2 *       In def 3.1 on p. 14, GS&V define `s` updated with \[[not &phi;]] as:
4         >       { i &isin; s | i does not subsist in s[&phi;] }
6         where `i` *subsists* in <code>s[&phi;]</code> if there are any `i'` that *extend* `i` in <code>s[&phi;]</code>.
8         Here's how to do that in our framework. Instead of asking whether a possibility subsists in an updated set of possibilities, we ask what is returned by extensions of a `dpm` when they're given a particular (r, h) as input.
10                 (* filter out which bool dpms in a set are true when receiving (r, h) as input *)
11                 let truths set (r, h) =
12                         let test one_dpm =
13                                 let (truth_value, _, _) = one_dpm (r, h)
14                                 in truth_value
15                         in List.filter test set;;
17                 let negate_op (phi : clause) : clause =
18                         fun one_dpm ->
19                 let new_dpm = fun (r, h) ->
20                                         (* if one_dpm isn't already false at (r, h),
21                                            we want to check its behavior when updated with phi
22                                            bind_set (unit_set one_dpm) phi === phi one_dpm; do you remember why? *)
23                                     let (truth_value, r', h') = one_dpm (r, h)
24                                         in let truth_value' = truth_value && (truths (phi one_dpm) (r, h) = [])
25                                         (* new_dpm must return a (bool, r, h) *)
26                     in (truth_value', r', h')
27                                 in unit_set new_dpm;;
30         **Thanks to Simon Charlow** for catching a subtle error in previous versions of this function. Fixed 1 Dec.
32 *       Representing \[[and &phi; &psi;]] is simple:
34                 let and_op (phi : clause) (psi : clause) : clause =
35                         fun one_dpm -> bind_set (phi one_dpm) psi;;
36                 (* now u >>= and_op phi psi === u >>= phi >>= psi; do you remember why? *)
39 *       Here are `or` and `if`:
41         (These probably still manifest the bug Simon spotted.)
43                 let or_op (phi : clause) (psi : clause) =
44             fun one_dpm -> unit_set (
45                 fun (r, h) ->
46                                         let truth_value' = (
47                                                 truths (phi one_dpm) (r, h) <> [] ||
48                                                 truths (bind_set (negate_op phi one_dpm) psi) (r, h) <> []
49                                         ) in (truth_value', r, h))
51                 let if_op (phi : clause) (psi : clause) : clause =
52             fun one_dpm -> unit_set (
53               fun (r, h) ->
54                                         let truth_value' = List.for_all (fun one_dpm ->
55                                                         let (truth_value, _, _) = one_dpm (r, h)
56                                                         in truth_value = false || truths (psi one_dpm) (r, h) <> []
57                                                 ) (phi one_dpm)
58                     in (truth_value', r, h));;
61 *       Now let's test everything we've developed:
63                 type entity = Bob | Carol | Ted | Alice;;
64                 let domain = [Bob; Carol; Ted; Alice];;
65                 type assignment = char -> int;;
66                 type store = entity list;;
67                 type 'a dpm = assignment * store -> 'a * assignment * store;;
68                 let unit_dpm (x : 'a) : 'a dpm = fun (r, h) -> (x, r, h);;
69                 let bind_dpm (u: 'a dpm) (f : 'a -> 'b dpm) : 'b dpm =
70                         fun (r, h) ->
71                                 let (a, r', h') = u (r, h)
72                                 in let u' = f a
73                                 in u' (r', h')
75                 type 'a set = 'a list;;
76                 let empty_set : 'a set = [];;
77                 let unit_set (x : 'a) : 'a set = [x];;
78                 let bind_set (u : 'a set) (f : 'a -> 'b set) : 'b set =
79                         List.concat (List.map f u);;
81                 type clause = bool dpm -> bool dpm set;;
83 *       More:
85                 (* this generalizes the getx function from hint 4 *)
86                 let get (var : char) : entity dpm =
87                         fun (r, h) ->
88                                 let obj = List.nth h (r var)
89                                 in (obj, r, h);;
91                 (* this generalizes the proposal for \[[Q]] from hint 4 *)
92                 let lift_predicate (f : entity -> bool) : entity dpm -> clause =
93                         fun entity_dpm ->
94                                 let eliminator = fun truth_value ->
95                                         if truth_value = false
96                                         then unit_dpm false
97                                         else bind_dpm entity_dpm (fun e -> unit_dpm (f e))
98                                 in fun one_dpm -> unit_set (bind_dpm one_dpm eliminator);;
100                 (* doing the same thing for binary predicates *)
101                 let lift_predicate2 (f : entity -> entity -> bool) : entity dpm -> entity dpm -> clause =
102                         fun entity1_dpm entity2_dpm ->
103                                 let eliminator = fun truth_value ->
104                                         if truth_value = false
105                                         then unit_dpm false
106                                         else bind_dpm entity1_dpm (fun e1 -> bind_dpm entity2_dpm (fun e2 -> unit_dpm (f e1 e2)))
107                                 in fun one_dpm -> unit_set (bind_dpm one_dpm eliminator);;
109                 let new_peg_and_assign (var_to_bind : char) (d : entity) : bool -> bool dpm =
110                   fun truth_value ->
111                           fun (r, h) ->
112                                 let new_index = List.length h
113                                 in let h' = List.append h [d]
114                                 in let r' = fun var ->
115                                   if var = var_to_bind then new_index else r var
116                                 in (truth_value, r', h')
118                 (* from hint 5 *)
119                 let exists var : clause =
120                         let extend one_dpm (d : entity) =
121                                 bind_dpm one_dpm (new_peg_and_assign var d)
122                         in fun one_dpm -> List.map (fun d -> extend one_dpm d) domain
124                 (* include negate_op, and_op, or_op, and if_op as above *)
126 *       More:
128                 (* some handy utilities *)
129                 let (>>=) = bind_set;;
130                 let getx = get 'x';;
131                 let gety = get 'y';;
132                 let initial_set = [fun (r,h) -> (true,r,h)];;
133                 let initial_r = fun var -> failwith ("no value for " ^ (Char.escaped var));;
134                 let run dpm_set =
135                         (* do any of the dpms in the set return (true, _, _) when given (initial_r, []) as input? *)
136                         List.filter (fun one_dpm -> let (truth_value, _, _) = one_dpm (initial_r, []) in truth_value) dpm_set <> [];;
138                 (* let's define some predicates *)
139                 let male e = (e = Bob || e = Ted);;
140                 let wife_of e1 e2 = ((e1,e2) = (Bob, Carol) || (e1,e2) = (Ted, Alice));;
141                 let kisses e1 e2 = ((e1,e2) = (Bob, Carol) || (e1,e2) = (Ted, Alice));;
142                 let misses e1 e2 = ((e1,e2) = (Bob, Carol) || (e1,e2) = (Ted, Carol));;
144                 (* "a man x has a wife y" *)
145                 let antecedent = fun one_dpm -> exists 'x' one_dpm >>= lift_predicate male getx >>= exists 'y' >>= lift_predicate2 wife_of getx gety;;
147                 (* "if a man x has a wife y, x kisses y" *)
148                 run (initial_set >>= if_op antecedent (lift_predicate2 kisses getx gety));;
149                 (* Bob has wife Carol, and kisses her; and Ted has wife Alice and kisses her; so this is true! *)
151                 (* "if a man x has a wife y, x misses y" *)
152                 run (initial_set >>= if_op antecedent (lift_predicate2 misses getx gety));;
153                 (* Bob has wife Carol, and misses her; but Ted misses only Carol, not his wife Alice; so this is false! *)