hints/assignment_7_hint_6.mdwn

   1
   2 *       In def 3.1 on p. 14, GS&V define `s` updated with \[[not &phi;]] as:
   3
   4         >       { i &isin; s | i does not subsist in s[&phi;] }
   5
   6         where `i` *subsists* in <code>s[&phi;]</code> if there are any `i'` that *extend* `i` in <code>s[&phi;]</code>.
   7
   8         Here's how to do that in our framework. Instead of asking whether a possibility subsists in an updated set of possibilities, we ask what is returned by extensions of a `dpm` when they're given a particular (r, h) as input.
   9
  10                 (* filter out which bool dpms in a set are true when receiving (r, h) as input *)
  11                 let truths set (r, h) =
  12                         let test one_dpm =
  13                                 let (truth_value, _, _) = one_dpm (r, h)
  14                                 in truth_value
  15                         in List.filter test set;;
  16
  17                 let negate_op (phi : clause) : clause =
  18                         fun one_dpm ->
  19                 let new_dpm = fun (r, h) ->
  20                                         (* if one_dpm isn't already false at (r, h),
  21                                            we want to check its behavior when updated with phi
  22                                            bind_set (unit_set one_dpm) phi === phi one_dpm; do you remember why? *)
  23                                     let (truth_value, _, _) = one_dpm (r, h)
  24                                         in let truth_value' = truth_value && (truths (phi one_dpm) (r, h) = [])
  25                                         (* new_dpm must return a (bool, r, h) *)
  26                     in (truth_value', r, h)
  27                                 in unit_set new_dpm;;
  28
  29
  30 *       Representing \[[and &phi; &psi;]] is simple:
  31
  32                 let and_op (phi : clause) (psi : clause) : clause =
  33                         fun one_dpm -> bind_set (phi one_dpm) psi;;
  34                 (* now u >>= and_op phi psi === u >>= phi >>= psi; do you remember why? *)
  35
  36
  37 *       Here are `or` and `if`:
  38
  39                 let or_op (phi : clause) (psi : clause) =
  40             fun one_dpm -> unit_set (
  41                 fun (r, h) ->
  42                                         in let truth_value' = (
  43                                                 truths (phi one_dpm) (r, h) <> [] ||
  44                                                 truths (bind_set (negate_op phi one_dpm) psi) (r, h) <> []
  45                                         ) in (truth_value', r, h))
  46
  47                 let if_op (phi : clause) (psi : clause) : clause =
  48             fun one_dpm -> unit_set (
  49               fun (r, h) ->
  50                                         in let truth_value' = List.for_all (fun one_dpm ->
  51                                                         let (truth_value, _, _) = one_dpm (r, h)
  52                                                         in truth_value = false || truths (psi one_dpm) (r, h) <> []
  53                                                 ) (phi one_dpm)
  54                     in (truth_value', r, h));;
  55
  56
  57 *       Now let's test everything we've developed:
  58
  59                 type entity = Bob | Carol | Ted | Alice;;
  60                 let domain = [Bob; Carol; Ted; Alice];;
  61                 type assignment = char -> int;;
  62                 type store = entity list;;
  63                 type 'a dpm = assignment * store -> 'a * assignment * store;;
  64                 let unit_dpm (x : 'a) : 'a dpm = fun (r, h) -> (x, r, h);;
  65                 let bind_dpm (u: 'a dpm) (f : 'a -> 'b dpm) : 'b dpm =
  66                         fun (r, h) ->
  67                                 let (a, r', h') = u (r, h)
  68                                 in let u' = f a
  69                                 in u' (r', h')
  70
  71                 type 'a set = 'a list;;
  72                 let empty_set : 'a set = [];;
  73                 let unit_set (x : 'a) : 'a set = [x];;
  74                 let bind_set (u : 'a set) (f : 'a -> 'b set) : 'b set =
  75                         List.concat (List.map f u);;
  76
  77                 type clause = bool dpm -> bool dpm set;;
  78
  79 *       More:
  80
  81                 (* this generalizes the getx function from hint 4 *)
  82                 let get (var : char) : entity dpm =
  83                         fun (r, h) ->
  84                                 let obj = List.nth h (r var)
  85                                 in (obj, r, h);;
  86
  87                 (* this generalizes the proposal for \[[Q]] from hint 4 *)
  88                 let lift_predicate (f : entity -> bool) : entity dpm -> clause =
  89                         fun entity_dpm ->
  90                                 let eliminator = fun truth_value ->
  91                                         if truth_value = false
  92                                         then unit_dpm false
  93                                         else bind_dpm entity_dpm (fun e -> unit_dpm (f e))
  94                                 in fun one_dpm -> unit_set (bind_dpm one_dpm eliminator);;
  95
  96                 (* doing the same thing for binary predicates *)
  97                 let lift_predicate2 (f : entity -> entity -> bool) : entity dpm -> entity dpm -> clause =
  98                         fun entity1_dpm entity2_dpm ->
  99                                 let eliminator = fun truth_value ->
 100                                         if truth_value = false
 101                                         then unit_dpm false
 102                                         else bind_dpm entity1_dpm (fun e1 -> bind_dpm entity2_dpm (fun e2 -> unit_dpm (f e1 e2)))
 103                                 in fun one_dpm -> unit_set (bind_dpm one_dpm eliminator);;
 104
 105                 let new_peg_and_assign (var_to_bind : char) (d : entity) : bool -> bool dpm =
 106                   fun truth_value ->
 107                           fun (r, h) ->
 108                                 let new_index = List.length h
 109                                 in let h' = List.append h [d]
 110                                 in let r' = fun var ->
 111                                   if var = var_to_bind then new_index else r var
 112                                 in (truth_value, r', h')
 113
 114                 (* from hint 5 *)
 115                 let exists var : clause =
 116                         let extend one_dpm (d : entity) =
 117                                 bind_dpm one_dpm (new_peg_and_assign var d)
 118                         in fun one_dpm -> List.map (fun d -> extend one_dpm d) domain
 119
 120                 (* include negate_op, and_op, or_op, and if_op as above *)
 121
 122 *       More:
 123
 124                 (* some handy utilities *)
 125                 let (>>=) = bind_set;;
 126                 let getx = get 'x';;
 127                 let gety = get 'y';;
 128                 let initial_set = [fun (r,h) -> (true,r,h)];;
 129                 let initial_r = fun var -> failwith ("no value for " ^ (Char.escaped var));;
 130                 let run dpm_set =
 131                         (* do any of the dpms in the set return (true, _, _) when given (initial_r, []) as input? *)
 132                         List.filter (fun one_dpm -> let (truth_value, _, _) = one_dpm (initial_r, []) in truth_value) dpm_set <> [];;
 133
 134                 (* let's define some predicates *)
 135                 let male e = (e = Bob || e = Ted);;
 136                 let wife_of e1 e2 = ((e1,e2) = (Bob, Carol) || (e1,e2) = (Ted, Alice));;
 137                 let kisses e1 e2 = ((e1,e2) = (Bob, Carol) || (e1,e2) = (Ted, Alice));;
 138                 let misses e1 e2 = ((e1,e2) = (Bob, Carol) || (e1,e2) = (Ted, Carol));;
 139
 140                 (* "a man x has a wife y" *)
 141                 let antecedent = fun one_dpm -> exists 'x' one_dpm >>= lift_predicate male getx >>= exists 'y' >>= lift_predicate2 wife_of getx gety;;
 142
 143                 (* "if a man x has a wife y, x kisses y" *)
 144                 run (initial_set >>= if_op antecedent (lift_predicate2 kisses getx gety));;
 145                 (* Bob has wife Carol, and kisses her; and Ted has wife Alice and kisses her; so this is true! *)
 146
 147                 (* "if a man x has a wife y, x misses y" *)
 148                 run (initial_set >>= if_op antecedent (lift_predicate2 misses getx gety));;
 149                 (* Bob has wife Carol, and misses her; but Ted misses only Carol, not his wife Alice; so this is false! *)
 150