |
316                          .  a5                    .  f a5
317            bind         _|__       f   =        __|__
318                         |  |                    |   |
319                         .  a4                   .  f a4
320                       __|__                   __|___
321                       |   |                   |    |
322                       a2  a3                f a2  f a3
324 Given this equivalence, the right identity law
326         Right identity: bind u unit = u
328 falls out once we realize that
330         bind (Leaf a) unit = unit a = Leaf a
332 As for the associative law,
334         Associativity: bind (bind u f) g = bind u (\a. bind (fa) g)
336 we'll give an example that will show how an inductive proof would
337 proceed.  Let `f a = Node (Leaf a, Leaf a)`.  Then
339 \tree (. (. (. (. (a1)(a2)))))
340 \tree (. (. (. (. (a1) (a1)) (. (a1) (a1)))  ))
342                                                    .
343                                                ____|____
344                   .               .            |       |
345         bind    __|__   f  =    __|_    =      .       .
346                 |   |           |   |        __|__   __|__
347                 a1  a2        f a1 f a2      |   |   |   |
348                                              a1  a1  a1  a1
350 Now when we bind this tree to `g`, we get
352                     .
353                _____|______
354                |          |
355                .          .
356              __|__      __|__
357              |   |      |   |
358            g a1 g a1  g a1 g a1
360 At this point, it should be easy to convince yourself that
361 using the recipe on the right hand side of the associative law will
362 built the exact same final tree.
364 So binary trees are a monad.