1 [[!toc]]
3 Manipulating trees with monads
4 ------------------------------
6 This topic develops an idea based on a suggestion of Ken Shan's.
7 We'll build a series of functions that operate on trees, doing various
8 things, including updating leaves with a Reader monad, counting nodes
9 with a State monad, replacing leaves with a List monad, and converting
10 a tree into a list of leaves with a Continuation monad.  It will turn
11 out that the continuation monad can simulate the behavior of each of
12 the other monads.
14 From an engineering standpoint, we'll build a tree transformer that
15 deals in monads.  We can modify the behavior of the system by swapping
16 one monad for another.  We've already seen how adding a monad can add
17 a layer of funtionality without disturbing the underlying system, for
18 instance, in the way that the Reader monad allowed us to add a layer
19 of intensionality to an extensional grammar, but we have not yet seen
20 the utility of replacing one monad with other.
22 First, we'll be needing a lot of trees for the remainder of the
23 course.  Here again is a type constructor for leaf-labeled, binary trees:
25     type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree * 'a tree);;
27 [How would you adjust the type constructor to allow for labels on the
28 internal nodes?]
30 We'll be using trees where the nodes are integers, e.g.,
33         let t1 = Node (Node (Leaf 2, Leaf 3),
34                        Node (Leaf 5, Node (Leaf 7,
35                                            Leaf 11)))
36             .
37          ___|___
38          |     |
39          .     .
40         _|_   _|__
41         |  |  |  |
42         2  3  5  .
43                 _|__
44                 |  |
45                 7  11
47 Our first task will be to replace each leaf with its double:
49         let rec tree_map (t : 'a tree) (leaf_modifier : 'a -> 'b): 'b tree =
50           match t with
51             | Leaf i -> Leaf (leaf_modifier i)
52             | Node (l, r) -> Node (tree_map l leaf_modifier,
53                                    tree_map r leaf_modifier);;
55 `tree_map` takes a tree and a function that transforms old leaves into
56 new leaves, and maps that function over all the leaves in the tree,
57 leaving the structure of the tree unchanged.  For instance:
59         let double i = i + i;;
60         tree_map t1 double;;
61         - : int tree =
62         Node (Node (Leaf 4, Leaf 6), Node (Leaf 10, Node (Leaf 14, Leaf 22)))
64             .
65          ___|____
66          |      |
67          .      .
68         _|__  __|__
69         |  |  |   |
70         4  6  10  .
71                 __|___
72                 |    |
73                 14   22
75 We could have built the doubling operation right into the `tree_map`
76 code.  However, because we've made what to do to each leaf a
77 parameter, we can decide to do something else to the leaves without
78 needing to rewrite `tree_map`.  For instance, we can easily square
79 each leaf instead by supplying the appropriate `int -> int` operation
80 in place of `double`:
82         let square i = i * i;;
83         tree_map t1 square;;
84         - : int tree =
85         Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))
87 Note that what `tree_map` does is take some unchanging contextual
88 information---what to do to each leaf---and supplies that information
89 to each subpart of the computation.  In other words, `tree_map` has the
90 behavior of a Reader monad.  Let's make that explicit.
92 In general, we're on a journey of making our `tree_map` function more and
93 more flexible.  So the next step---combining the tree transformer with
94 a Reader monad---is to have the `tree_map` function return a (monadized)
95 tree that is ready to accept any `int -> int` function and produce the
96 updated tree.
98         \f      .
99            _____|____
100            |        |
101            .        .
102          __|___   __|___
103          |    |   |    |
104         f 2  f 3  f 5  .
105                      __|___
106                      |    |
107                     f 7  f 11
109 That is, we want to transform the ordinary tree `t1` (of type `int
110 tree`) into a reader monadic object of type `(int -> int) -> int
111 tree`: something that, when you apply it to an `int -> int` function
112 `f` returns an `int tree` in which each leaf `i` has been replaced
113 with `f i`.
115 [Application note: this kind of reader object could provide a model
116 for Kaplan's characters.  It turns an ordinary tree into one that
117 expects contextual information (here, the `\f`) that can be
118 used to compute the content of indexicals embedded arbitrarily deeply
119 in the tree.]
121 With our previous applications of the Reader monad, we always knew
122 which kind of environment to expect: either an assignment function, as
123 in the original calculator simulation; a world, as in the
124 intensionality monad; an individual, as in the Jacobson-inspired link
125 monad; etc.  In the present case, we expect that our "environment"
126 will be some function of type `int -> int`. "Looking up" some `int` in
127 the environment will return us the `int` that comes out the other side
128 of that function.
130         type 'a reader = (int -> int) -> 'a;;  (* mnemonic: e for environment *)
131         let reader_unit (a : 'a) : 'a reader = fun _ -> a;;
132         let reader_bind (u: 'a reader) (f : 'a -> 'b reader) : 'b reader = fun e -> f (u e) e;;
134 It would be a simple matter to turn an *integer* into an `int reader`:
136         let int_readerize : int -> int reader = fun (a : int) -> fun (modifier : int -> int) -> modifier a;;
137         int_readerize 2 (fun i -> i + i);;
138         - : int = 4
140 But how do we do the analagous transformation when our `int`s are scattered over the leaves of a tree? How do we turn an `int tree` into a reader?
141 A tree is not the kind of thing that we can apply a
142 function of type `int -> int` to.
144 But we can do this:
146         let rec tree_monadize (t : 'a tree) (f : 'a -> 'b reader) : 'b tree reader =
147             match t with
148             | Leaf a -> reader_bind (f a) (fun b -> reader_unit (Leaf b))
149             | Node (l, r) -> reader_bind (tree_monadize l f) (fun l' ->
150                                reader_bind (tree_monadize r f) (fun r' ->
151                                  reader_unit (Node (l', r'))));;
153 This function says: give me a function `f` that knows how to turn
154 something of type `'a` into an `'b reader`---this is a function of the same type that you could bind an `'a reader` to---and I'll show you how to
155 turn an `'a tree` into an `'b tree reader`.  That is, if you show me how to do this:
157                       ------------
158           1     --->  |    1     |
159                       ------------
161 then I'll give you back the ability to do this:
163                       ____________
164           .           |    .     |
165         __|___  --->  |  __|___  |
166         |    |        |  |    |  |
167         1    2        |  1    2  |
168                       ------------
170 And how will that boxed tree behave? Whatever actions you perform on it will be transmitted down to corresponding operations on its leaves. For instance, our `int reader` expects an `int -> int` environment. If supplying environment `e` to our `int reader` doubles the contained `int`:
172                       ------------
173           1     --->  |    1     |  applied to e  ~~>  2
174                       ------------
176 Then we can expect that supplying it to our `int tree reader` will double all the leaves:
178                       ____________
179           .           |    .     |                      .
180         __|___  --->  |  __|___  | applied to e  ~~>  __|___
181         |    |        |  |    |  |                    |    |
182         1    2        |  1    2  |                    2    4
183                       ------------
185 In more fanciful terms, the `tree_monadize` function builds plumbing that connects all of the leaves of a tree into one connected monadic network; it threads the
186 `'b reader` monad through the original tree's leaves.
188         # tree_monadize t1 int_readerize double;;
189         - : int tree =
190         Node (Node (Leaf 4, Leaf 6), Node (Leaf 10, Node (Leaf 14, Leaf 22)))
192 Here, our environment is the doubling function (`fun i -> i + i`).  If
193 we apply the very same `int tree reader` (namely, `tree_monadize
194 t1 int_readerize`) to a different `int -> int` function---say, the
195 squaring function, `fun i -> i * i`---we get an entirely different
196 result:
198         # tree_monadize t1 int_readerize square;;
199         - : int tree =
200         Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))
202 Now that we have a tree transformer that accepts a *reader* monad as a
203 parameter, we can see what it would take to swap in a different monad.
205 For instance, we can use a State monad to count the number of leaves in
206 the tree.
208         type 'a state = int -> 'a * int;;
209         let state_unit a = fun s -> (a, s);;
210         let state_bind u f = fun s -> let (a, s') = u s in f a s';;
212 Gratifyingly, we can use the `tree_monadize` function without any
213 modification whatsoever, except for replacing the (parametric) type
214 `'b reader` with `'b state`, and substituting in the appropriate unit and bind:
216         let rec tree_monadize (t : 'a tree) (f : 'a -> 'b state) : 'b tree state =
217             match t with
218             | Leaf a -> state_bind (f a) (fun b -> state_unit (Leaf b))
219             | Node (l, r) -> state_bind (tree_monadize l f) (fun l' ->
220                                state_bind (tree_monadize r f) (fun r' ->
221                                  state_unit (Node (l', r'))));;
223 Then we can count the number of leaves in the tree:
225         # tree_monadize t1 (fun a -> fun s -> (a, s+1)) 0;;
226         - : int tree * int =
227         (Node (Node (Leaf 2, Leaf 3), Node (Leaf 5, Node (Leaf 7, Leaf 11))), 5)
229             .
230          ___|___
231          |     |
232          .     .
233         _|__  _|__         , 5
234         |  |  |  |
235         2  3  5  .
236                 _|__
237                 |  |
238                 7  11
240 Note that the value returned is a pair consisting of a tree and an
241 integer, 5, which represents the count of the leaves in the tree.
243 Why does this work? Because the operation `fun a -> fun s -> (a, s+1)`
244 takes an `int` and wraps it in an `int state` monadic box that
245 increments the state. When we give that same operations to our
246 `tree_monadize` function, it then wraps an `int tree` in a box, one
247 that does the same state-incrementing for each of its leaves.
249 We can use the state monad to replace leaves with a number
250 corresponding to that leave's ordinal position.  When we do so, we
251 reveal the order in which the monadic tree forces evaluation:
253         # tree_monadize t1 (fun a -> fun s -> (s+1, s+1)) 0;;
254         - : int tree * int =
255         (Node (Node (Leaf 1, Leaf 2), Node (Leaf 3, Node (Leaf 4, Leaf 5))), 5)
257 The key thing to notice is that instead of copying `a` into the
258 monadic box, we throw away the `a` and put a copy of the state in
259 instead.
261 Reversing the order requires reversing the order of the state_bind
262 operations.  It's not obvious that this will type correctly, so think
263 it through:
265         let rec tree_monadize_rev (t : 'a tree) (f : 'a -> 'b state) : 'b tree state =
266             match t with
267             | Leaf a -> state_bind (f a) (fun b -> state_unit (Leaf b))
268             | Node (l, r) -> state_bind (tree_monadize r f) (fun r' ->     (* R first *)
269                                state_bind (tree_monadize l f) (fun l'->    (* Then L  *)
270                                  state_unit (Node (l', r'))));;
272         # tree_monadize_rev t1 (fun a -> fun s -> (s+1, s+1)) 0;;
273         - : int tree * int =
274         (Node (Node (Leaf 5, Leaf 4), Node (Leaf 3, Node (Leaf 2, Leaf 1))), 5)
276 We will need below to depend on controlling the order in which nodes
277 are visited when we use the continuation monad to solve the
278 same-fringe problem.
280 One more revealing example before getting down to business: replacing
281 `state` everywhere in `tree_monadize` with `list` gives us
283         # tree_monadize t1 (fun i -> [ [i; square i] ]);;
284         - : int list tree list =
285         [Node
286           (Node (Leaf [2; 4], Leaf [3; 9]),
287            Node (Leaf [5; 25], Node (Leaf [7; 49], Leaf [11; 121])))]
289 Unlike the previous cases, instead of turning a tree into a function
290 from some input to a result, this transformer replaces each `int` with
291 a list of `int`'s. We might also have done this with a Reader monad, though then our environments would need to be of type `int -> int list`. Experiment with what happens if you supply the `tree_monadize` based on the List monad an operation like `fun i -> [2*i; 3*i]`. Use small trees for your experiment.
293 [Why is the argument to `tree_monadize` `int -> int list list` instead
294 of `int -> int list`?  Well, as usual, the List monad bind operation
295 will erase the outer list box, so if we want to replace the leaves
296 with lists, we have to nest the replacement lists inside a disposable
297 box.]
299 Now for the main point.  What if we wanted to convert a tree to a list
300 of leaves?
302         type ('a, 'r) continuation = ('a -> 'r) -> 'r;;
303         let continuation_unit a = fun k -> k a;;
304         let continuation_bind u f = fun k -> u (fun a -> f a k);;
306         let rec tree_monadize (t : 'a tree) (f : 'a -> ('b, 'r) continuation) : ('b tree, 'r) continuation =
307             match t with
308             | Leaf a -> continuation_bind (f a) (fun b -> continuation_unit (Leaf b))
309             | Node (l, r) -> continuation_bind (tree_monadize l f) (fun l' ->
310                                continuation_bind (tree_monadize r f) (fun r' ->
311                                  continuation_unit (Node (l', r'))));;
313 We use the Continuation monad described above, and insert the
314 `continuation` type in the appropriate place in the `tree_monadize` code. Then if we give the `tree_monadize` function an operation that converts `int`s into `'b`-wrapping Continuation monads, it will give us back a way to turn `int tree`s into corresponding `'b tree`-wrapping Continuation monads.
316 So for example, we compute:
318         # tree_monadize t1 (fun a k -> a :: k ()) (fun _ -> []);;
319         - : int list = [2; 3; 5; 7; 11]
321 We have found a way of collapsing a tree into a list of its
322 leaves. Can you trace how this is working? Think first about what the
323 operation `fun a k -> a :: k a` does when you apply it to a
324 plain `int`, and the continuation `fun _ -> []`. Then given what we've
325 said about `tree_monadize`, what should we expect `tree_monadize (fun
326 a -> fun k -> a :: k a` to do?
328 Soon we'll return to the same-fringe problem.  Since the
329 simple but inefficient way to solve it is to map each tree to a list
330 of its leaves, this transformation is on the path to a more efficient
331 solution.  We'll just have to figure out how to postpone computing the
332 tail of the list until it's needed...
334 The Continuation monad is amazingly flexible; we can use it to
335 simulate some of the computations performed above.  To see how, first
336 note that an interestingly uninteresting thing happens if we use
337 `continuation_unit` as our first argument to `tree_monadize`, and then
338 apply the result to the identity function:
340         # tree_monadize t1 continuation_unit (fun t -> t);;
341         - : int tree =
342         Node (Node (Leaf 2, Leaf 3), Node (Leaf 5, Node (Leaf 7, Leaf 11)))
344 That is, nothing happens.  But we can begin to substitute more
345 interesting functions for the first argument of `tree_monadize`:
347         (* Simulating the tree reader: distributing a operation over the leaves *)
348         # tree_monadize t1 (fun a -> fun k -> k (square a)) (fun t -> t);;
349         - : int tree =
350         Node (Node (Leaf 4, Leaf 9), Node (Leaf 25, Node (Leaf 49, Leaf 121)))
352         (* Simulating the int list tree list *)
353         # tree_monadize t1 (fun a -> fun k -> k [a; square a]) (fun t -> t);;
354         - : int list tree =
355         Node
356          (Node (Leaf [2; 4], Leaf [3; 9]),
357           Node (Leaf [5; 25], Node (Leaf [7; 49], Leaf [11; 121])))
359         (* Counting leaves *)
360         # tree_monadize t1 (fun a -> fun k -> 1 + k a) (fun t -> 0);;
361         - : int = 5
363 [To be fixed: exactly which kind of monad each of these computations simulates.]
365 We could simulate the tree state example too by setting the relevant
366 type to `('a, 'state -> 'result) continuation`.
367 In fact, Andre Filinsky has suggested that the continuation monad is
368 able to simulate any other monad (Google for "mother of all monads").
370 We would eventually want to generalize the continuation type to
372         type ('a, 'b, 'c) continuation = ('a -> 'b) -> 'c;;
374 If you want to see how to parameterize the definition of the `tree_monadize` function, so that you don't have to keep rewriting it for each new monad, see [this code](/code/tree_monadize.ml).
376 The idea of using continuations to characterize natural language meaning
377 ------------------------------------------------------------------------
379 We might a philosopher or a linguist be interested in continuations,
380 especially if efficiency of computation is usually not an issue?
381 Well, the application of continuations to the same-fringe problem
382 shows that continuations can manage order of evaluation in a
383 well-controlled manner.  In a series of papers, one of us (Barker) and
384 Ken Shan have argued that a number of phenomena in natural langauge
385 semantics are sensitive to the order of evaluation.  We can't
386 reproduce all of the intricate arguments here, but we can give a sense
387 of how the analyses use continuations to achieve an analysis of
388 natural language meaning.
390 **Quantification and default quantifier scope construal**.
392 We saw in the copy-string example and in the same-fringe example that
393 local properties of a tree (whether a character is `S` or not, which
394 integer occurs at some leaf position) can control global properties of
395 the computation (whether the preceeding string is copied or not,
396 whether the computation halts or proceeds).  Local control of
397 surrounding context is a reasonable description of in-situ
398 quantification.
400     (1) John saw everyone yesterday.
402 This sentence means (roughly)
404     forall x . yesterday(saw x) john
406 That is, the quantifier *everyone* contributes a variable in the
407 direct object position, and a universal quantifier that takes scope
408 over the whole sentence.  If we have a lexical meaning function like
409 the following:
411 <pre>
412 let lex (s:string) k = match s with
413   | "everyone" -> Node (Leaf "forall x", k "x")
414   | "someone" -> Node (Leaf "exists y", k "y")
415   | _ -> k s;;
417 let sentence1 = Node (Leaf "John",
418                       Node (Node (Leaf "saw",
419                                   Leaf "everyone"),
420                             Leaf "yesterday"));;
421 </pre>
423 Then we can crudely approximate quantification as follows:
425 <pre>
426 # tree_monadize sentence1 lex (fun x -> x);;
427 - : string tree =
428 Node
429  (Leaf "forall x",
430   Node (Leaf "John", Node (Node (Leaf "saw", Leaf "x"), Leaf "yesterday")))
431 </pre>
433 In order to see the effects of evaluation order,
434 observe what happens when we combine two quantifiers in the same
435 sentence:
437 <pre>
438 # let sentence2 = Node (Leaf "everyone", Node (Leaf "saw", Leaf "someone"));;
439 # tree_monadize sentence2 lex (fun x -> x);;
440 - : string tree =
441 Node
442  (Leaf "forall x",
443   Node (Leaf "exists y", Node (Leaf "x", Node (Leaf "saw", Leaf "y"))))
444 </pre>
446 The universal takes scope over the existential.  If, however, we
447 replace the usual tree_monadizer with tree_monadizer_rev, we get
448 inverse scope:
450 <pre>
451 # tree_monadize_rev sentence2 lex (fun x -> x);;
452 - : string tree =
453 Node
454  (Leaf "exists y",
455   Node (Leaf "forall x", Node (Leaf "x", Node (Leaf "saw", Leaf "y"))))
456 </pre>
458 There are many crucially important details about quantification that
459 are being simplified here, and the continuation treatment here is not
460 scalable for a number of reasons.  Nevertheless, it will serve to give
461 an idea of how continuations can provide insight into the behavior of
462 quantifiers.
465 The Binary Tree monad
466 ---------------------
468 Of course, by now you may have realized that we have discovered a new
469 monad, the Binary Tree monad.  Just as mere lists are in fact a monad,
470 so are trees.  Here is the type constructor, unit, and bind:
472         type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree) * ('a tree);;
473         let tree_unit (a: 'a) : 'a tree = Leaf a;;
474         let rec tree_bind (u : 'a tree) (f : 'a -> 'b tree) : 'b tree =
475             match u with
476             | Leaf a -> f a
477             | Node (l, r) -> Node (tree_bind l f, tree_bind r f);;
479 For once, let's check the Monad laws.  The left identity law is easy:
481     Left identity: bind (unit a) f = bind (Leaf a) f = f a
483 To check the other two laws, we need to make the following
484 observation: it is easy to prove based on `tree_bind` by a simple
485 induction on the structure of the first argument that the tree
486 resulting from `bind u f` is a tree with the same strucure as `u`,
487 except that each leaf `a` has been replaced with `f a`:
489                         .                         .
490                       __|__                     __|__
491                       |   |                     |   |
492                       a1  .                   f a1  .
493                          _|__                     __|__
494                          |  |                     |   |
495                          .  a5                    .  f a5
496            bind         _|__       f   =        __|__
497                         |  |                    |   |
498                         .  a4                   .  f a4
499                       __|__                   __|___
500                       |   |                   |    |
501                       a2  a3                f a2  f a3
503 Given this equivalence, the right identity law
505         Right identity: bind u unit = u
507 falls out once we realize that
509         bind (Leaf a) unit = unit a = Leaf a
511 As for the associative law,
513         Associativity: bind (bind u f) g = bind u (\a. bind (f a) g)
515 we'll give an example that will show how an inductive proof would
516 proceed.  Let `f a = Node (Leaf a, Leaf a)`.  Then
518                                                    .
519                                                ____|____
520                   .               .            |       |
521         bind    __|__   f  =    __|_    =      .       .
522                 |   |           |   |        __|__   __|__
523                 a1  a2        f a1 f a2      |   |   |   |
524                                              a1  a1  a1  a1
526 Now when we bind this tree to `g`, we get
528                     .
529                _____|______
530                |          |
531                .          .
532              __|__      __|__
533              |   |      |   |
534            g a1 g a1  g a1 g a1
536 At this point, it should be easy to convince yourself that
537 using the recipe on the right hand side of the associative law will
538 built the exact same final tree.
540 So binary trees are a monad.
542 Haskell combines this monad with the Option monad to provide a monad
543 called a
544 [SearchTree](http://hackage.haskell.org/packages/archive/tree-monad/0.2.1/doc/html/src/Control-Monad-SearchTree.html#SearchTree)
545 that is intended to represent non-deterministic computations as a tree.
548 What's this have to do with tree\_monadize?
549 --------------------------------------------
551 So we've defined a Tree monad:
553         type 'a tree = Leaf of 'a | Node of ('a tree) * ('a tree);;
554         let tree_unit (a: 'a) : 'a tree = Leaf a;;
555         let rec tree_bind (u : 'a tree) (f : 'a -> 'b tree) : 'b tree =
556             match u with
557             | Leaf a -> f a
558             | Node (l, r) -> Node (tree_bind l f, tree_bind r f);;
560 What's this have to do with the `tree_monadize` functions we defined earlier?
562         let rec tree_monadize (t : 'a tree) (f : 'a -> 'b reader) : 'b tree reader =
563             match t with
564             | Leaf a -> reader_bind (f a) (fun b -> reader_unit (Leaf b))
565             | Node (l, r) -> reader_bind (tree_monadize l f) (fun l' ->
566                                reader_bind (tree_monadize r f) (fun r' ->
567                                  reader_unit (Node (l', r'))));;
569 ... and so on for different monads?
571 Well, notice that `tree\_monadizer` takes arguments whose types
572 resemble that of a monadic `bind` function.  Here's a schematic bind
573 function compared with `tree\_monadizer`:
575           bind             (u:'a Monad) (f: 'a -> 'b Monad): 'b Monad
576           tree\_monadizer  (u:'a Tree)  (f: 'a -> 'b Monad): 'b Tree Monad
578 Comparing these types makes it clear that `tree\_monadizer` provides a
579 way to distribute an arbitrary monad M across the leaves of any tree to
580 form a new tree inside an M box.
582 The more general answer is that each of those `tree\_monadize`
583 functions is adding a Tree monad *layer* to a pre-existing Reader (and
584 so on) monad. We discuss that further here: [[Monad Transformers]].