hints/assignment_7_hint_5.mdwn

   1
   2 *       How shall we handle \[[&exist;x]]? As we said, GS&V really tell us how to interpret \[[&exist;xPx]], but what they say about this breaks naturally into two pieces, such that we can represent the update of our starting set `u` with \[[&exist;xPx]] as:
   3
   4         <pre><code>u >>=<sub>set</sub> \[[&exist;x]] >>=<sub>set</sub> \[[Px]]
   5         </code></pre>
   6
   7         What does \[[&exist;x]] need to be here? Here's what they say, on the top of p. 13:
   8
   9         >       Suppose an information state `s` is updated with the sentence &exist;xPx. Possibilities in `s` in which no entity has the property P will be eliminated.
  10
  11         We can defer that to a later step, where we do `... >>= \[[Px]]`.
  12
  13         >       The referent system of the remaining possibilities will be extended with a new peg, which is associated with `x`. And for each old possibility `i` in `s`, there will be just as many extensions `i[x/d]` in the new state `s'` and there are entities `d` which in the possible world of `i` have the property P.
  14
  15         Deferring the "property P" part, this corresponds to:
  16
  17         <pre><code>u updated with \[[&exist;x]] &equiv;
  18                 let extend_one = fun one_dpm ->
  19                         fun truth_value ->
  20                                 if truth_value = false
  21                                 then empty_set
  22                                 else List.map (fun d -> new_peg_and_assign 'x' d) domain
  23                 in bind_set u extend_one
  24         </code></pre>
  25
  26         where `new_peg_and_assign` is the operation we defined in [hint 3](/hints/assignment_7_hint_3):
  27
  28                 let new_peg_and_assign (var_to_bind : char) (d : entity) =
  29                         fun ((r, h) : assignment * store) ->
  30                                 (* first we calculate an unused index *)
  31                                 let new_index = List.length h
  32                                 (* next we store d at h[new_index], which is at the very end of h *)
  33                                 (* the following line achieves that in a simple but inefficient way *)
  34                                 in let h' = List.append h [d]
  35                                 (* next we assign 'x' to location new_index *)
  36                                 in let r' = fun var ->
  37                                         if var = var_to_bind then new_index else r var
  38                                 (* the reason for returning true as an initial element should now be apparent *)
  39                                 in (true, r', h')
  40
  41         What's going on in this representation of `u` updated with \[[&exist;x]]? For each `bool dpm` in `u` that wraps a `true`, we collect `dpm`s that are the result of extending their input `(r, h)` by allocating a new peg for entity `d`, for each `d` in our whole domain of entities, and binding the variable `x` to the index of that peg. For `bool dpm`s in `u` that wrap `false`, we just discard them. We could if we wanted instead return `unit_set (unit_dpm false)`.
  42
  43         A later step can then filter out all the `dpm`s according to which the
  44 entity `d` we did that with doesn't have property P.
  45
  46         So if we just call the function `extend_one` defined above \[[&exist;x]], then `u` updated with \[[&exist;x]] updated with \[[Px]] is just:
  47
  48         <pre><code>u >>= \[[&exist;x]] >>= \[[Px]]
  49         </code></pre>
  50
  51         or, being explicit about which "bind" operation we're representing here with `>>=`, that is:
  52
  53         <pre><code>bind_set (bind_set u \[[&exist;x]]) \[[Px]]
  54         </code></pre>
  55
  56 *       Let's compare this to what \[[&exist;xPx]] would look like on a non-dynamic semantics, for example, where we use a simple reader monad to implement variable binding. Reminding ourselves, we'd be working in a framework like this. (Here we implement environments or assignments as functions from variables to entities, instead of as lists of pairs of variables and entities. An assignment `r` here is what `fun c -> List.assoc c r` would have been in [week6](
  57 /reader_monad_for_variable_binding).)
  58
  59                 type assignment = char -> entity;;
  60                 type 'a reader = assignment -> 'a;;
  61
  62                 let unit_reader (x : 'a) = fun r -> x;;
  63
  64                 let bind_reader (u : 'a reader) (f : 'a -> 'b reader) =
  65                         fun r ->
  66                                 let a = u r
  67                                 in let u' = f a
  68                                 in u' r;;
  69
  70                 let getx = fun r -> r 'x';;
  71
  72                 let lift (predicate : entity -> bool) =
  73                         fun entity_reader ->
  74                                 fun r ->
  75                                         let obj = entity_reader r
  76                                         in unit_reader (predicate obj)
  77
  78         `lift predicate` converts a function of type `entity -> bool` into one of type `entity reader -> bool reader`. The meaning of \[[Qx]] would then be:
  79
  80         <pre><code>\[[Q]] &equiv; lift q
  81         \[[x]] & equiv; getx
  82         \[[Qx]] &equiv; \[[Q]] \[[x]] &equiv;
  83                 fun r ->
  84                         let obj = getx r
  85                         in unit_reader (q obj)
  86         </code></pre>
  87
  88         Recall also how we defined \[[lambda x]], or as [we called it before](/reader_monad_for_variable_binding), \\[[who(x)]]:
  89
  90                 let shift (var_to_bind : char) entity_reader (v : 'a reader) =
  91                 fun (r : assignment) ->
  92                         let new_value = entity_reader r
  93                         (* remember here we're implementing assignments as functions rather than as lists of pairs *)
  94                         in let r' = fun var -> if var = var_to_bind then new_value else r var
  95                         in v r'
  96
  97         Now, how would we implement quantifiers in this setting? I'll assume we have a function `exists` of type `(entity -> bool) -> bool`. That is, it accepts a predicate as argument and returns `true` if any element in the domain satisfies that predicate. We could implement the reader-monad version of that like this:
  98
  99                 fun (lifted_predicate : entity reader -> bool reader) : bool reader ->
 100                         fun r -> exists (fun (obj : entity) -> lifted_predicate (unit_reader obj) r)
 101
 102         That would be the meaning of \[[&exist;]], which we'd use like this:
 103
 104         <pre><code>\[[&exist;]] \[[Q]]
 105         </code></pre>
 106
 107         or this:
 108
 109         <pre><code>\[[&exist;]] ( \[[lambda x]] \[[Qx]] )
 110         </code></pre>
 111
 112         If we wanted to compose \[[&exist;]] with \[[lambda x]], we'd get:
 113
 114                 let shift var_to_bind entity_reader v =
 115                         fun r ->
 116                                 let new_value = entity_reader r
 117                                 in let r' = fun var -> if var = var_to_bind then new_value else r var
 118                                 in v r'
 119                 in let lifted_exists =
 120                         fun lifted_predicate ->
 121                                 fun r -> exists (fun obj -> lifted_predicate (unit_reader obj) r)
 122                 in fun bool_reader -> lifted_exists (shift 'x' getx bool_reader)
 123
 124         which we can simplify to:
 125
 126                 let shifted v =
 127                         fun r ->
 128                                 let new_value = r 'x'
 129                                 in let r' = fun var -> if var = 'x' then new_value else r var
 130                                 in v r'
 131                 in let lifted_exists =
 132                         fun lifted_predicate ->
 133                                 fun r -> exists (fun obj -> lifted_predicate (unit_reader obj) r)
 134                 in fun bool_reader -> lifted_exists (shifted bool_reader)
 135
 136         and simplifying further:
 137
 138                 fun bool_reader ->
 139                         let shifted v =
 140                                 fun r ->
 141                                         let new_value = r 'x'
 142                                         in let r' = fun var -> if var = 'x' then new_value else r var
 143                                         in v r'
 144                         let lifted_predicate = shifted bool_reader
 145                         in fun r -> exists (fun obj -> lifted_predicate (unit_reader obj) r)
 146
 147                 fun bool_reader ->
 148                         let lifted_predicate = fun r ->
 149                                         let new_value = r 'x'
 150                                         in let r' = fun var -> if var = 'x' then new_value else r var
 151                                         in bool_reader r'
 152                         in fun r -> exists (fun obj -> lifted_predicate (unit_reader obj) r)
 153
 154
 155
 156
 157
 158
 159
 160 *       Can you figure out how to handle \[[not &phi;]] on your own? If not, here are some [more hints](/hints/assignment_7_hint_6). But try to get as far as you can on your own.